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2014届高三数学(文)一轮总复习函数y=Asin(ωx+ )图象及三角函数模型的简单应用




节 函数 y=Asin(ωx+ ? )图象 及三角函数模型的简单应用

基础自主梳理
考向互动探究

最新考纲 1.了解函数 y=Asin(ω x+ ? )的物理意义,能画 出函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象,了解参数 A、 、 ω

? 对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

π? ? 1.y=2sin ? 2x ? ? 的振幅、频率和初相分别 4? ?
为( A )

1 π (A)2, ,π 4 1 π (C)2, ,π 8

1 π (B)2, ,2π 4 1 π (D)2, ,2π 8

π? ? 解析:函数 y=2sin ? 2x ? ? 的振幅为 2, 4? ?

2π 周期 T= =π, 2 1 π ∴频率为 ,初相为- .故选 A. π 4

2.把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩 小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向

π 左平移 个单位长度,这时对应于这个图象的 4
解析式是( A )

(A)y=cos 2x

(B)y=-sin 2x

π? π? ? ? (C)y=sin ? 2 x ? ? (D)y=sin ? 2 x ? ? 4? 4? ? ?

解析:把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标 都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到 y=sin

π 2x 的图象,再把图象向左平移 个单位 4
π? ? π? ? 2 ? x ? ? =sin ? 2 x ? ? 2? 4? ? ?

长度,得到 y=sin

=cos 2x 的图象.故选 A.

3.已知函数 f(x)=2sin(ω x+ ? ) ? 其中? ? 0, | ? |? π ? ? ? 2? ? 的最小正周期是π ,且 f(0)=

3 ,则(

D )

1 π (A)ω = , ? = 2 6 π (C)ω =2, ? = 6

1 π (B)ω = , ? = 2 3 π (D)ω =2, ? = 3

解析:∵T=



?

=π,∴ω=2,

∴f(x)=2sin(2x+ ? ), 又 f(0)=

3 ,∴sin ? =

3 2

,

π π 又| ? |< ,∴ ? = .故选 D. 2 3

π? ? 4.函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) ? A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? 2? ?
的部分图象如图所示,则 f(x)= .

解析:由题图可知,函数的最大值为 2,最小值为-2, 所以 A=2.

2π π 函数的周期为 T=8,所以ω= = . ? =0. T 4 π 所以函数的解析式为 y=2sin x. 4 π 答案:2sin x 4

1.用 “五点法” 作函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0) 的图象 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个交点,作图时的一般步 骤为:

(1)定点 先确定五点.即令ω x+ ? 分别等于 0,

3π π, , 2
2π ,得对应的五点为:

π , 2

? ? ? ? ? ,0 ? , ? ? ?

? π ? ? ?π ? ? ? , A ? , ? ? ,0 ? , ? ? 2? ? ? ? ? ? ?

? 3π ? ? ? 2π ? ? ? ,? A ? , ? ? ,0 ? . ? ? 2? ? ? ?? ? ?

(2)作图 在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次 连接得到 y=Asin(ω x+ ? )在一个周期内的图象. (3)扩展 将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ω x+ ? )在 R 上的图象.

2.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0)的图象的步骤 法一 法二

3. 简谐运动的有关概念 当函数 y=Asi ωx+ ? )A>0, n( ( ω>0, ? [ +∞)表示 x 0, ) 一个简谐振动量时, A 叫做振幅, 则 T=



1 f = T

叫做频率, ωx+ ? 叫做相位, x=0时的相位 ? 叫

?

叫做周期,

做初相.

质疑探究:怎么确定函数 y=Asin(ωx+ ? )的单调区间? 提示:求函数 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0)的单调区间时,

π 基本思路是把ωx+ ? 看成一个整体,由- +2kπ≤ω 2 π x+ ? ≤ +2kπ(k ? Z)解出 x 的范围是增区间, 2

π 3π 由 +2kπ≤ωx+ ? ≤ 2 2

+2kπ(k ? Z)解出

x 的范围为减区间.当ω<0 时,可将其化为 y=-Asin(-ωx- ? )解之,但要注意-A 的符号的 影响.

