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立体几何高三第一轮复习(含知识点)


立体几何知识点梳理
一、空间几何体
1。多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两 个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2。棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都平行,由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3

。棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正多边形的中 心。正四面体的高

6 2 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3 2 3 1 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 12 3

正四面体的体积为

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

外接球的半径为

6 1 a (是正方体的外接球,则半径 ? l正方体体对角线 ) 4 2 6 1 a (是正四面体中心到四个面的距离,则半径 ? l正方体体对角线 ) 12 6

内切球的半径为

正四面体: 4。棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台。 正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的 正多边形 5。旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴, 6。圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋 转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角 形、等腰梯形。 注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经常用到弧长公式 l ? ?R 7.球:以半圆的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球) 球的截面性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r, 有下面的关系: d ? R ? r
2 2 2

球面距离:

例题 1: 把地球看作半径为 R 的球,A、B 是北纬 30°圈上的两点,它们的经度差为 60°,A、B 两点间的 球面距离为_____________

例题 2:三棱锥 O-ABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直,OA=1,OB=OC=2,则内切球表面积为______ , 外接 球体积为_____________ . 例题 3:已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为

π ,则球心 O 到平面 2

ABC 的距离为 (
A.



1 2 3 6 B. C. D. 3 3 3 3 例题 4: 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面 积是( ) 16π 8π 64π A. B. C.4π D. 9 9 3
内切球和外接球:

例题 1:一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则 该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

例题 2:正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3

) D. 1∶9

C. 1∶3 3

例题 3: (2012 新课标理)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为1 的正三角 形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 ( ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

例题 4: (2012 辽宁文) 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正 方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 8。简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图形叫做俯视图。 一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。 和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通常把这个平面放在直立投影面的右面, 投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。 三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的 正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。 (1) 、三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等 (2) 、空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影) ; 侧视图(从左向右的正投影) ; 俯视图(从上向下正投影) .

例题:某四棱锥底面为直角梯形, 一条侧棱与底面垂直,四棱锥的三视图如右图所示, 则其体积为 .

1 正 视 图 2 侧 视 图

1 1 (3) 、空间几何体的直观图——斜二测画法特点: ①斜二测坐标系的 y 轴与 x 轴正方向成 45 ? 角; 俯 视 图

(3 题图)

②原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度不变;

③原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 2 2 :1. 9、特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线) :
'

S直棱柱侧面积 ? ch

S圆柱侧 ? 2?rh

S正棱锥侧面积 ?

1 ch' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl
S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

1 S正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' 2

S圆 台 侧 面 积 (r ? R)?l ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2

?

?

S 球面 = 4? R

2

10、柱体、锥体、台体和球的体积公式:

V柱 ? Sh

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

V锥 ?

1 Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3

V 球 = 4 ? R3
3

例题1:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角 形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

P

例题 2:右图是底面为正方形的四棱锥, 其中棱 PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( [来源:学|科|网 Z|X|X|K] )
A

D B 正前方

C

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

[来源:学_科_网]
俯视图 俯视图 俯视图 俯视图

A
二、典型例题:

B

C

D

例 1. (2007 湖北文)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点, A1G= ?(0≤ ? ≤1) 则点 G 到平面 D1EF 的距离为 且 , ( ) A. 3 B.
2 2

C.

2? 3

D.

5 5

例 2..(2003 北京文、理)如果圆台的母线与底面成 60°角,那么这个 圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A. 2? B. ?

3 2

C.

2 3 ? 3

D. ?

1 2

例 4。(2008 海南、宁夏文、理)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ___ __.

三、基础训练: 1.(2008 广东文、理)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体按 图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

2.(2008 全国Ⅱ卷文、理)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的 公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

3.(2007 陕西理)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的 三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) (A)
3 3 4

(B)

3 3

(C)

3 4

(D)

3 12

4. (2007 山东文、理)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(



①正方形 A.①②

②圆锥 B.①③ C.①④

③三棱台 D.②④

④正四棱 锥

5.(2007 海南、宁夏文)已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上, SO ? 底面 ABC , AC ? A. π

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( B. 2π C. 3π D. 4π



6. (2008 四川文)设 M 是球心 O 的半径 OP 的中点,分别过 M , O 作垂直于 OP 的平面,截球面得两个圆,则 这两个圆的面积比值为:( ) (A)

1 4

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

7. (2007 四川文、理)如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面 三角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是 .

