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第七节 三角函数的诱导公式


三 角

三角 三角
函数

5.5 三角函数的诱导公式

同角三角函数的基本关系
平方关系:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

商数关系:

sin ? tan ? ? cos ?

(? ? k? ?

?
2

,k ?Z)

同一个角 的正弦、余弦的平 方和等于1,商等于角 ? 的正 切。

?

问题提出
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的? y

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

P(x,y)

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

诱导公式
1. 角?与? + k· 2? (k ? Z)的三角函数间的关系 角?与? + k· 2? (k ? Z)的终边相同,根据三角 函数定义,它们的三角函数值相等. y P 公式 (一)

?
M O 1 x

sin(2 k?+? )=sin ? ; cos(2 k?+? )=cos ? (k ? Z) ;

tan(2 k?+? )=tan ? .

公式一:
sin(2k? ? ? ) ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? tan?

(k ? z )

2. 角 ? 与 -? 的三角函数间的关系

探究

若 ? 与 -? 的终边关于 x 轴对称, 它们的三角函数之间有什么关系?

P (cos ? ,sin ?)

y

公式 (二)

?
O -? x

sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos ? tan ? ?? ? ? ? tan ?

P? (cos (-?) ,sin(- ?) )

公式二 sin(?? ) ? ? sin ?
cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan?

3. 角 ? 与 ? + ? 的三角函数间的关系
探究 2 若 ? 与 ? +? 的终边关于原点对称, 它们的三角函数之间有什么关系? y P(x,y)
?
O

公式 (三)

x

sin ( ?+ ? ) =-sin ? cos( ?+ ? ) =-cos ?

P? (-x,-y)

tan (?+ ? ) = tan ?

公式三: sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?

4. 角 ? 与 ?- ? 的三角函数间的关系

探究

若 ? 与 ?- ? 的终边关于y轴对称,

它们的三角函数之间有什么关系? 公式 (四)

sin (?- ? ) =sin ? cos (?- ? ) =-cos ?

tan (?- ? ) =— tan ?

公式四:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos?
tan( ? ? ? ) ? ? tan?

sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

tan(? ? 2k? ) ? tan ?
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数值, 再放上将α 当作锐角时原函数值的符号.

总结:
2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数, 等于?的 同名函数值, 前面加上一个把 ?看成锐角时 原函数值的符号 。

方法总结:
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数, 一般步骤如下:

(1)化负角的三角函数为正角的三角函数。
? 360 (2)化为 0 ~ 的三角函数。
?

(3)化为锐角的三角函数。

概括为:“负化正,正化小,化到锐角就终了。”
用框图表示为:

任意角的三角函数

任意正角的三角函数

锐角三角函数

0 ~2? 的角的三角函数


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