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《正弦定理》课件 2016河南省优质课大赛高中数学课件


优质课评比

《正弦定理》第一课

单位:开封·河南大学附属中学 姓名:范俊杰

情景引入

如图,设A、B两点在河的两岸,测绘人员只有皮尺和测角仪两种工 具,没法跨河测量,利用现有工具,你能帮忙设计一个测量A、B两 点距离的方案吗?

A

B

C

情景引入

如图,设 A、B 两点在河的两岸,测量者为了得到两点之间的距离.测 量者在 B 的同侧河岸选定一个点 C ,测出 BC 的距离是 54 m. ?B ? 45? ?C ? 60? ,根据这些数据能解决这个问题吗?
A

B

C

数学模型

在?ABC中,BC ? 54,?B ? 45 ,?C ? 60 .求边长AB.
? ?

A

B

D

C

任意三角形中,有大角对大边,小角对小边的边角关系。

探究1 直角三角形边角关系

如图:在 Rt ?ABC 中, ?C 是最大的角,所对的斜边 c 是最大的边,探究边角关系。

解:在 Rt ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? b, AB ? c ,
根据正弦函数定义可得:

A

a b ? sin A ? ; sin B ? c c a b ? ? ? c ? sin C ? 1 sin A sin B
a b c ? ? ? sin A sin B sin C

b

c

C

a

B

探究2 斜三角形边角关系

实验1
a b c ?? ? a :b:c ? ? 1 : 1 :是否成立? 验证 1 在等边 ?ABC 中, ?A ? ?B ? ?C ? 60 , ,对应边的边长 sin A sin B sin C 3

实验2
a ? b b c a c ? ? ,验证 是否成立? a: : bA :c c ?? 1B :1 1: : 30 3 ,验证 ? ?? ? ? 在等腰 ?ABC 中, , ?C ? 120? ,对应边的边长 是否成立? a b : 1 : 3 sin A A sin sin B B sin sin C C sin
?

实验3
多媒体演示

探究2 斜三角形边角关系

猜想
对于任意的斜三角形也存在以下边角关系:

a b c ? ? sin A sin B sin C

探究2 斜三角形边角关系

证明1

如图,在锐角三角形中,设 BC ? a, CA ? b, AB ? c 。
C

证明:在Δ ABC中做 高线CD,

则在RtΔ ADC和R tΔ BDC中 CD ? bsinA, CD ? asinB 即bsinA ? asinB
A
D

B

a b a c ? , 同理可证: ? , sinA sinB sinA sinC a b c ? ? ? sinA sinB sinC

正弦定理(law of sines) 在任意一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等, 即

a b c ? ? sinA sinB sinC

其他证明方法介绍

证明2——外接圆法
分析:作?ABC的外接圆O, 过点C连接圆心与圆交于点 D, 连接AD
C

O A
D

B

定理应用,解决引例

在?ABC中,BC ? 54,?B ? 45 ,?C ? 60 .求边长AB.
? ?

A

B

C

定义:一般地,把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫 做解三角形。

学以致用

例 1 :在 ?ABC 中,已知 A ? 30,B ? 45,a ? 2cm, 解三角形。
? ?

解:由三角形内角和可 得: C ? 180? ? 30? ? 45? ? 105? a b c 由正弦定理 ? ? 得: sin A sin B sin C a sin B 2 sin 45? ?b ? ? ? 2 2cm ? sin A sin 30
?

a sin C 2 sin 105 2 sin 60 ? 45 c? ? ? ? ? ? sin A sin 30 sin 30
? ?

?

? ?

6 ? 2 cm

?

变形应用

正弦定理(law of sines)

a b c ? ? sinA sinB sinC
b sin A 如:a ? sin B

1、已知三角形的任意两个角与一边,解三 角形。

学以致用

,b ? 2 3 ,A ? 45, 例 2 :在 ?ABC 中,已知 a ? 2 2 解三角形。
?

解:由正弦定理

a b ? 得: sin A sin B

b sin A 2 3 sin 45? 3 ?sin B ? ? ? a 2 2 2
? B ? 0, 180?

?

?
? ?

? B ? 60? 或120?
当B ? 60? 时,C ? 75? a sin C 2 2 sin 75? 2 2 sin 30? ? 45? c? ? ? ? 6? 2 sin A sin 45? sin 45?
当B ? 120? 时,C ? 15? a sin C 2 2 sin 15? 2 2 sin 45? ? 30? c? ? ? ? 6? 2 sin A sin 45? sin 45?

?

?

变形应用

正弦定理(law of sines)

a b c ? ? sinA sinB sinC
b sin A 如:a ? sin B
a 如:sin A ? sin B b

1、已知三角形的任意两个角与一边,解三 角形。

2、已知三角形任意两边与其中一边的对角, 解三角形。

课堂小结,总结回顾

a ab b c c ?? ? ? 2 R )及其证明的思想方法; ? 2 R )及其证明的思想方法; 1、正弦定理的内容( 1、正弦定理的内容( ? sin A sin sin A B sin sin B C sin C
2、正弦定理的主要应用: 已知三角形的两角及一边,求其他元素; ? 已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他元素; ? 3、分类讨论的思想、方程思想、转化划归思想等。

课后作业

1、探索整理正弦定理的其他证明方法; 2、通过以下题目,在“已知三角形两条边和其中一边的对角”的条件下进一步 探究正弦定理的应用:
? 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , a ? 6 , b ? 3 ,求 B ;

? 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , a ?

6 , b ? 3 ,求 B ; 2

在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , a ?
?

1 , b ? 3 ,求 B ; 2

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