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2015届高三文科数学基础题训练25


只有脚踏实地的人才能说:“路就在我脚下。 ”

基础题训练 25
1月5日 星期一 1. 如图 1-1 所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为________

2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则 角 C=__________ 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1, x2.若 f(x1)=x1<x2, 则关于 x 的方程 3(f(x))2 +2af(x)+b=0 的不同实根个数为__________ π? 4.设函数 f(x)=sin x+sin? ?x+3?. (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到.

1月6日 星期二 1. 定义在上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 2.若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 3. 如图 1-3,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动 点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是________(写 出所有正确命题的编号). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

只有脚踏实地的人才能说:“路就在我脚下。 ”

4.已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.

1月7日 星期三 1.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3

)

x≥0, ? ? 2.设 D 为不等式组?2x-y≤0,表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最 ? ?x+y-3≤0 小值为________. π 3.已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:x cosθ +y sinθ =1?0<θ< ?.设圆 O 上到直线 l 的距离等 2? ? 于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 4. 如图 1-3 所示, 四棱锥 P—ABCD 中, ∠ABC=∠BAD=90° , BC=2AD, △PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

图 1-3 (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离.

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1 月 8 日 星期四 1 如图 1-3 所示,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cos x, 则 y 与时间 t(0≤t≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( )

图 1-3

图 1-4 2.设 a,b∈,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是________. 3.对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1,ai2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1, x2,?,x100,其中 xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为 0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列” 为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________; (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列”q1, q2, ?, q100 满足 q1=1, qj+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98, 则 P∩Q 的元素个数为________. 4.如图 1-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC =3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时, 画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

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1 月 9 日 星期五 1.设 z 是复数,则下列命题中的假 命题是( .
2 2

)

A.若 z ≥0,则 z 是实数 B.若 z <0,则 z 是虚数 2 C.若 z 是虚数,则 z ≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 2.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是________ 3.观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ?? 照此规律,第 n 个等式可为______________. (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1) x2 4.直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2=1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形.

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基础题训练 25
1月5日 星期一 1. 如图 1-1 所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为________

1 1 1 1 1 1 [解析] 依次运算的结果是 s= ,n=4;s= + ,n=6;s= + + ,n=8,此时输 2 2 4 2 4 6 1 1 1 11 出 s,故输出结果是 + + = . 2 4 6 12 2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则 角 C=__________ 3a 7a [解析] 根据正弦定理, 3sin A=5sin B 可化为 3a=5b, 又 b+c=2a, 解得 b= , c= . 5 5 a2+b2-c2 25t2+9t2-49t2 令 a=5t(t>0), 则 b=3t, c=7t, 在△ABC 中, 由余弦定理得 cos C= = 2ab 2×5t×3t 1 2π =- ,所以 C= . 2 3 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1, x2.若 f(x1)=x1<x2, 则关于 x 的方程 3(f(x))2 +2af(x)+b=0 的不同实根个数为__________ [解析] f′(x)=3x2+2ax+b, 根据已知, 得 3x2+2ax+b=0 有两个不同的实根 x1, x2, 且 x1<x2, 2 根据三次函数的性质可得 x1 是函数 f(x)的极大值点,方程 3(f(x)) +2af(x)+b=0 必然有 f(x) =x1 或 f(x)=x2.由于 f(x1)=x1 且 x1<x2,如图,可知方程 f(x)=x1 有两个实根,f(x)=x2 有一个 实根,故方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根.