四、巩固练习: 1。(2008 福建文、理)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的 正弦值为( )

A.

6 3

B.

2 6 C. 5

15 5

D.

10 5
3 ,则

2.(2001 全国文,广东)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 这个圆锥的全面积是( ) (A) 3? (B) 3 3? (C) 6? (D) 9?

3、 (2006 全国Ⅰ卷文、理)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 ( ) A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 4. (2002 广东、河南、江苏,全国文、理)一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的 体积相等,那么,这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) 3 4 3 3 A. B. C. D.- 4 5 5 5 5. (2008 四川理) 设 M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点,且 NP ? MN ? OM ,分别过 N , M , O 作垂线于

OP 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( ) (A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7,9 (D) 5,8,9

6.( 2008 福建文、理)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是

.

7. (2007 辽宁文、理)若一个底面边长为

6 ,棱长为 6 的正六棱柱的 2

所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为

二 空间直线和平面
立体几何点 线 面的位置关系

1,、线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 (2)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 (3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (4)垂直于同一平面的两直线平行。 2.、线线垂直的判断: 若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断: (1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 练习 1:如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAC⊥平面 ABC,且△SAC 是正三角形, O 是 AC 的中点,D 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证:OD//平面SBC; (Ⅱ) 求证:SO⊥AB.
S

C O A

B

D

练习 2、两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证 ∥平面 BCE
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MN
C _

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D _ M _

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A _ N _ F _

H _ E _

B _

4、线面垂直的判断: (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 (4)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 5、面面平行的判断: (1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
练习 1、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ;

(2 ) A1C ? 面 AB1D1 .

D1 A1 D O A B B1

C1

C

2、已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点.
(1) 求证:EF∥平面 PAD; (2) 求证:EF⊥CD;

3.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 PO ? 求证: (1)PA∥平面 BDE (2)平面 PAC ? 平面 BDE

2, AB ? 2

线线、线面和面面的成角问题
1、两异面直线及所成的角:不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a ? ∥ a , b ? ∥ b ,我们把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).如果两条异 面直线所成的角是直角,我们就说这两条直线互相垂直. 2、直线和平面所成的角:一条直线 PA 和一个平面α 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的 斜线,斜线和平面的交点 A 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO,过垂足 O 和斜足 A 的直 线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。 平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面, 我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是 0 . 3、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α 和β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。 常见角的取值范围: ① 异面直线所成的角 ? 0, ? 2 ② 直线的倾斜角 ?0,? ? 、 到
0

? ?? ? ?

直线与平面所成的角 ?0, ? 2 的角 ?0,? ? 、 与

? ?? ? ?

二面角的取值范围依次 ?0,? ?

的夹角的取值范围依次是 ?0, ? 2 .

? ?? ? ?

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

例题 1:如图,在 Rt△AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转
6

得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (错误!未找到引用源。 )求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (错误!未找到引用源。 )求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

A

D

O C

E

B

例题 2: 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45? ,AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
D C A B

点到平面距离:求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当 然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1 BD 的距离. B C D A

A1

C1 B1

二、典型例题:
例 1. (2007 湖南文)如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别 是 AB1、BC1 的中点,则以下结论中不成立的是( A. EF 与BB1垂直 C. EF与CD异面 B. EF与BD垂直 D. EF 与A1C1异面 )

例 2. (2005 江西理)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB=BC= 2 ,BB1=2,?ABC ? 90 ,E、F 分别为 AA1、 C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 .
?

例 3.(2004 全国卷Ⅳ文、理)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 , 侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角为 60°. P (Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD.