函数 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0) 的图象及其变换

【例 1】 (2012 年高考山东卷)已知向量 m=(sin

A ? ? x,1),n= ? 3 A cos x, cos 2 x ? 2 ? ?

(A>0),函数 f(x)=m·n 的最大值为 6. (1)求 A;

(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 个单位,再将

12

1 所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐 2
标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在

? 5π ? 0, ? 上的值域. ? 24 ? ?

思维导引:(1)按向量数量积运算求出函数解析 式,并化为 y=Asin(ωx+ ? )的形式,求 A.(2)先 作变换求出 g(x)的解析式,再求值域.

解:(1)m=(sin

A ? ? x,1),n= ? 3 A cos x, cos 2 x ? 2 ? ?
3 Asin
xcos

(A>0).

f(x)=m·n=

A x+ cos 2

2x

=

3 Asin 2

A 2x+ cos 2

2x

π π? ? =A ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 6 6? ?

π? ? =Asin ? 2x ? ? . 6? ?
所以 f(x)的最大值为 A, 函数 f(x)=m·n 的最大值为 6,所以 A=6.

π (2)由(1)得 f(x)=6sin(2x+ )将函数 y=f(x)的 6 π 图象向左平移 个单位得到 12
π? ? ? π ? π? ? y=6sin ?2? x ? ? ? ? =6sin ? 2x ? ? 的 3? 12 ? 6 ? ? ? ?
图象,

1 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 2

倍,纵

π? ? 坐标不变,得到函数 g(x)=6sin ? 4x ? ? 的图象. 3? ?
? 5π ? ∵x ? 0, , ? 24 ? ? ?

π π 7 ∴ ≤4x+ ≤ 3 3 6

π.

π? π? 1 ? ? ∴- ≤sin ? 4x ? ? ≤1,-3≤6sin ? 4x ? ? ≤6. 3? 3? 2 ? ?

? 5π ? 所以 g(x)在 0, 上的值域为[-3,6]. ? 24 ? ? ?

(1)熟记由 y=sin x 的图象变换到函 数 y=Asin(ωx+ ? )图象的方法步骤,明确既可 先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但应注意 两种变换方法中平移的单位长度是不同的.

(2)在 x 轴方向上进行平移时,特别注意只是针对于 x 而言的,如由 y=sin ωx(ω>0 且ω≠1)平移到 y=sin(ωx+ ? )(ω>0 且ω≠1)时,需将函数化为 y=sin

?? ? ? ω ? x ? ? 的形式,然后根据 x 与 x+ ?? ? ?

来确

定平移的方向及单位长度.

变式训练 1-1:(2013 北京市东城区普通高中示范校综

?π ? 3 合练习)已知函数 f(x)=sin ? ? x ? ?4 ? 2
2

cos 2x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f(x)的图象经过怎样的变换可以得到 y=sin 2x 的图象?

解:(1)f(x)=sin

2

?π ? 3 ? ? x??4 ? 2

cos 2x

π 1 ? cos ? 2 x) 3 ( 2 = 2 2

cos 2x

1 1 = + sin 2 2

2x-

3 2

cos 2x

π? 1 ? = +sin ? 2 x ? ? , 3? 2 ?
f(x)的最小正周期 T=π .

π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 3 2 2 π 5 π 得 kπ ≤x≤kπ + ,k∈Z, 12 12
故 f(x)的单调递增区间为

π 5 ? π ? k? ? , k? ? ? ,k∈Z. ? 12 12 ? ?

π (2)将 f(x)的图象向左平移 6 1 平移 个单位长度. 2

个单位长度,再向下

求函数 y=Asin(ωx+ ? )+b 的解析式

【例 2】 (2012 德州一模)已知函数 y=Asin(ω x+ ? )+m 的最大值为 4,最小值为 0,两

π π 条对称轴间的最短距离为 ,直线 x= 是其图 2 6
象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )

π? ? (A)y=4sin ? 2x ? ? 6? ?

