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高中数学排列组合难题二十一种方法学生版


高考数学排列组合难题二十一种方法
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此 解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还 是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的 方法来处理。 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2

种不同的方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事共有: N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有: N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立, 任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不 能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题 (有序)还是组合(无序)问题,元素总 数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用 的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少 排法 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就 座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻, 那么不同排法的种数是 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有 多少不同的装法. 练习题: 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种 不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加, 则不同的选法有 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成 一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那 么共有陈列方式的种数为 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有几种 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配 方案?

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间, 也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排 法.

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形 的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续 出场,则节目的出场顺序有多少种? 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加 了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目 不相邻,那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高 逐渐增加,共有多少排法?

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不 小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种?

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记 至少有一人在内的抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在 同一组,有多少种不同的分组方法 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该 年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要 演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须 既有男生又有女生,则不同的选法共有

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两 个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数 为 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电 梯的方法

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2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船 只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中 的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏, 求满足条件的关灯方法有多少种? 练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那 么不同的坐法有多少种? 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个 球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的 贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的 着色方法有几种

二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母, 现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的 取法

二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复, 另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作 “店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的 可能的种数有 .

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十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除

小结 本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排 列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列 组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大, 难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件 , 我们就可以选取不同的技巧来解决问题 .对于一些比较复杂的问题 , 我 们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类 旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。

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练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在 同一列,不同的选法有多少种?

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径有多少种?

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18. 由 0, 1, 2, 3, 4, 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?

练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字 从小到大排列起来,第 71 个数是

十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后, 球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅 ( i ? 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种?

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