D A B

C

三、基础训练: 1. (2008 安徽文\理)已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n



2. (2008 海南、宁夏文)已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 3.(2007 陕西文、理)已知 P 为平面 a 外一点,直线 l ? a,点 Q∈l,记点 P 到平面 a 的距离为 a,点 P 到直线 l 的距离为 b,点 P、Q 之间的距离为 c,则( ) (A) a ? b ? c (B)c ? a ? b (C) a ? c ? b (D) b ? c ? a 4. (2006 全国Ⅱ卷理)如图,平面 α ⊥平面 β ,A∈α ,B∈β ,AB 与 π π 两平面 α 、β 所成的角分别为 和 ,过 A、B 分别作两平面交线的垂 4 6 线,垂足为 A′、B′,则 AB∶A′B′=( ) (A)2∶1 (B)3∶1 (C)3∶2 (D)4∶3 α A B′ A′ B β

5. (2004 浙江理)已知平面 α 和平面 β 交于直线 l ,P 是空间一点,PA⊥α,垂足为 A,PB⊥β,垂足为 B, 且 PA=1,PB=2,若点 A 在 β 内的射影与点 B 在 α 内的射影重合,则点 P 到 l 的距离为 。 6. (2005 湖南文)已知平面 ? , ? 和直线,给出条件: ① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (i)当满足条件 时,有 m // ? ; (ii)当满足条件 时,有 m ? ? .(填所选条件的序号) 7. (2004 全国卷Ⅲ理)三棱锥 P—ABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (1) 求证 AB⊥BC; (2) 如果 AB=BC= 2 3 ,求侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角的大小. P

A B 8. (2000 全国文,江西、天津文,广东) 如图,已知平行六面体 ABCD- A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, 且 ?C1CB = ? ?C1CD ? ?BCD 。 (I)证明: C1C ⊥BD; (II)当

C

CD 的值为多少时,能使 A1C? 平面 C1 BD ?请给出证明。 CC1

四、巩固练习:

1.(2008 江西文) 设直线 m 与平面 ? 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) . A.在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 ? 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直 . .

2.(2007 天津文、理)设 a,b 为两条直线, ?,? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a,b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥b ,则 ? ∥ ? 3. (2006 辽宁文、理)给出下列四个命题: ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. B.若 a ∥? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

)

①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. 其中假命题的个数是( ) .

④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4. (2005 天津文、理)设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( (A) ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

)

5. (2004 重庆理)设 P 是 60? 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面? , PB ? 平面? ,A,B为 垂足, ( ) PA ? 4, PB ? 2, 则 AB 的长为: A. 2 3 B .2 5 C. 2 7 D. 4 2

6.(2008 江苏) 在四面体 ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点,求证: (Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ; (Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD .

7.(2008 山东文) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三 角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2 DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

M D A C

B

三、 空间向量与立体几何
基础知识归纳: 1.向量的数量积:已知非零向量 a , b ,则 a ? b ?| a | ? | b | cos ? a , b ? 叫做 a与b 的数量积。 2.两向量夹角的求法: cos ? a , b ?? 3. a ⊥ b ? a ? b ? 0 4.已知两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则向量 AB ? ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 ) , 线段 AB 的中点 M 的坐标是 ? A,B 两点间的距离是 | AB |?

a?b | a |?| b |

,立体几何中有关夹角的问题,一般用此式解决。

? x 1 ? x 2 y1 ? y 2 z 1 ? z 2 , , 2 2 ? 2

? ?, ?

( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2

4.若 a ? ( x 1 , y1 , z1 ), b ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 a ? b ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 . 5.用空间向量解决立体几何问题垂直、平行和成角问题: (1)法向量: 平行的证明:

垂直的证明:

异面直线成角:

直线和平面成角:

二面角:

二、典型例题: 例 1. (2008 安徽理)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点。 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O M A B N C D

例 2.(2007 福建理)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的大小;

(3)求点 C 到平面 A1BD 的距离。

三、基础训练: 1. (2008 浙江文、理)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF,

? BCF= ? CEF= 90? ,AD= 3 ,EF=2。

(Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; A (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60? ?

