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2015年全国初中数学联合竞赛


2 4  

中 等 数 学 



 
2 0   1   5 年 全 国 初 中 数 学 联 合 竞 赛 
中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识 码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 1 1 — 0 0 2 4— 0 5  <

br />
第 一 试 


4 . 已知 O为坐标 原点 , 位于第 一象 限 的 
1  



选择题 ( 每小题 7分 , 共4 2分 )  

点 A在反 比例 函数 Y=   (  > 0 ) 的图像 上 ,  

1 . 设实数 a 、 b 、 C 满 足 
a +b+c=3. 口2+b 2+c 2=4
. 

位于第二象 限的点 B在反 比例 函数 Y=一  
.  

则 

+  

+  

=c  

(  < 0 ) 的 图像上 , 且  . 1 . O B . 则t a n   A B O  

的值为 (  
1   二 

) .  
二 

( A) O   ( B ) 3   ( C) 6   ( D) 9   2 . 在 矩形 A B C D中, 已知 A D =5 , A B=   l O , E 、 F分别 为矩形外 的两 点 , B E=D F= 4 ,  

( A ) ÷   ( B ) 等  ( c ) 1   ( D ) 2  
5 . 若实数 、 Y 满足关系式 x y 一  一 Y = 1 ,  

A F=C E= 3 . 则  ( A) 4  
( C )  

=(  

) .   ( B) 1 5  
( D) 1 o  

则  + Y   的最小值为 (   ( A) 3— 2 √ 2  

) .   ( B ) 6— 4 u / 2  

3 . 若抛物线 ) , =   +   + c 与 轴 只有一  个公共点 , 且 过点 A ( m,  ) , B( m一 8 , n ) , 则 
n=(   ) .  

( A) 8  

( B ) 1 2   ( C) 1 6   ( D) 2 4  

( c ) 1   ( D) 6 + 4 √ 2   6 . 已知  为 小 于 1 0 0 的正 整 数 , 且 使  5 n   + 3 n一 5为 1 5的倍 数. 则 符合 条 件 的所  有正整数  的和为 (   ) .   ( A) 2 8 5 ( B ) 3 5 0 ( C) 5 4 0 ( D) 6 3 5  
( 3 ) 若 曲线 C为抛物线 y 2 =2  , 则 通过  上述方法可得 G(   c , Y G ) 恒过定直线 
+k y 3  
Y   —   一 。  

类似地 , 看 点 P 在 Y轴 上 , 贝 0  
b  
Y c  

Y 1  
G+   ,  

直 线 与   轴 的 交 点 与 后 无 关 , 恒 为 ( o ,   ) .  
( 2 ) 若曲线 C为圆(  一 0 )   + ( Y 一 6 )   = r 2 ,   则通过上述方法可得 G (   G , Y G ) 恒 过定直线 
1  
Y   一  

显然 , 该直线与  轴平行.   可见 , 通过 以上探究 , 对于平面上斜率 为  k 的直线 Z , 其与 圆锥 曲线若 有两个 不 同的交  点, 则这两点 与平 面上该 直线 外任 意一 定 点 
所构成 的三 角形 之重 心恒过 一条 直线 , 即直  线f 平移时, 三 点所 构成 的三角 形重 心 轨 迹 

3+k y 3+2 a +2 k b  
+— — —   — 一 ?  

最后 , 由该 方 程 , 知 当  =0 ,   =0 , 即点  P 、 圆心均在 Y轴上 时 , 该直 线与 Y轴交 点与 

直 线 z 的 斜 率   无 关 , 为 定 点 f 0 , Y 3   + 3 2 b ) . 当   圆 心 在 原 点 时 , 该 定 点 坐 标 为 ( 0 ,   ) .  

在一条直线上.  
参 考文 献 :  
[ 1 ] 2 0 1 1年 全 国高 中数学联 合竞 赛 [ J ] . 中等数 学 , 2 0 1 1  
( 1 2) .  

2 0 1 5年 第 1 1 期 

二、 填空题 ( 每小题 7分 , 共2 8分 )   1 . 设0 、 6 为一 元 二次方 程  一   一1 = 0   的两根. 则3 。 : + 4 6 +   的值为 
0 

= A C= B D . 过 点 D作 D F   上B D, 与  的延长线交  于点 ,,   B F D 的平分线  分别与 A D、 B D交于点  、  
Ⅳ . 证明:  
( 1 )  


2 . 从三边 长均 为整数 且 周长 为 2 4的三  角形 中任取 一个 , 其是 直角 三角 形 的概率 为 

j [ )  

3 Z  D A C:  

蹩 垫 。 1 , 2 :  ,  案   , !   6 . 。   奏  至 少 有 一 个 正 整 数 根 , 求 满 足 条 件 的 正 整 数   从 小 篾 到   大 的 顺 序则 第三 茎 查  墼   左   塞 墨   …   … … ~~  …一~ ’   列所 填六 4 - 数 的和 
?



