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辽宁省菁华学校2014届高三美术班数学基础专题训练——函数与方程


菁华学校 2014 届高三美术班数学基础知识专题训练 08 函数与方程
一、考试要求 ① 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数。 ② 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二 考点回顾 1.方程的根与函数的零点 函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ?

D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数的零点。函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是 方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有

f (a) f (b) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ( a, b) 内 有 零 点 。 即 存 在 c ? (a, b) , 使 得
f (c ) ? 0 , 这个 c 也就是方程的根。 注: 函数零点的性质: 从 “数” 的角度看: 即是使 f ( x) ? 0
的实数;从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 2.二分法:对于在区间 [a , b] 上连续不断,且满足 f (a) f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不 断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [a ,b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a ,b) 的中点 x1 ; (3) 计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 , 则 x1 就是函数的零点; ②若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 , 则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ;③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ? ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求

函数的近似零点都是指变号零点。 三.基础训练 1.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4 的零点是(
2



A. 1, ?4

B. 4, ?1

C.1,3 )

D.不存在

2.方程 lg x ? x ? 3 的解所在区间为( A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) )

D.(3,+∞)

3.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 3 有零点的区间是( A. (?1, 0) 4.函数 f ( x) ? x ? A.0 B. (0,1)

C. (1, 2) )

D. (2,3)

4 的零点的个数是( x

B. 1 C. 2 D.无数个 x ?1 5.若 f ( x ) ? ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( ) x 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 6. 设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数根, 则这 6 个实根的和为( ) A.0 B.9 C.12 D.18 7.若函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点是 2,那么函数 g ( x) ? bx2 ? ax 的零点是 8. (2008 湖北文)方程 2
?x

。 .

? x 2 ? 3 的实数解的个数为

9.已知 0<a<1,则方程 a = log a x 的实根个数是 10.设方程 x ? lg x ? 10 的根为 a,则 a∈
2

x

(两个连续整数之间)

11. 已知 mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间(0,1)内,求 m 的取值范围. 参考答案: 1、B 2、C 3、D 4、C
2

5、A 6、D 7、

8、

2个

9、7、1 10、(9,10)、

11 解:设 f ( x) ? mx ? x ? 1 , (1)当 m =0 时方程的根为-1,不满足条件. (2)当 m ≠0∵ mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间(0,1)内
2

又 f (0) =1>0

∴有两种可能情形① f (1) ? 0 得 m <-2

或者② f (1) ? 0且0< ? 综上所得, m <-2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 <1 得 m 不存在 2m


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