D C

B

G F

H E 2. 2006 广东) ( 如图 5 所示,AF 、DE 分别世 ? O 、? O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ? 8 . BC 是 ? O 的直径, AB ? AC ? 6 , OE // AD . (I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角. O

D

1

E

C

A B
四、巩固练习: E 是 CD 的中点,PA ? 底面 ABCD, PA ? (I)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (II)求二面角 A—BE—P 和的大小。

O
图5
0

F

1.(2008 湖南文) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?BCD ? 60 ,

3。

P

D

E

C

A

B

2.(2007 山东理)如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC ,

AB ∥ DC . (Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥ 平面 A1 BD ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值.
A1

D1

C1 B1

D

E C

3. 2004 福建理) ( 在三棱锥 S—ABC 中, △ABC 是边长为 4 的正三角形, A SAC⊥平面 ABC, 平面 SA=SC=2 3 , B M、N 分别为 AB、SB 的中点。 (Ⅰ)证明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离.

空间几何体(参考答案)
二、典型例题:
例 1. C. 例 2. D. 例 3.. C. 例 4、

4 ?. 3

例5.【解析】 (1)画出直观图并就该图作必要的说明. ……………3分 (2) V ? 64 ……………7分 三、基础训练: 1.A 2.C. (3) S ? 40 ? 24 2 ………12分

3. C

4.D.

5.D

6. D

7. 30

O

8. 解:∵PD⊥底面 ABCD ∴PD⊥AB, ∵BD 是圆的直径, ∴AD⊥AB, 又 PD∩AD=D ∴AB⊥平面 ADP 又 AB ? 平面 ABP ∴平面 ABP⊥平面 ADP,且平面 ABP∩平面 ADP=PA. 在平面 ADP 内作 DH⊥PA,垂足为 H,则 DH⊥平面 ABP, 连结 BH,则∠DBH 就是 BD 与平面 ABP 所成角,即∠DBH= ? . 在 Rt△ABD 中,BD=2R,所以 AD= 3 R. 在 Rt△ADP 中,DH⊥PA, PD=2 2 R,AD= 3 R, 则 AP= 11R ∴ DH=

AD ? DP 2 6 ? R, AP 11
2 6 11
∴ tan? ?

在 Rt△BHD 中,BD=2R,DH=

R ,所以 BH= BD 2 ? DH 2 ? 4 R 2 ?

24 2 2 5 R ? R 11 11

DH 30 ? . BH 5
又已知

(2)证明: ∵EG∥BC,

PE PG , ? EB GC PG DF ∴ ? GC FC


PE DF ? EB FC

∴GF∥PD 又由 PD⊥底面 ABCD,可知 PD⊥BC, ∴ EG⊥GF ∴△EFG 是直角三角形.

(3)当

PE 1 EG PE 1 GF CG BE 2 ? 时,由平行线截割定理可知, ? ? , ? ? ? , EB 2 BC PB 3 PD CP BP 3 o 在△BCD 中,∠BDC=45 BD=2R,所以 BC= 2 R, 又 PD=2 2 R, 4 2 2 ∴EG= R, GF= R. 3 3 1 1 2 4 2 4 所以△EFG 的面积为 S ?EFG ? EG ? GF ? ? R? R ? R2 . 2 2 3 3 9

解法 2:以 A 为原点,分别以 AB、AD 所在的直线为 x、y 轴,建立空间直角坐标系.(略) 四、巩固练习: 1。 D. 2. A 3、C. 4. C. 5. D. 6. 9? . 7. 4 3?
2 2 8.解:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m) 3 ? ( x ? 1) ?

8 ? 2x ? x 2
2

于是底面正六边形的面积为(单位:m ) S 底 ? 6 ?
2

3 4

? 8 ? 2x ? x ? ? 3 23 ?8 ? 2x ? x ?。
2 2

帐篷的体积为(单位:m ) V ( x) ?
3

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x 3 ) 2 ?3 ? 2

求导数,得 V ?( x) ?

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2. 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数; 当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。

3 (12 ? 3x 2 ) 2

第二讲
二、典型例题: 例 1.D. 例 2.

空间直线和平面(参考答案)
3 . 2

3 2 2

例 3.

