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河北冀州中学2014届高三上学期期中考试 数学理A卷试题 Word版含答案


试卷类型:A 卷 河北冀州中学 2013-2014 学年上学期期中考试 高三年级数学试题(理科)
考试时间 120 分钟 满分 150 分 命题人:孟 春 审题人:戴洪涛

第 I 卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 4 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M ? {x | ?2 ? x

? 2}, N ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)}, 则M ? N = ( ) A. {x | 1 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | ?2 ? x ? 0} D.{—2,0}[来源
2
2

1 2、已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“ cos A ? ”是“ sin A ? 3 ”的 (



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 3、已知幂函数 y ? f ( x) 通过点(2,2 2 ) ,则幂函数的解析式为( ) A. y ? 2 x
1 2

B.

y?x

1 2

C. y ? x

3 2

1 D. y ? x 2 2

5

24 ? π ? ,α∈?? 4 ,0?,则 sin α+cos α =( ) 25 ? ? 1 1 7 7 A. - B. C. - D. 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? 5、非零向量 a, b 使得 a ? b ? a ? b 成立的一个充分非必要条件是 ( ) ? ? ? ? A . a / /b B. a ? b ? ? ? ? ? a b C. ? ? ? D. a ? b ? 0 |a| |b| 6、 一个空间几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为( ) 4 3 5 3 A. 2 3 B. 2 5 C. D. 3 3 7、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13= -104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则 b6 的值为 () A.± 4 2 B.-4 2 C.4 2 D.无法确定 x ?a(x ? 1) ? 8、若函数 f(x)= ?? a ? 是 R 上的单调 ? 4 ? )x ? 2? x ? 1?? ?( 2 ? ?? 递增函数,则实数 a 的取值犯围为( ) A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8)D. [4,8) log 2 | x | 9、函数 y ? 的图象大致是 ( ) x 4、已知 sin 2α = ?

10、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = n2 ? n ,正项等比数列 ?bn ? 中, b2 ? a3 ,
bn ?3 ? bn ?1 ? 4bn
2

( n ? 2且n ? N + )则 log 2 bn ? ( )

A、n-1 B、2n-1 C、n-2 D、n 11.、设函数 f ( x) ? sin x cos 2 x 图象的一个对称轴是 ( ) ? A. x ? ? B. x ? 0 4 ? ? C. x ? D. x ? 4 2 12 、已知各项均为正数的等比数 列 ?a n ? 中,
a ? a13 1 ?( ) 3a1 , a 3 , 2a 2 成等差数列,则 11 a 8 ? a10 2 A. ?1 或 3 B.3 C.27 D.1 或 27

13、若 AB ? BC ? | AB |2 ? 0 ,则 ?ABC 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三 角形 14、右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对 同一道题的独立评分, p 为该题的最终得分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 9.5 时, x3 等于( ) A.10 B .9 C. 8 D.7 ' 15、设函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ,对任意 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) 成立,则( ) A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定 第Ⅱ卷(共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 16 题---第 25 题为必考题,每个试题考 生都必须做答。第 26 题—第 28 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。将正确答案写在答题纸上。 5i 16、已知 i 为虚数单位,复数 的虚部是 2?i 17、已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 △ABC 的面积为 . 18、 已知数列{an}满足 a1=0, a2=1,an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an , 则{an}的前 n 项和 Sn= .

19、已知 tan(? ? ? ) ?
n

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是 4 4 4 5
1 }的前 n 项和为 an
Sn,

_ 的通项公式为

20、已知 an ? ? (2 x ? 1) dx ,数列{
0

数列

bn =n-8,则 bn S n 的最小值为_____.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 21. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.己 知 csin A=
3 acos C.

(I)求 C;(II)若 c= 7 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A, 求△ ABC 的面积。

22. (本小题满分 12 分)已知数列{an}满足,an+1+ an=4n-3(n∈N*) . (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn;

23. (本小题满分 12 分)已知函数



(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 集合; (2)设△ ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,f(A)=0. 求 b+c 的取值范围.

