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2013-2014丰台高三期末文


丰台区 2013-2014 学年度第一学期期末练习

高 三 数 学(文科)

2014.1

第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中,选 出符合题目要求的一项。 (1)函数 y ? log2 (4 ? x ) 的定义域为 (A) ( ??,

0) (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (B) (0, ??) (C) ( ??, 4) (D) (4, ??)

i ?1 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(3)经过圆 ( x - 1)2 + y 2 = 1 的圆心且与直线 y = 2 x 平行的直线方程是 (A) 2 x + y - 2 = 0 (B) 2 x + y + 2 = 0 (C) 2 x - y + 2 = 0 (D) 2 x - y - 2 = 0 (4)命题甲:f(x)是 R 上的单调递增函数;命题乙:?x1<x2,f(x1)<f(x2).则甲是乙 的 (A)充分不必要条件 (C)充分且必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 uu u r uuu r o (5)已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2,∠DAB=60 ,则 AB ? AD 等于 (A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

? ? (6)函数 y ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) 的最大值是 6 3
(A)2 (B)1 (C) 3 (D)
3 2

(7)设点 F1,F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,P 为椭圆 C 上 a 2 b2

uuu r uuu r 任意一点,且 PF1 ? PF2 的最小值为 0 ,则椭圆的离心率为

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

3 4

(8)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面四边形 ABCD 是矩形,且 AD=3AB,点 E 是底面的边 BC 上的动点,设 PE⊥DE 的 λ 值有
A D E C

BE ? ? (0 ? ? ? 1) ,则满足 BC

P

B

(A) 0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 a n ? ____.
? x ? 1, ? (10)已知变量 x,y 满足 ? y ? 2, 则 z ? x ? y 的最小值是___________. ? x ? y ? 0, ?

(11)从某项综合能力测试中抽取 50 人的成绩,统计如下表,则这 50 人成绩的平 均数为__________,方差为__________. 分数 人数 5 10 4 5 3 15 2 15 1 5

1 (注:s2= [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] , x 为数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n (12)若一个算法程序框图如右图,则输出的结果 S 为_____.
开始 i=1,S=0

S?S?

1 i (i ? 1)

i<4 是

否 输出 S 结束

(13)若一个底面是正三角形的三棱柱的三视图如 下图所示,则其体积等于____.

i=i +1

(14) 已 知 函 数 f ( x) ? l g x , g ( x ) ? ln x , 若 f (a ) ? g(b) , 则 下 列 五 个 关 系 式 : ①

1 ? b ? a ; ② a ? b ? 1 ; ③ 1 ? a ? b ;④ b ? a ? 1 ;⑤ a ? b ? 1 . 其中有可能成立的关系式有_____________.(请填写序号) 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本题共 13 分) 在△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a ? 2 3,c ? 2 2,
?A ? 60O .

(Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)求 b 边的长. (16) (本题共 13 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上不同于 A,B 的一点,点 V 是圆 O 所在平面外一点. (Ⅰ) 若点 E 是 AC 的中点,求证:OE∥平面 VBC; (Ⅱ) 若 VA=VB=VC,求证:VO ? 平面 ABC. (17) (本题共 13 分) 某市采取“限价房”摇号制度,中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机 抽取一个房号.已知甲、乙两个友好家庭均已中签,并决定共同前往某小区 抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元四、五、六 3 个楼层共 5 套房,其 中四层有 1 套房,五层、六层各有 2 套房. (Ⅰ)求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率; (Ⅱ)求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率. (18) (本题共 14 分) 1 1 已知函数 f ( x) ? x3 + ax 2 ? 2a 2 x . 3 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间. (19) (本题共 14 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F(1,0),O 为坐标原点,A,B 是 抛物线 C 上异于 O 的两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
1 (Ⅱ)若直线 OA,OB 的斜率之积为 ? ,求证:直线 AB 过 x 轴上一定点. 2

(20) (本题共 13 分) 某市实行机动车摇号购车政策,规定每年购车指标为 24 万个,设 2014 年初 全市汽车保有量为 500 万辆,假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的 4%,每年新购车辆数等于该年购车指标. (Ⅰ)求 2015 年初和 2016 年初全市汽车保有量(万辆) ;
* (Ⅱ)设 2014 年初的汽车保有量为 a1 , n ? 1 年后汽车保有量为 an n ? N ,

?