P D F O C B

例 4.解: (Ⅰ)取 AD 的中点 E,连结 PE,则 PE⊥AD.作 PO⊥平面在 ABCD, 垂足为 O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD, 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6, 所以 PO=3 3 ,四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD=

E

1 ? 8 ? 4 3 ? 3 3 ? 96. 3 EO AD ? . AE AB

A

图2

(Ⅱ)解:如图 2,连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算可得 EO=3,AE=2 3 , 又知 AD=4 3 ,AB=8,得

所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90°, 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的射影,所以 PA⊥BD. 三、基础训练: 1.D. 2. D. 3. A 4.A 5. 5 。 6. (ⅰ) ③⑤ (ⅱ) ②⑤

7. (Ⅰ)证明:如图 1,取 AC 中点 D,连结 PD、BD. 因为 PA=PC,所以 PD⊥AC,又已知面 PAC⊥面 ABC, 所以 PD⊥面 ABC,D 为垂足. 因为 PA=PB=PC,所以 DA=DB=DC, 可知 AC 为△ABC 的外接圆直径,因此 AB⊥BC. (Ⅱ)解:如图 2,作 CF⊥PB 于 F,连结 AF、DF. 因为△PBC≌△PBA,所以 AF⊥PB,AF=CF. 因此,PB⊥平面 AFC, 所以面 AFC⊥面 PBC,交线是 CF, 因此直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF, ∠ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角. 在 Rt△ABC 中,AB=BC=2 3 ,所以 BD= 6. 在 Rt△PDC 中,DC= 6 , PD ? 在 Rt△FDC 中, tan ?ACF ?

3.

在 Rt△PDB 中, DF ?

PD ? DB 3? 6 ? ? 2. PB 3

DF ? DC

2 6

?

3 , 3

所以∠ACF=30°.

即 AC 与平面 PBC 所成角为 30°. 8.(Ⅰ)证明:连结 A1 C1 、 AC 和 BD 交于 O ,连结 C1O 。 ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD , BC = CD 。 又∵∠ BC C1 =∠ DCC1 , C1C = C1C , ∴ ?C1 BC ? ?C1 DC , ∵ DO ? OB ∴ C1O ? BD , ∴ C1 B= C1 D,

但 AC ? BD, AC ? C1O ? O , ∴ BD ? 平面 AC1 。 又 C1C ? 平面 AC1 , ∴ C1C ? BD 。

CD ? 1 时,能使 A1C ? 平面 C1 BD 。 CC1 CD ? 1 ,∴ BC ? CD ? C1C , 证明一: ∵ CC1 又 ?BCD ? ?C1CB ? ?C1CD ,由此可推得 BD ? C1 B ? C1 D 。 ∴三棱锥 C ? C1 BD 是正三棱锥。 设 A1C 与 C1O 相交于 G 。 ∵ A1C1 // AC ,且 A1C1 : OC ? 2 :1, ∴ C1G : GO =2:1。 又 C1O 是正三角形 C1 BD 的 BD 边上的高和中线, ∴点 G 是正三角形 C1 BD 的中心, ∴ CG ? 平面 C1 BD , 即 A1C ? 平面 C1 BD . 证明:由(Ⅰ)知, BD ? 平面 AC1 , ∵ A1C ? 平面 AC1 ,∴ BD ? A1C . CD ? 1 时,平行六面体的六个面是全等的菱形, 当 CC1 同 BD ? A1C 的正法可得 BC1 ? A1C 。又 BD ? BC1 ? B , ∴ A1C ? 平面 C1 BD 。
(Ⅱ)当

四、巩固练习:

1.B. 2. D. 3.D 4.D。 5.C. 6. 【解析】 (Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF ? 面 ACD ,AD ? 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD . (Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF ? CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD 7. (Ⅰ)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB . 故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,
2 2 2

P

M D A C B

P

M D O A B C

3 ?4 ? 2 3. 2 在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2DC ,
又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

4?8 8 5 ? , 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

第三讲

空间向量与立体几何(参考答案)

二、典型例题: 例 1.方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE

? ME‖AB,AB‖ CD, ME‖ CD ? 又? NE‖ OC,? 平面MNE‖ 平面OCD ? MN‖ 平面OCD (2)? CD‖AB, 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角) ∴?M D C 作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
2 ∵ ?ADP ? ,∴DP = 4 2
MD ? MA2 ? AD 2 ? 2 , DP 1 ? ∴ c o s MDP ? ? ? ?MDC ? ?MDP ? , MD 2 3
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

O

?