。 





(  
交于  证明:   图  
( 1   )   B A D   = 3 Z  D A C;  

如 图 3 ’
, .

C =9 。。 ?    ̄ I   Z  A F D= Z  B E

E F

、 、 、 、

、 、 ,



G  

( 2 )  

=   C D测 删 = M D
. 

图3  

三、 ( 2 5分 ) 设正整数 m、 忍 满足关 于 的  方程 (  + m ) (  + n )=  + m+ n至少 有一个  整数解. 证 明: 2 ( m   + n   ) < 5 m n .  

则△ B E C   △D F A   D A F=   B C E .   延长 F A、 E B交 于 点 G .   由   G A B= 9 0 。 一   D A F=   A D F,  
G B A =9 0 。一   C B E=   BC E=   DA F.  

B 卷 




( 2 0分 ) 若正数 a 、 b 满足 a b = 1 , 求 
+ 



△B G A   C / 9 △A F D, 且  A G B=9 0 。 .   于是 , A G: 8 , B G= 6 .   从而, G F=1 1 , G E=1 0 .  

= 

的最小值.   二、 ( 2 5分 ) 如图2 , 圆 内接 四边形 A B C D   的对角线 C、 B D交 于点 E, 且4 C- l - B D, A B  

因此  E F =√ G { j 2 + G F 2 =厨
3 . C.  

.  

依题 意有 

2 6  

中 等 数 学 

n= , n 2 + 6 m+ c=( t T / , 一 8 )  +6 ( , n一 8 )+ c  
= 6=8—2m.  

( 1 0+ 2 5+ 4 O+ 5 5+ 7 O+ 8 5 )= 6 3 5 .  
二 、 1 . 1   1 .  

注 意到 , 抛物线 Y=   +   + C 与  轴 只  有一个公共点.  

由已知得 a b=一1 , 0+ b=1 ,  
Q  =a+1. b  =6+ 1 .  

则6   一 4 c = 0  c = ÷ 6   = ( 4 一 m ) 2 .  
故 n=   + b m+ C  

故3 a   + 4 b +   = 3 a   + 4 b + 2 b  


3 a 2 + 3 0+ 6 6 + 2= 6 ( 口+6 )+ 5=1   1 .  
.  

=m   +( 8—2 m) , n+( 4一m)  =1 6 .  
4. A.  

2.  

过点 A 、   分 别作 A C上  轴 于点 C , B D   _ l _  轴 于点 D .  
由  上O B, 得  A O B= 9 0 。 .  
于是 , / XA O C∽ △ 0 B D .  

一  
|1   I 一 4   I  
。 。

故t a n   L  a s o=   O A:  

| O C ? A C | 1   x A Y a   I D D? B D √I   x B Y 口 I  
5. B.  

1   2 。  

议 、 n     +y  t .  

贝 0 由已知得 x y=  + y+1= t +1 .  

设三角形 三边 长为 口 、 b 、 c ( 口 ≥6 ≥c ) . 则  3 a ≥口+b+ c =2 4, 2 a<口+( b+c )= 2 4 .   于是 , 8 ≤口<1 2 .   故 0的可 能取 值 为 8 、 9、 1 0或 1   1 , 满 足  题 意的数组 为  ( 口 , b , c )   ( 8 , 8 , 8 ) , ( 9 , 9 , 6 ) , ( 9 , 8 , 7 ) ,   ( 1 O , 1 0, 4 ) , ( 1 0, 9, 5 ) , ( 1 O, 8 , 6 ) ,   ( 1 O, 7, 7 ) , ( 1   1 , 1   1 , 2 ) , ( 1   1 , 1 0 , 3 ) ,   ( 1   1 , 9, 4 ) , ( 1   1 , 8 , 5 ) , ( 1   1 , 7 , 6 ) ,   共l 2组 , 其中, 只有 一组 为直角 三角形 的 三  边长.  


从而 , x , y为关 于 m 的一元二次方程 
m 一  m +t+1=0  

从 而, 所 求 概 率 为 击.  
3. 6 U。 .  