π? ? (B)y=-2sin ? 2x ? ? +2 6? ? π? ? (D)y=2sin ? 2x ? ? +2 3? ?

π? ? (C)y=-2sin ? x ? ? +2 3? ?

解析:∵函数的最大值为 4,最小值为 0,

4?0 4?0 ∴|A|= =2,m= =2, 2 2 π 又两对称轴间的最短距离为 , 2 T π ∴ = , 2 2
∴T=π,

∴ω=2. ∴f(x)=2sin(2x+ ? )+2 或 f(x)=-2sin(2x+ ? )+2.

π 又 x= 是其图象的一条对称轴, 6
?π? ?π? ∴f ? ? =4 或 f ? ? =0. ?6? ?6?
代入验证可知选项 B 符合.故选 B.

确定 y=Asin(ωx+ ? )+b(A>0,ω>0) 的步骤和方法: (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,

M ?m 则 A= 2

M ?m ,b= 2

2π (2)求ω,确定函数的周期 T,则可得ω= . T
(3)求 ? ,常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A、ω、b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意 交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 ? 值时,往往以寻找“五点法”中的第 一个点为突破口.具体如下:

“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时ωx+ ? =0;

π “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+ ? = ; 2
“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时ωx+ ? =π;

3π “第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+ ? = 2 “第五点”时ωx+ ? =2π.

;

变式训练 2-1:(2013 南京模拟)已知函数

π? ? ? y=Asin(ω x+φ ) ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 的部 2? ?
分图象如图所示,则ω 的值为 .

解析:由题图可知函数的最大值为 2,故 A=2,

由 f(0)=

2 可得 sin

φ=

2 2

π ,而|φ|< , 2

π 故φ= . 4

? wπ π ? ?π ? ? ? =1,故 再由 f ? ? =2 可得 sin ? ? 12 ? ? 12 4 ?

wπ π π + = +2kπ,k∈Z, 12 4 2
故 0<ω<6,故ω=3. 答案:3

T π π 又 > ,即 T> 3 4 12

,

三角函数模型的简单应用
【例 3】 如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的 一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0)x? [0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3 );赛道的 后一部分为折线段 MNP,为保证 参赛运动员的安全,限定 ∠MNP=120°.

(1)求 A,ω 的值和 M、P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 思维导引:(1)由图象求出 A 及周期 T,进而求得ω. (2)连接 MP.在△MNP 中,设∠PMN=θ,利用正弦定 理,求得 MN、 的表达式,进而表示出 MN+NP 关于 NP θ的表达式,求最值.

解:(1)依题意,有 A=2 又 T=



T 3, 4

=3,T=12,

π ∴ω= . 6 π ∴y=2 3 sin x. 6

?

,

当 x=4 时,y=2 ∴M(4,3), 又 P(8,0), ∴MP=

3 sin

2π =3, 3

4 ? (?3)
2

2

=5.

(2)法一 连接 MP,如图所示,在△MNP 中, ∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN=θ, 则 0°<θ<60°,

MN NP MP 由正弦定理得 = = , sin 120 ? sin ? sin(60? ? ? )

10 3 ∴NP= 3 10 3 ∴MN= 3

sin θ.

sin(60°-θ)

10 3 故 NP+MN= 3

sin

10 3 θ+ 3

sin(60°-θ)

? 10 3 ? 1 3 ? sin ? ? cos ? ? = ? 3 ?2 2 ? ?

10 3 = 3

sin(θ+60°)

∵0°<θ<60°, ∴60°<θ+60°<120°, ∴当θ+60°=90°, 即θ=30°时,折线段赛道 MNP 最长, 亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段赛道 MNP 最长.