M E Q A P B N C D

? 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 ∴

AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD 又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
∵ OP ? OD 2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ? 1 3 2 2 ? , AP ? DP ? 2 2 2

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,

2 2 2 2 2 , 0), D( ? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4 ???? ? ??? ? ???? 2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) (1) MN ? (1 ? 4 4 2 ??? 2 2 ? ???? OP ? 0, n? OD ? 0 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n?

O ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 M ? 2 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) ???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4 A ? MN‖ 平面OCD (2)设 AB 与 MD 所成的角为 x B N CP ??? ? ???? ? 2 2 , , ?1) ? ,∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (? 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 3 AB ? MD 2 ??? ? (3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1, 0, ?2) , 得 d ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3
例 2.解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ? ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . △ ?正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , A

z

D y

A1

? AO ⊥ 平面 BCC1 B1 . 连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 BC,CC1 的中点,
? B1O ⊥ BD , ? A B ⊥ B D . 1
在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1 B ,? AB1 ⊥ 平面 A1 BD . O

F C D

C1

B (Ⅱ)设 AB1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A1 BD 中,作 GF ⊥ A1 D 于 F ,连结 AF ,

B1

由(Ⅰ)得 AB1 ⊥ 平面 A1 BD .? AF ⊥ A1 D ,

?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.
在 △ AA1 D 中,由等面积法可求得 AF ?

4 5 , 5

1 AB1 ? 2 , 2 AG 2 10 ? sin ∠AFG ? ? ? . AF 4 5 4 5
又? AG ?

10 . 4 ? (Ⅲ) △ A1 BD 中, BD ? A1 D ? 5,A1 B ? 2 2, S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 .
所以二面角 A ? A1 D ? B 的大小为 arcsin 在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d . 由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得 S△BCD ? 3 ?

1 3

1 S△ A1BD ?d , 3

?d ?

3S△ BCD 2 ? . S△ A1BD 2

2 . 2 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .? ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . △ ?在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ,

?点 C 到平面 A1 BD 的距离为

AO⊥平面 BCC1 B1 .

取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则

??? ?

???? ?

??? ?

2, 2, 0, B(1, 0) , D(?11, , A1 (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , 0, ,0) ???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1, ? 3) , BD ? (?2,0) , BA1 ? (?1, 3) . 2, 2, 1, ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ???? ???? ? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .

z A

A1

? AB1 ⊥ 平面 A1 BD .
???? ???? 2, AD ? (?11, 3) , AA1 ? (0, 0) . ,? ???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ???? ?n?AD ? 0, ? ? x ? y ? 3 z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? x ? ? 3 z. ? ? ?n?AA1 ? 0, ? 2 y ? 0, ?
0, 令 z ? 1得 n ? ( ? 3,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量.
由(Ⅰ)知 AB1 ⊥ 平面 A1 BD ,? AB1 为平面 A1 BD 的法向量. (Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . C O B D

F

C1
y

B1
x

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 . ?? cos ? n , AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

6 . ?二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos 4 ???? ??? ? ???? 0,, ,? (Ⅲ)由(Ⅱ) AB1 为平面 A1 BD 法向量, ? BC ? (?2, 0) AB1 ? (1 2, 3) . , ??? ???? ? BC ?AB1 ?2 2 . ? ?点 C 到平面 A1 BD 的距离 d ? ???? ? 2 2 2 AB1

三、基础训练: 1.方法一: (Ⅰ)证明:过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G ,连结 DG ,可得四边形 BCGE 为矩形, 又 ABCD 为矩形, D 所以 AD ∥EG ,从而四边形 ADGE 为平行四边形, 故 AE ∥ DG . 因为 AE ? 平面 DCF , DG ? 平面 DCF , 所以 AE∥平面 DCF . (Ⅱ)解:过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H ,连结 AH . 由平面 ABCD ? 平面 BEFC , AB ? BC ,得 AB ? 平面 BEFC , 从而 AH ? EF . 所以 ?AHB 为二面角 A ? EF ? C 的平面角. A C B H E G F