的两个实数根.   故 A= t   一 4 ( t + 1 ) >0 I  

如图4 , 作E M_ l - B C  
予  M , F N   B C于 



 

t >2+ 1 2 √ 2 或t ≤2 — 2 4 g.  
又  + ) ,   =(  +   )  一 2 x y   =t   一 2 ( t +1 )=( t 一1 )  一 3 ,  
则当 t = 2— 2   , 即  =Y=1一   时, 戈  + Y  

N, F P上 E M 于点 P .   易 知  、 Ⅳ 分 别 为  7   边B D、 C D的中点.   又  = B C, 则  B  


\  

取得最小值 6— 4   .  
6. D.  

PF =MN 
1  
=  

1  

BC :   EF   P  =3 O。 .  
P F =3 O。 .  

由5   + 3 n一 5为 1 5的倍数 
5   I ( 5 n   +3 凡一 5 )=  5   I   3 n   5   I   n .  
j 

图4  

设 n = 5 m ( m ∈ N+ ) . 则 
5 n  +3   一5=1 2 0 m +1 5 m +5 ( , n  一1 ) .  

结合 E F   A D, E M   B C, 得 
ADC =  

又5 n   + 3 n 一 5为 1 5的倍数 , 故m   一 1 为  3的倍数.   从而, m= 3 k + 1 或 m= 3 k + 2 (   ∈ N) .  
因此 , n=1 5 k +5或 1 5 k +1 0 (   ∈ N) .  

由  A DC=  
1  

+  

D  

=  
4. 6 3 .  

+ ÷( 1 8 0 。 一 2 L  C )  
二 

C一  

B =9 0。一  

ADC =6 0。 .  

所以, 符合条件的所有正整数  的和为 
( 5+ 2 O+ 3 5+5 O+ 6 5+ 8 O+ 9 5 )+  

设第三列所填六个数按从小到大的顺序 

排列后依次为 、  、 C 、 D、 E、  

2 0 1 5年第 1 1 期 

2 7  

由于 A所在行前面需要填两个 比A小 的  数字 , 则 A≥3; 由于  所在 行前 面需 要 填两 

二、 ( 1 ) 在边 B E上取一点 P , 使得 
P=   C.  

个 比  小 的数 , 且 A及  所在行前 面两个数 
均 比 日, J 、 , 则  ≥6 .  

则△ B A P   △c A D   j  A P= A D.  
又A E上 P D, 故 
△A D E   △A P E   j  P A E=   D A E  
PAE =   BAP =   C 

类似地 , C >9 I , DI >1 2 ,  ≥1 5 , F >1 I 8 .   因此 , 第三列所填六个数字之 和为 
A +B + C +D 七E +F   ≥ 3+6 +9 +1 2 +1 5 +1 8 =6 3 .  

/B A D= 3 L  C .  

表 1即为使得第三列所填六个数 之和取  得最 小 值 的一 种 填 法 ( 后 三 列 的数 填 法 不 
唯一 ) .  
表 1  
l   2   3  1 9   2 0   2 1   4   5   6  2 5   2 7   2 9  
7   8   9  2 2  2 3  2 4   1 0  l 1  1 2  2 6  2 8  3 0   1 3  1 4  1 5  31  3 4  3 5  

( 2 ) 设  D A C=   则 
C =2a,   BAD =3 a,   ⅣDM =9 0。一0 c .  

在边 F B上截取 V q= F D, 联结 q o .   则 Q= B F— F Q= B F— F D .  
义 8r z p V=   肋 =  


旦 Q=   =  

。  
.  

由/ Q B D=   D C A, 知 
△ Q 肋 ∽ △ DC A  
p 加 =   D A C=   D B C  

1 6   1 7  1 8   3 2   3 3  3 6  

第 , 一i 一 试  ¨ ^ .   A 卷 
由方程① , 知  ≥m, 且 ≥1 .   若 m< 0 , 则 


#8 c .  
故  V O 0=   A B C= 9 0 。 一  .  

又  = F D, 则  B F D= 2 a .   因为 删 平 分  B F D, 所以,   A F M=   .   则  N M D=   A M F=   B A D一   A F M  
=3   0 c —   =2 a.  



+ 2 而
不符合题意. 故 m≥0 .   方程①变形得 

>   ,  

故  M N D=1 8 0 。 一   N MD一   N D M 


9 0。一   =   MDN.  

2 历

=  一  

从而 , MN=MD.  

2 x  +m 一4= 一2 x、  【  

8 ( 2一 m) x   =( m一 4 ) 2 .  

三、 整理 已知方程得  2 +( , n+ , 暑 一 1 )  + , 扎 n — m— n = 0 .  