π? 4.设函数 f(x)=sin x+sin? ?x+3?. (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到. 1 3 3 3 π 解:(1)因为 f(x)=sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x= 3sinx+ , 2 2 2 2 6 π π 2π 所以当 x+ =2kπ- (k∈),即 x=2kπ- (k∈)时,f(x)取得最小值- 3. 6 2 3

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此时 x 的取值集合为 π 有的点向左平移 个单位,得 y=f(x)的图像. 6

(2)先将 y=sin x 的图像上所有点的

纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变), 得 y= 3sin x 的图像;再将 y= 3sin x 的图像上所

1月6日 星期二 1. 定义在上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 1 1 [解析] 当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1,由 f(x+1)=2f(x)可得 f(x)= f(x+1)=- x(x+1). 2 2 2.若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. n+1 11.2 2 -2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,∴q=2,∴a1(q+q3)=20, 2(1-2n) n+1 ∴a1=2,∴Sn= =2 -2. 1- 2 3. 如图 1-3,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动 点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是________(写 出所有正确命题的编号). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2

1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

3.①②③⑤ [解析] 对于①②,如图(1)所示,因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 2 1,当 CQ= 时,PQ= ,这时过 A,P,Q 三点的截面与 DD1 交于 D1, 2 2 AP=D1Q= 5 ,且 PQ∥AD1,截面 S 为等腰梯形. 2

1 当 CQ< 时,过 A,P,Q 三点的截面与直线 DD1 的交点在棱 DD1 上,截面 S 为四边形, 2 故①②正确. 对于③④⑤, 如图(2)所示,联结 QR 并延长交 DD1 的延长线于 N 点,联结 AN 交 A1D1 于 M,

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1 取 AD 中点 G,作 GH∥PQ 交 DD1 于 H 点,可得 GH∥AN,且 GH= AN.设 CQ= 2 t(0≤t≤1),则 DN=2t,ND1=2t-1, ND1 D1R 2t-1 = = , C1Q RC1 1-t 3 D 1R 2 1 当 t= 时, = ,可得 C1R= ,故③正确; 4 C 1R 1 3 3 当 <t<1 时,S 为五边形,故④错误; 4 当 t=1 时,Q 与 C1 重合,M 为 A1D1 的中点, S 为菱形 PC1MA, AM=AP=PC1=C1M= × 3= 6 ,故⑤正确. 2 5 1 , MP= 2, AC1= 3, S 的面积等于 × 2 2 2

4.已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解:由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a, f(a))处与直线 y=b 相切, 所以 f′(a)=a(2+cos a)=0, b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f ′(x)=0,得 x=0. f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 1 (0,+∞) + ?

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1 是 f(x) 的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时,曲线 y=f(x)与直 线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+ ∞).

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1月7日 星期三 1.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 .A [解析] 方法一:作出函数 f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4 的图像如图所示

可知,其交点个数为 2,选 C. 方法二(数值法) x f(x)=ln x g(x)=x -4x+4 可知它们有 2 个交点,选 C. x≥0, ? ? 2.设 D 为不等式组?2x-y≤0,表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最 ? ?x+y-3≤0 小值为________. 12.
2

1 0 1

2 ln 2(>0) 0

4 ln 4(<4) 4

2 5

5

[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域,如图所示.根据可行域可知,区域 D

|2-0| 2 5 内的点到点(1,0)的距离最小值为点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离,即 d= = . 5 5 π 3.已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:x cosθ +y sinθ =1?0<θ< ?.设圆 O 上到直线 l 的距离等 2? ? 于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 4 [解析] 圆心到直线的距离 d=1,r= 5,r-d>d,所以圆 O 上共有 4 个点到直线的距离 为 1,k=4. 4. 如图 1-3 所示, 四棱锥 P—ABCD 中, ∠ABC=∠BAD=90° , BC=2AD, △PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

只有脚踏实地的人才能说:“路就在我脚下。 ”

图 1-3 (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. 解: (1)证明: 取 BC 的中点 E, 联结 DE, 则四边形 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD, 垂足为 O.联结 OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD, 即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点. 故 OE⊥BD, 从而 PB⊥OE. 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点,所以 OE∥CD. 因此 PB⊥CD.