? 在 Rt△EFG 中,因为 EG ? AD ? 3 , EF ? 2 ,所以 ?CFE ? 60 , FG ? 1 . 又因为 CE ? EF ,所以 CF ? 4 , 从而 BE ? CG ? 3 .

sin 于是 BH ? BE ? ?BEH ?
因为 AB ? BH ? ?AHB , tan 所以当 AB 为

3 3 . 2

9 ? 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2 方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C ? xyz .
0, 0, 0) 设 AB ? a,BE ? b,CF ? c ,则 C (0,0) , A( 3, a) , B( 3, 0) , E ( 3,b, , F (0,c, . 0, 0) ? 0, 0) (Ⅰ)证明: AE ? (0,b, a ) , CB ? ( 3, 0) , BE ? (0,b, , ??? ? ??? ? ??? ?

CE ? 0 , CB?BE ? 0 ,从而 CB ? AE , CB ? BE ,所以 CB ? 平面 ABE . 所以 CB? 因为 CB ? 平面 DCF ,所以平面 ABE ∥平面 DCF . 故 AE∥平面 DCF .
0) CE ? 0 , | EF |? 2 , (Ⅱ)解:因为 EF ? (? 3,c ? b, 0) , CE ? ( 3,b, ,所以 EF ? z
从而 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??3 ? b(c ? b) ? 0, ? ,解得 b ? 3,c ? 4 . 2 ? 3 ? (c ? b) ? 2, ?

D

??? ? ??? A ? 设 n ? (1 y,z ) 与平面 AEF 垂直,则 n?AE ? 0 , n?EF ? 0 , ,
3 3 解得 n ? (1,3, ) . a ??? ? 0, 又因为 BA ? 平面 BEFC , BA ? (0, a) , x ??? ? ??? ? | BA?n | 3 3a 1 ? BA ? ? , 所以 | cos ? n, ?|? ??? 2 | BA |? n | a 4a ? 27 2 |

3, 所以 E ( 3,0) , F (0, 0) . 4,

C

B F E y

得到 a ?

9 . 2

所以当 AB 为

9 ? 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2

2.解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAF=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示) , 则 O(0,0,0),A(0, ? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8) ,E(0,0,8),F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2 ,?3 2 ,8), FE ? (0,?3 2 ,8)

cos ? BD, EF ??

BD ? FE | BD || FE |

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82

?

82 10

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? , 则 cos? ?| cos ? BD, EF ?|?

82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

四、巩固练习: 1.解:解法一 (I)如图所示, 连结 BD , 由 ABCD 是菱形且 ?BCD ? 60 知,
0

△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点, 所以 BE ⊥ CD, 又 AB / /CD, 所以 BE ⊥ AB, 又因为 PA ? 平面 ABCD, BE ? 平面 ABCD, 所以 PA ⊥ BE, 而 PA ? AB ? A, 因此 BE ⊥平面 PAB. 又 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE ? 平面 PAB. (II) (I) BE ⊥平面 PAB, PB ? 平面 PAB, 所以 PB ? BE. 由 知, 又 AB⊥ BE, 所以 ?PBA 是二面角 A ? BE ? P 的平面角. PA 在 Rt△PAB 中, tan ?PBA ? ? 3, ?PBA ? 60?. . AB ? 故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 .
解法二:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

3 3 1 3 3 0, 0), 0), 0). A(0,0), B(1,0), C ( , , D( , , P (0, 3), E (1, , 0, 0, 2 2 2 2 2 ?? ? ? ??? ? ??? ?? ? 3 1, , 平面 PAB 的一个法向量是 n0 ? (0,0), 所以 BE 和 n0 共线. 0), (I)因为 BE ? (0, 2 从而 BE ⊥平面 PAB. 又因为 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE ? 平面 PAB.