法二 在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN +NP -2MN·NP·cos ∠MNP=MP , 即 MN +NP +MN·NP=25,
2 2 2 2 2

? MN ? NP ? 故(MN+NP) -25=MN·NP≤ ? ? 2 ? ?
2

2

3 从而 4

(MN+NP) ≤25,

2

10 3 即 MN+NP≤ , 3 5 当且仅当 MN=NP= 3 时, 3
折线段赛道 MNP 最长.

三角函数模型在实际中的应用体现 在两个方面,一是已知函数模型,利用三角函数 的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变 量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二 是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角 函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问 题,其关键是建模.

变式训练 3-1:(2012 珠海模拟)某港口水的深度 y(m) 是关于时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作 y=f(t), 下面是某日水深的数据:
t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asin ω t+b 的图象,根据以上的数据,可得函 数 y=f(t)的近似表达式为 .

解析:从题表可以看出,当 t=0 时,y=10, 且函数的最小正周期 T=12, ∴b=10,由



π =12 得ω= , ? 6

由 t=3 时 y=13 得 Asin ∴A=3.

π +10=13, 2 π t+10. 6

∴y=f(t)的近似表达式为 y=3sin 答案:y=3sin

π t+10 6

【例题】 (2012 年高考四川卷)函数 f(x)=

?x
2

6cos

2

+

3 sin

ω x-3(ω >0)

在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点,B、C 为图象 与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.

(1)求ω 的值及函数 f(x)的值域;

8 3 ? 10 2 ? , ? ,求 f(x +1) (2)若 f(x )= ,且 x ? ? ? 5 ? 3 3?
0 0 0

的值.

解:(1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ =2

3 sin

ωx

π? ? 3 sin ? ?x ? ? . 3? ?
3 ,从而 BC=4.

又正三角形 ABC 的高为 2

所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8, 即



π =8,ω= . ? 4
3 ,2 3 ].

函数 f(x)的值域为[-2

8 3 (2)因为 f(x )= , 5
0

? πx0 π ? 8 3 ? ?= 由(1)有 f(x )=2 3 sin ? , 3? 5 ? 4 ? πx0 π ? 4 ? ?= . 即 sin ? 3? 5 ? 4 ? 10 2 ? , ?, 由 x ? ?? ? 3 3?
0 0

πx0 知 4

π ? π π? + ? ?? , ?, 3 ? 2 2?
2

? πx0 π ? ?4? ? ? = 1? ? ? 所以 cos ? 3? ?5? ? 4
故 f(x0+1)=2

3 = , 5

? πx0 π π ? ? ? ? 3 sin ? 4 3? ? 4

=2

?? πx0 π ? 3 sin ?? ? ?? 3? ?? 4

π? ? 4?

=2

? ? πx0 π ? π π? ? πx0 π ? 3 ?sin? ? ? cos ? cos? ? ? sin ? 3? 4 3? 4? ? 4 ? ? 4
?4 2 3 2? 7 6 ?= 3? ? ? ? ?5 2 5 2 ? 5 ? ?
.

=2

对相位变换理解不透致误 【典例】 (2012 临沂模拟)要得到函数 y=

π? ? sin ? 2x ? ? 的图象,可将 y=sin 2x 的图象( 3? ?

)

π (A)向右平移 个单位长度 6 π (B)向左平移 个单位长度 6 π (C)向右平移 个单位长度 3 π (D)向左平移 个单位长度 3

π? ? ? π ?? ? 正确解析:∵y=sin ? 2x ? ? =sin ? 2? x ? ? ? , 3? 6 ?? ? ? ? π? ? ∴要得到 y=sin ? 2x ? ? 的图象, 3? ?

π 只需将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度即可. 6
故选 B.

(1)本题易错选 D,原因是对相位变 换理解不透.相位变换只对 x 而言,当 x 的系数不 为 1 时,应提取系数后,观察 x 的变化.如本题 y=sin

? ? π ?? π 2x 与 y=sin ? 2? x ? ? ? ,x 变化了 个 6 ?? 6 ? ?

单位长度. (2)本题的另一个易错点是平移的方向弄反致误.

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