)  

故0 ≤玎 l < 2 , 且此时方程① 只可能有解 
4 一m 

方程① 的判别式 
△=( , n+n一1 )  一 4 ( , 孔 凡一, n—n )  


( m —n )  十 2 ( , n+ n )+1 .  

不妨设 m≥ 

将  : _  代 人方程① , 整理得  / 8 ( 2一 m)  


由整 系数方 程① 至 少有 一个 整数解 , 知 
△应为完全平方数.   注意 到 ,   A=( , n—n ) 2 + 2 ( , 孔+n )+1  


I   3 m 一4   I=4 —3m =》O≤ m ≤  4
. 

此时, 方程①有 唯一解 =   4一  

嚼 

( m —n+1 )  + 4 n>( J  一 n+1 )  ,  

综 上 , 实 数 m 的 取 值 范 围 是 o ≤ m ≤ 詈 .  

A=( , n—  )  + 2 ( m+n )+1  


( m—n+ 3 )  一( 4 m一 8 n+ 8 ) .  

中 等 数 学 

若4 m一 8 n+ 8> 0 , 即, n> 2 n一 2, 贝 0  
△<( m —t / , + 3 ) 2 .  

/   F =2  
AFM :   BAD 一   AMF =  .  

故( , 孔一  +1 )  <△<( / 1 " / , 一t / , + 3 ) 2 .   从而 , 只可能 
A=( , n一  + 2 )  

又 刚 平分  B F D, 则 
/ BF D =2/ 尸  =2  .  

如图 5 , 在边 F B   上截 取 F q =F D, 联  结p D .  
则  F O 0  


( , n— n ) 2 + 2 ( , n+ t / , )+ 1 =( , 孔一 / 7 , + 2 ) 2  

m= 3 n 一 ÷,  
二 

这与 m、 n均为正整数矛盾.  
因此 , m≤2 n一 2   m <2 n   m< 2
. 

9 0。一  
BC 

=  

又   >1>   1


/ / B C  
则 
i  

n 

Z 

Q D B  
DBC   DAC.  

图5  

(   一   ) (   一 2 ) < 0  2 (   + n 2 ) < 5 , 矾 .  
B 卷 


=  

又D B= A C,   Q 肋 =   D C A, 则 



由。 6 = 1   6 :   .   1 +  

△Q 肋  △D C A   Q=C D .   因此 , B F=日 Q+ F Q=C D +D F .  
三、 设 方 程 的 两 个 根 为 。 、  , 且 。 为 正  整数.  

故 M  1 +  1  

贝 0  1 +  2 : 3 4 ,   1   2 =3 4 k一1 .  
,  

1  
+  一 

2  

.  
一 

口  
。  

故  : = 3 4一   也 为整数.  
由   为正整数及 名 1   2 =3 4 k一1 , 知 2 > O .  

设 N=   口   +3 口+2  


则 

于是 ,   : 为正整数.  
注意到 ,  
. 

Ⅳ =0+三 +3≥3+2 √  
0 

(   1 + 1 ) ( X 2 + 1 ) =   l  +   l +  + 1 = 3 4 ( 尼+ 1 )   =  1 7   I (  1 +1 ) (   2+1 )  
=  

当 0=   时, 上式等号成立.   则  = 1 一   ≥1 一( 3— 2   ) = 2   一 2 .  

1 7   I (  l +1 ) 或 l 7   I (   2+1 ) .  

若l 7   l (   +1 ) , 则由  
l+1≤ l+  2   3 4  

因此 , 当 。: √   , 6:   时, M 取得最小  值2 √ 2— 2 .   二、 ( 1 ) 同 A卷第二题 ( 1 ) .  
( 2 ) 设  D A C=  . 则 
BAC =2  .   B AD =3  

=   】 +1=1 7或 1 +1= 3 4 .   当 1 +1 =1 7时 ,   1 =1 6 ,   2 =1 8 , 此时 ,  
3 4k一1=1 6 ×1 8.  

无 整数解 ;  
当 1 +1= 3 4时 , 戈 1 = 3 3 ,   2 =1 , 此时 ,  
3 4k一1=3 3×1   =1 .  

因为 A C上 B D, 所以,   N D M= 9 0 。 一O / .   由 MN=MD  
M ND =   M DN =9 0。一  

若 1 7   I (   2 + 1 ) , 类似可得  = 1 .  
综上 , 满足条件 的正整数  =1 .   ( 徐胜林 提供 )  

N MD =1 8 0 。 一   MN D 一/ N D M=  


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