24.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=21n x-ax+a(a∈R) . (I)讨论 f(x)的单调性; (II)若f(x)≤0恒成立,证明:当0< x1 < x 2 时, 25. (本小题满分12分) 1 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? x ? 2 ln( x ? 1) . 2 (1)求函数 f ( x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

?1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? ? 1? . x2 ? x1 ? x1 ?

? x?0 ? (2) 当 x ? ? 0, ?? ? 时,函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 图象上的点都在 ? 所表示的 1 y ? x ? 0 ? ? 2
平面区域内,求实数 a 的取值范围.

请考生在 、 27 、 28 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 . ....26 . . . . . . . . ......................... 26. (本小题满分 10 分)选修 4 —1 :几何证明选讲 如图:AB 是 GCD 是 的直径,G 是 AB 延长线上的一点,

的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC

于点 E,交直线 AD 于点 F,过点 G 作 的切线,切点为 H.

求证: ( I )C,D,E,F 四点共圆; (II)若 GH=6,GE=4,求 EF 的长.

27.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知抛物线 C : y 2 ? 4a ? x ? a ?? a ? 0 ? ,过原点 O 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点。 (1)求 OA OB 的最小值; (2)求
1 1 ? 的值. OA OB

28. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 ax ? 2 ? ax ? a ? 2 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (Ⅱ)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

高三数学(理科)答案

A: 19.
21.

ABCBD
3 22

DADCD

DCBAB

16. 2

17. 15

n 18. 2 ? n ? 1

20. ? 4

22. 解:(1)若数列{an}是等差数列,则 an =a1+ (n-1)d,an+1 =a1 + nd.

由 an+1+ an=4n-3,得(a1+nd) + [ a1+(n-1)d] =4n-3, 1 即 2d=4,2a1-d=4-3,解得,d=2,a1=- .………….4 分 2 (2)由 an+1+ an=4n-3,得 an+2 + an+1=4n + 1(n∈N*). 两式相减,得 an+2-an=4. 所以数列{a2n-1}是首项为 a1,公差为 4 的等差数列 [, 数列{a2n}是首项为 a2,公差为 4 的等差数列, 由 a2 + a1=1,a1=2,得 a2=-1. ?2n, n为奇数, ? 所以 an=? ………………………8 分 ? ?2n-5, n为偶数. ①当 n 为奇数时,则 an=2n,an+1=2n-3. 所以 Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an-2+an-1)+an 2n2-3n+5 =1+9+…+(4n-11)+2n= . …………10 分 2 ②当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an-1+an) 2n2-3n ? =1+9+…+(4n-7)= .所以 Sn= ? 2 2 2 ? 2n ? 3n
? 2 ? 2n 2 ? 3n ? 5 ,n为奇数, ,

………..12 分 )+2,

n为偶数.

23. 解: (1)f(x)=1﹣ ∵﹣1≤cos(2x+

sin2x+2cos2x=cos2x﹣

sin2x+2 =2cos(2x+

)≤1,∴0≤2cos(2x+

)+2≤4,f(x)的最大值为 4(2 分)

当 2x+

=2kπ(k∈Z) ,即 x=kπ﹣

(k∈Z)时,函数 f(x)取得最大值,

则此时 x 的集合为{x|x=kπ﹣

,k∈Z}; (4 分) )+2=0,即 cos(2A+ )=﹣1, , (6 分)

(2)由 f(A)=0 得:2cos(2A+ ∴2A+ =2kπ+π(k∈Z) ,A=kπ+ , = = 得:b=

(k∈Z) ,又 0<A<π,∴A=

∵a=1,sinA= 由正弦定理 又 A= ∴b+c= =2( ∵A=

=

sinB,c=

sinC, (8 分)

,∴B+C=

,即 C=

﹣B, ﹣B)]= (sinB+ cosB+ sinB)