?

求证:数列 {an ? 600} 为等比数列; (Ⅲ)要想将全市每年的汽车保有量控制在 550 万辆以下,是否需要调整每 年的购车指标,若不需调整,说明理由,若需调整,求出每年购车指标的最 大值(万个).

2013-2014 学年度丰台区高三第一学期期末 数学(文科)试题答案 一、选择题 CADA DBBC

二、填空题: (9) 2 n -1 (10) 2 (11) 3; 1.6 (12)
4 (13) 8 3 (14)①②⑤ 5

注:14 题给出一个正确得 1 分,给出两个正确得 3 分,给出三个正确得 5 分.若答案中 含有③④不得分.

三、解答题: (15)解: (Ⅰ)正弦定理
a c ,-----------------------------------3 分 ? sin A sin C
c sin A 2 2 sin 60? 2 ? ? -------------------------6 分 a 2 2 3

所以 sin C ?

(Ⅱ)由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,----------------------------9 分 2bc

b 2 ? 8 ? 12 得 cos 60? ? ,解得,b= 2 ? 6 .----------------------12 分 4 2b

B 的值为 2 ? 6 --------------------------------------------13 分 (16)证明: (Ⅰ)? O,E 分别是 AB 和 AC 的中点,-----------1 ?OE∥BC .----------------------------3 分 又? OE ? 面 VBC, BC ? 面 VBC.-- -------5 分 ?OE / / 面 VBC. ---------------------- --6 分 (Ⅱ)? VA=VB,∵ △ABC 为等腰三角形, 又? O 为 AB 中点,∴ VO⊥AB;----- --------8 分 连接 OC, 在△VOA 和△VOC 中,OA =OC, VO=VO, VA=VC,
△VOA≌△VOC;- ---------------------------------------------------10 分 o ∴ ∠V0A=∠VOC=90 . ∴ VO⊥OC;-------------------------------------11 分

? AB∩OC=O, AB ? 平面 ABC, OC ? 平面 ABC, --------------------12 分 ∴ VO⊥平面 ABC. -----------------------------------------13 分

(17)解:将这 5 套进行编号,记四层的 1 套房为 a,五层的两套房分别为 b1,b2, 六 层 的 两 套 房 分 别 为 c1,c2 , 则 甲 、 乙 两 个 家 庭 选 房 可 能 的 结 果 有 (a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1), (b2,c2),(c1,c2)共 10 种.-----------------------------------7 分 (注:写出 5 个以上情况的给 4 分,但不全的;按有顺序情况写出 10 个给 4

分,全部正确给 8 分) (Ⅰ)甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有 2 种, 1 所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为 .--------------10 分 5 (Ⅱ)甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有 6 种,所以甲、乙两个 3 家庭恰好住在相邻楼层的概率为 .----------------------------13 分 5 (18)解: 1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2 x .------------------------1 分 3 2 所以 f ?( x ) ? x 2 ? x ? 2 .--------------------------------------3 分 令 f ?( x) ? 0 得, x1 ? ?2, x2 ? 1 .-------------------------------4 分
f '( x ) 与 f ( x ) 变化规律如下表:

x
f ?( x)

(-∞,-2) + ↑

-2 0 极大值

(-2,1) ↓

1 0 极小值

(1,+∞) + ↑

f ( x)

所以函数 f ( x) 的极大值点为-2,极小值点为 1.-------------------6 分 (Ⅱ) f ?( x ) ? x 2 ? ax ? 2a 2 ---------------------------------------8 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a, x2 ? a .---------------------------------9 分 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x 2 ? 0 , f ( x) 在的单调递增区间为 ( ??, ??) -----10 分 (2)当 a ? 0 时, f '( x ) 与 f ( x ) 变化规律如下表: x
f ?( x)