(2)取 PD 的中点 F,联结 OF,则 OF∥PB. 由(1)知,PB⊥CD,故 OF⊥CD. 1 又 OD= BD= 2,OP= PD2-OD2= 2, 2 故△POD 为等腰三角形,因此 OF⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 OF⊥平面 PCD. 因为 AE∥CD,CD?平面 PCD,AE?平面 PCD,所以 AE∥平面 PCD. 1 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF= PB=1, 2 所以点 A 到平面 PCD 的距离为 1.

1 月 8 日 星期四 1 如图 1-3 所示,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cos x, 则 y 与时间 t(0≤t≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( )

图 1-3

只有脚踏实地的人才能说:“路就在我脚下。 ”

图 1-4 10.

B [解析] 如图, 设∠MOA=α, cos α=1-t, cos 2α=2cos2 α-1=2t2-4t+1, x=2α· 1 2 =2α,y=cos x=cos 2α=2t -4t+1,故选 B. 2.设 a,b∈,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是________. (-∞, +∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|b -a|=|a-b|.又由|a-b|>2 恒成立,故不等式解集为(-∞,+∞). 对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1,ai2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1, x2,?,x100,其中 xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为 0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列” 为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________; (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列”q1, q2, ?, q100 满足 q1=1, qj+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98, 则 P∩Q 的元素个数为________. 2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为 1,0,1,0, 1,0?,0,故可知前三项和为 2. (2)根据“E 的子集 P 的“特征数列”p1, p2, ?, p100 满足 p1=1, pi+pi+1=1, 1≤i≤99” 可知子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,?,1,0.即奇数项为 1,偶数项为 0.根据“E 的子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98”可知 子集 Q 的“特征数列为 1,0,0,1,0,0,?,0,1.即项数除以 3 后的余数为 1 的项为 1, 其余项为 0,则 P∩Q 的元素为项数除以 6 余数为 1 的项,可知有 a1,a7,a13,?,a97,共 17 项. 4.如图 1-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC =3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时, 画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

只有脚踏实地的人才能说:“路就在我脚下。 ”

图 1-3 解:(1)在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E. 由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4,依勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD. 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60° ,得 PD=4 正视图如图所示. 3.

(2)方法一:取 PB 中点 N,联结 MN,CN.在△PAB 中,∵M 是 PA 中点,∴MN∥AB, 1 MN= AB=3. 2 又 CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC. 1 (3)VD-PBC=VP-DBC= S△DBC· PD, 3 又 S△DBC=6,PD=4 3,所以 VD-PBC=8 3.

1 月 9 日 星期五 1.设 z 是复数,则下列命题中的假 命题是( . A.若 z ≥0,则 z 是实数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 C
2 2

)

B.若 z <0,则 z 是虚数 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0

?ab=0, ? [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,若 z2≥0,则? 2 即b 2 ?a -b ≥0, ? ? ? ?ab=0, ?a=0, ? =0,故 z 是实数,A 正确.若 z2<0,则? 2 即 故 B 正确.若 z 是虚数,则 2 ?a -b <0, ? ?b≠0, ? ? ?a=0, 2 b≠0,z2=a2-b2+2abi 无法与 0 比较大小,故 C 是假命题.若 z 是纯虚数,则? z ?b≠0, ? =-b2<0,故 D 正确.

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2.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是________ 1 [解析] 由题意点 M(a, b)在圆 x2+y2=1 外, 则满足 a2+b2>1, 圆心到直线的距离 d= 2 2 a +b <1,故直线 ax+by=1 与圆 O 相交. 观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ?? 照此规律,第 n 个等式可为______________. (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1) x2 4.直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2=1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形. 解:(1)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 t2 1 t, ?,代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3. 所以可设 A? ? 2? 4 4 所以|AC|=2 3. (2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0.
?x2+4y2=4, ? 由? 消 y 并整理得 ? ?y=kx+m

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2 4km m 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?.

?

?

1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

?- 1 ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. 因为 k· ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.



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