(II)易知 PB ? (1, ? 3), BE ? (0, 0,

?? 3 , 设 n1 ? ( x1,y1,z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量, 0), 2 ?? ??? ? ? ?n1 ? PB ? 0, ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 z1 ? 0, ? 则由 ? ?? ??? 得? ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?n1 ? BE ? 0 ?0 ? x1 ? ? ? 2 所以 y1 =0,x1 ? 3 z1. ?? ?? ? 0, 0, 故可取 n1 ? ( 3,1). 而平面 ABE 的一个法向量是 n2 ? (0,1). ?? ?? ? ?? ?? ? n ? n2 1 ? 于是, cos ? n1 , n2 ?? ??1 ?? ? . . | n1 |? n2 | 2 |

??? ?

??? ?

故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 .
?

2.【答案】:(I)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形, ? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE ? AD ? A1D1 ,

D1

C1 B1

?四边形A1D1EB 为平行四边形, ? D1E ? A1B . ? D1E ? 平面A1BD,A1B ? 平面A1BD, ? D1E ?平面A1BD.
(II) 以 D 为原点, DA, DC , DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,

A1

D A B

E C

???? ? ??? ? ? DA1 ? (1, 0, 2), DB ? (1,1, 0). ? ???? ? ??? ? x ? 2 y ? 0 ? ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A1 BD 的一个法向量,由 n ? DA1 , n ? DB 得 ? , ? x? y ?0 ? 取 z ? 1,则 n ? (?2, ?2,1) . ?? ?? ???? ?? ??? ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ? 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DB 得 ? , ? x1 ? y1 ? 0 ?? 取 z1 ? 1 ,则 m ? (1, ?1,1) . ?? ? ?? ? m?n ?3 3 cos ? m, n ?? ?? ? ? ?? . 3 9? 3 m n
由于该二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,所以所求的二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为 3.解法一: (Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 SD、DB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 SDB,又 SB ? 平面 SDB, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵AC⊥平面 SDB,AC ? 平面 ABC, ∴平面 SDB⊥平面 ABC. 过 N 作 NE⊥BD 于 E,NE⊥平面 ABC,过 E 作 EF⊥CM 于 F, 连结 NF,则 NF⊥CM.

建立空间直角坐标系,不妨设 DA ? 1 ,则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,1, 0), C1 (0, 2, 2), A1 (1, 0, 2).

3 . 3

∴∠NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面 ABC. 又∵NE⊥平面 ABC,∴NE∥SD. ∵SN=NB,∴NE=

1 1 SD= 2 2

SA2 ? AD 2 =

1 2

12 ? 4 = 2 ,且 ED=EB.

在正△ABC 中,由平几知识可求得 EF= 在 Rt△NEF 中,tan∠NFE=

1 1 MB= , 4 2

EN =2 2 , EF ∴二面角 N-CM-B 的正切值等于 2 2 .
(Ⅲ)在 Rt△NEF 中,NF= EF ? EN =
2 2

3 , 2

∴S△CMN=

1 3 CM·NF= 2 2

3 ,S△CMB=

1 BM·CM=2 3 . 2

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,

1 1 S△CMN·h= S△CMB·NE, 3 3 S ? NE 4 2 4 2 ∴h= ?CMB = .即点 B 到平面 CMN 的距离为 . 3 3 S ?CMN
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面 CMB,∴ 解法二: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0) ,B(0,2 3 ,0) ,C(-2,0,0) , S(0,0,2 2 ) ,M(1, 3 ,0),N(0, 3 , 2 ). ∴ AC =(-4,0,0) SB =(0,2 3 ,2 2 ) , , ∵ AC · SB =(-4,0,0)(0,2 3 ,2 2 )=0, · ∴AC⊥SB. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM =(3, 3 ,0), MN =(-1,0, 2 ). 设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

CM ·n=3x+ 3 y=0,
则 取 z=1,则 x= 2 ,y=- 6 ,

MN ·n=-x+ 2 z=0,
∴n=( 2 ,- 6 ,1), 又 OS =(0,0,2 2 )为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos(n, OS )=

1 . | n | ? | OS | 3
=

n ? OS

∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos

1 . 3

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 MB =(-1, 3 ,0) ,n=( 2 ,- 6 ,1)为平面 CMN 的一个法向量, ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

| n· | 4 2 MB = . |n| 3


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