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湖南省娄底市2014-2015学年高一上学期期末考试(数学)


湖南省娄底市 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。将正确答案的序号填在下表对应的题号下面。 ) 1.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A. 300 B. 450 C. 600 D. 135
0

2.下列函数中,既是奇函数,又在定义域内为减函数的是 A. y ? ( )

1 2

x

B. y ?

2 x

C. y ? ?2 x3

D. y ? log2 (? x)

3.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点。则异面直 线 EF 与 GH 所成的角等于 A. 45 ? B. 60 ? C. 90 ? D. 120 ? 4、某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢, 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与产量 x 的关系,则可选用 A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数

5.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积为
2 主视图
2 3

左视图

俯视图

8 3 C. 8 3 3 6.经过点 (?1,0) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程是
A. 8 B. A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 7.函数 f ( x) ? ln x ? B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

D. 4 3

2 的零点所在的大致区间是 x
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( 1, 2) A.

( 2, 3) B.

( 3, 4) C.

D. ?e, ? ? ?

8.已知 a ? 2, b ? 20.8 , c ? 2log5 2 ,则 a , b, c 的大小关系为 A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

9.若点 P (a, b) 在圆 C: x 2 ? y 2 ? 1的外部,则直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 C 的位置关系是 A. 相切 10.函数 y ? B.相离 C. 相交 D. 以上均有可能

x2 的图象大致是 2x ? 1
Y Y Y

Y

o

X

o

X o

X

o

X

A

B

C

D[]

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.计算:lg5+lg2= 。

12.在空间直角坐标系中,点 A(1,-2,3)关于平面 xoz 的对称点为 B,关于 x 轴的对称点为 C,则 B、C 间的距离为__________。
2 2 13.点 P ( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是__________。

14. 已知 a

? 0 且 a ? 1 ,则函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 2 必过定点_________。

15. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a, b] 内是单调函 数; ② f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”。 下列函数中存 在“倍值区间”的有________。 ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? 3

x

(x∈ R) ;

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) =︱x︱(x∈ R) ;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) 16. (6 分) 设全集 U={x︱0<x<9,且 x∈Z},集合 S={1,3,5},T={3,6},求: (1)S∩T
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(2)C U (SUT )

? x2 ?1 , x ? 1 ? 17. (8 分)已知函数 f ( x ) ? ?log x , x ? 1 1 ? ? 2
(1)在下表中画出该函数的图像; (2)直接写出函数 y =f ( x) 的值域、单调增区间及零点。 解: (1) Y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 0 -1 1 -2 -3 -4 1 2 3 4 X

(2) y =f ( x) 的值域是

y =f ( x) 的单调增区间是 y =f ( x) 的零点是
18.(8 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,
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点 E 在棱 PB 上 (1)求证:AC⊥平面 PDB (2)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

19.(8 分)已知函数 f (x)=loga(3-ax)(a>0 且 a≠1)。 (1)当 x∈ [0,2]时,函数 f (x)恒有意义,求实数 a 的取值范围。 (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f (x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由。

20. (10 分)已知圆 O 的方程为 x2+y2=4。 (1)求过点 P(1,2)且与圆 O 相切的直线 L 的方程; (2)直线 L 过点 P(1,2),且与圆 O 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 L 的方程;

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娄底市 2014-2015 学年上学期高一期末考试数学参考答案 一、选择题:

二、填空题: 11、1 12 、6 13、8 14. (2,-2)

15. ①③ (注:对而不全得 2 分) 三、解答题: 16. .解:U={1,2,3,4,5,6,7,8} (1)S∩T= { 3 } (2)S∪T={1,3,5,6 } C U (SUT ) ={2,4,7,8} 1分 3分 4分 6分

18、解: (1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,又 BD∩PD=D ∴AC⊥平面 PDB, 3 分 (2)设 AC∩ BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, 5 分 又 O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, OE ?

1 PD , 2

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在 Rt△AOE 中, OE ?
?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2

∴ ?AOE ? 45 , 7 分 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 8 分
?

20.解 则由

(1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1), |2-k|
2

1分

4 =2,得 k1=0,k2=- , 3 k +1

2分 4分

从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0.

(2)①当直线 m 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,m 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1,- 3),这 两点的距离为 2 3,满足题意; 6 分 ②当直线 m 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离 |-k+2| 3 为 d(d>0),:则 2 3=2 4-d2,得 d=1, 7 分从而 1= 2 , 得 k= , 4 k +1 此时直线方程为 3x-4y+5=0, 9分 10 分 8分

综上所述,所求直线 m 的方程为 3x-4y+5=0 或 x=1.

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