(-∞,-2a) -2a + 0 ↑ 极大值

(-2a,a) ↓

a 0 极小值

(a,+∞) + ↑

f ( x)

所以 f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞),减区间是(-2a,a)------- 12 分 (3)当 a ? 0 时, f '( x ) 与 f ( x ) 变化规律如下表: x
f ?( x)

(-∞,a) +

a 0

(a,-2a) -

-2a 0

(-2a,+∞) +

f ( x)



极大值



极小值



所以 f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞),减区间是(a,-2a) 综上所述,当 a ? 0 时, f ?( x) ? x 2 ? 0 ,f(x)在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时,f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞),减区间是(-2a,a); 当 a ? 0 时,f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞),减区间是(a,-2a).--14 分 (无综上所述不扣分) (19)解: (Ⅰ)因为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 (1, 0) ,所以 p ? 1, p ? 2 .
2

得到抛物线方程为 y 2 ? 4 x .----------------------------------4 分 (Ⅱ)①当直线 AB 的斜率不存在时设 A ( t , t ), B( t , ?t )
4 4
2 2

1 因为直线 OA, OB 的斜率之积为 ? ,所以 t ?t ? ? 1 化简得 t 2 ? 32 . 2 t2 t2 2
4 4

所以 (8, t ), B(8, ?t ) ,此时直线 AB 的方程为 x ? 8 .----------------7 分 ②当直线 AB 的斜率存在时设直线的方程为 y ? kx ? b, A( xA , y A ), B( xB , yB ) 联立方程 ?
? y2 ? 4x ? y ? kx ? b

化简得 ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0 .------------------9 分
1 , 2

根据韦达定理得到 y A yB ? 4b ,因为直线 OA, OB 的斜率之积为 ?
k
x A xB 2

所以得到 y A yB ? ? 1 即 xA xB ? 2 y A yB ? 0 .--------------------11 分 得到
y A 2 yB 2 ? 2 y A yB ? 0 , 4 4

化简得到 y A yB ? 0 (舍)或 y A yB ? ?32 .--------------------12 分 又因为 y A yB ? 4b ? ?32, b ? ?8k ,所以 y ? kx ? 8k , y ? k ( x ? 8) .
k

上所述,直线 AB 过定点(8,0).-------------------------14 分 (20)解: (Ⅰ)根据题意 2015 年汽车保有量为 500 ? 500 ? 0.04 ? 24 ? 504 -------2 分 2016 年汽车保有量为 504 ? 504 ? 0.04 ? 24 ? 507.84 -----4 分 (Ⅱ)根据题意有 an ? 0.96an ?1 ? 24 --------------------------------5 分

因为 an ? 600 ? 0.96an ?1 ? 24 ? 600
? 0.96an ?1 ? 576 ? 0.96(an ?1 ? 600)

又因为 a1 ? 600 ? ?100 所以 {an ? 600} 是以-100 为首相,公比为 0.96 的等比数列.------8 分

(Ⅲ)由(2)可知,设每年购车指标为 x 万辆,则 an ? 0.96an ?1 ? x . 变形可得: an ? 25x ? 0.96(an ?1 ? 25x ) . 所以{ an ? 25 x }是以 a1 ? 25 x 为首项,0.96 为公比的等比数列. 所以 an ? 25 x ? 0.96n ?1 (500 ? 25 x ) 所以 an ? 25 x ? 0.96n ?1 (500 ? 25 x ) -----------------------------10 分 当 500-25 x ≥0,即 0< x ≤20 时, an 随 n 增大而减小, 因为 a1 ? 550 ,所以 25x ? 550 ,即 x ? 20 ,成立. 当 500-25 x <0,即 x >20 时, n ? ?? , an ? 25x 且 an ? 25 x , 所以,只需 25x ? 550 ,即 x ? 22 .------------------------------12 分 每年购车指标调整为 22 万个,汽车保有量会控制在 550 万辆以下.--13 分


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