(sinB+sinC)=

[sinB+sin(

sinB+ cosB)=2sin(B+ ,∴B∈(0, ) ,∴B+

) , (10 分) ∈( , ) ,∴sin(B+ )∈( ,1],

则 b+c 的取值范围为(1,2]. (12 分) 2-ax 24. 解: (Ⅰ)f ?(x)= x ,x>0. 若 a≤0,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上递增; 2 若 a>0,当 x∈(0, a )时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 2 当 x∈( a ,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. …4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 a≤0,f (x)在(0,+∞)上递增, 又 f (1)=0,故 f (x)≤0 不恒成立. 2 若 a>2,当 x∈( a ,1)时,f (x)递减,f (x)>f (1)=0,不合题意. 2 若 0<a<2,当 x∈(1, a )时,f (x)递增,f (x)>f (1)=0,不合题意. 若 a=2,f (x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f (x)≤f (1)=0,合题意. 故 a=2,且 ln x≤x-1(当且仅当 x=1 时取“=”) . …8 分 x2 当 0<x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2ln -2(x2-x1)+2 x1 x2 <2( -1)-2(x2-x1)+2 x1 1 =2( -1)(x2-x1), x1 f (x2)-f (x1) 1 所以 <2( -1). …12分 x1 x2-x1 25. 解:(1) f (0) ? 0, 所以切点为 (0, 0) 1 2 1 3 ? f ?( x) ? 2ax ? ? ? f ?(0) ? ? ? 2 ? 2 x ?1 2 2

所以所求切线方程为 y ?

3 x …………4分 2

1 x[2ax ? (2a ? 1)] ,…………6 分 ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (i) 当 a ? 0 时, g ?( x) ? , x ?1 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,

由 g ?( x) ? 2ax ?

故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. …………8 分 (ii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ① 若
x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 , 2a 2 则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,当 x ? ?? 时,

g ( x) ? ?? ,此时不满足条件;

(iii) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] .

……12 分
A

26. 证明:⑴连接 DB ,? AB 是⊙ O 的直径,??ADB ? 900 , 在Rt ?ABD与Rt ?AFG中,?ABD ? ?AFE , 又??ABD ? ?ACD , D ?ACD ? ?AFE , ?C, D, E, F 四点共圆.――――5 分 C ⑵ E F C、D、F、E 四点共圆 ? GE ? GF ? GC ? GD ? 2 ? ? GH ? GE ? GF GH 切 ? O于点H ? GH 2 ? GC ? GD ? 又因为 GH ? 6, GE ? 4 ,所以 GF ? 9, EF ? GF ? GE ? 5 . ―――10 分 ? x ? t cos ? (t为参数) …………2 分 27 解:.设直线 l 的参数方程为 ? ? y ? t sin ? 与抛物线方程 y 2 ? 4a ? x ? a ?? a ? 0 ? 得
2 t2 s i n ?? 4 a t c? o? s 2 a ? 4

O

B G

H

联立
0 t1 ? t 2 ?

4at ?4a 2 , t t ? …………4 分 1 2 sin 2 ? sin 2 ?

4a 2 ? 4a 2 …………7 分 2 sin ? | t | ? | t 2 | | t1 ? t 2 | 1 1 1 ? ? 1 ? ? …………10 分 | OA | | OB | | t1t 2 | | t1t 2 | a 28 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, 不等式为 | x ? 2 ? | x| ? ? 1 |. 2 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1,2 的距离之和 大于 5 1 5 1? ? 于 2.∴ x ? 或 x ? ∴不等式的解集为 ? x | x ? 或x ? ? . ……5 分 2 2 2 2? ? 注 也可用零点分段法求解. (Ⅱ)解:∵ | ax ? 2 | ? | ax ? a |?| a ? 2 | , ∴原不等式的解集为 R 等价于 | a ? 2 |? 2 , ∴ a ? 4 或 a ? 0 ……10 分 | OA || OB |?| t1t2 |?


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