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12.1全等三角形


人民教育出版社义务教育教科书八年级数学(上册)

第十二章 全等三角形

下列各组图形的形状 与大小有什么特点?

下列各组图形的形状 与大小有什么特点?

下列各组图形的形状 与大小有什么特点?

下列各组图形的形状 与大小有什么特点?

思考:他们能

完全重合吗?

下列各组图形的形状 与大小有什么特点?

思考:他们能完全重合吗?

每组的两个图 形有什么特点?

完全重合

把一块三角板按在纸上,画下图 形,照图形剪下纸板。剪下的纸板 与三角板大小、形状完全相同吗? 他们能够完全重合吗?

? 形状、大小相同的图形放在 一起能够完全重合。 ? 能够完全重合的两个图形叫 做全等形 ? 能够完全重合的两个三角形 叫做全等三角形

全等形包括规 则图形和不规 则图形全等

下面三组图形,它们是不 是全等图形?为什么?

大小相同

形状相同

两个图形全等,它们的形状 一定相同 ,大小一定相等!

下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形?它们有什么特点?
A P

C

M

E A

D

B

N
B C

下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形?它们有什么特点?
A
B A D

B

C
E

D

C

下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形?它们有什么特点?
D

B

C

一个三角形经过平移、旋转、翻折 后所得到的三角形与原三角形全等。

1、能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形
A D

B

2、把两个三角形重合到一起. 对应边是AB和DE, 对应角是∠A和∠D, 重合的顶点叫做对应顶点, AC和DF,BC和EF; ∠B和∠E,∠C和∠F

C

E

F

对应顶点是点A和点D, 重合的边叫做对应边,
点B和点E,点C和点F; 重合的角叫做对应角。

A

D

B

C E

F

“全等”用符号“≌ ”表示 你能否直接从记作
图中的△ABC和△DEF全等, ?ABC≌ ?DEF中判断出 记作:△ABC≌ △DEF 所有的对应顶点、对应边 读作:△ABC全等于△DEF

和对应角?

记两个三角形全等时,通常 注意 把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上。
A E

B

C

F

D

?ABC ≌ ?DEF ?ABC ≌ Δ EFD

寻找各图中两个全等 三角形的对应元素。
两个全等三角形的位置变化了,对应边、 对应角的大小有没有变化?由此你能得到 什么结论? D A

A

B
C

C EM
O

S

F

O

B
D N T

全等三角形的对应边相等, 全等三角形的对应角相等.
A

如图:∵△ABC≌ △DFE

B
D

C

∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE ∵△ABC≌ △DFE
F

E

∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E

例题讲解,掌握新知
如图, △ABC≌△DCB,A
D

指出所有的对应边和
对应角。
B

O
C

解:∵△ABC≌△DCB ∴AB与DC,BC与CB,

AC与BD是对应边
∠A与∠ D,∠ABC与∠DCB, ∠ACB与∠DBC是对应角

例题讲解,掌握新知
图中△ABO≌△DCO, 试写出这两个三角形中 相等的边和相等的角。
B
A D

O

C

解:∵△ABO≌△DCO ∴AB=DC,BO=CO,AO=DO

∠A=∠ D,∠ABO=∠DCO,
∠AOB=∠DOC

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先写出全等式,再指出 它们的对应边和对应角
A

D

C

E

B

F

∵△ACB≌△DEF ∴AB=DF, CB=EF,AC=DE. ∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C= ∠DEF.

C
A

先写出全等式,再指 出它们的对应边和对应角 B
∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.

D

∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D.

规律一:有公共边的,公共边是对应边

先写出全等式,再指出它们的 对应边和对应角 D B
∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO,AC=BD,OC=OD. o
A
C

∴∠A=∠B,∠C=∠D, ∠AOC= ∠BOD.

规律二:有对顶角的,对顶角是对应角

先写出全等式,再指出它 们的对应边和对应角
∵△ABC≌△ADE
∴AB=AD,AC=AE,

A

E

C

BC=DE
∴∠A=∠A,∠B=∠D,

B

D

∠ACB= ∠AED. 规律三:有公共角的,公共角是对应角

先写出全等式,再指出 它们的对应边和对应角
A

∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE,

E B

BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.

D

C 规律四:一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边

F

规律五:一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角

1.有公共边的,公共边一定是对应边。 2.有对顶角的,对顶角一定是对应角。

3.有公共角的,公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边,对应边 所对的角是对应角. 5.在两个全等三角形中最长边对最长边, 最短边对最短边,最大角对最大角,最 小角对最小角。

找出下列全等三角形的对应边、对应角
A

△ABD≌△CBD

B

D

C

找出下列全等三角形的对应边、对应角 △AOD≌△COD
A O D

C B

找出下列全等三角形的对应边、对应角
A

△ABC≌△ADE

E B C D

找出下列全等三角形的对应边、对应角 △ADE≌△CBF
A E B

D

F

C

找出下列全等三角形的对应边、对应角
A △ABN≌△ACM △ABM≌△ACN

B

M

N

C

找出下列全等三角形的对应边、对应角 D △AOB≌△DOC A

△ABC≌△DCB
O

B

C

如图, △ABD ≌ △EBC
1、请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC
∠A ∠BEC、∠D

BD、AD

EC,

C

∠C、∠ABD ∠EBC

2、如果AB=3cm,BC=5cm, D 求BE、BD的长. 解:∵△ABD ≌ △EBC ∴AB=EB,BC=BD ∵AB=3cm,BC=5cm ∴BE=3cm,BD=5cm

E

B

A

如图, △EFG≌△NMH
E H M F G 1、请找出对应边和对应角。

N

2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm, HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
解:∵△EFG ≌ △NMH ∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.3 ∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2

△ABD≌△ACE,若∠ADB=100°,∠B=30°,

说出△ACE中各角的大小? 解:∵ △ABD≌△ACE,
∴∠AEC= ∠ADB=1000 , ∠C= ∠B=300, 又∵∠A+∠AEC+∠C=180° ∴∠A=1800- ∠AEC- ∠C =1800-1000-300=500

如图,已知△ AOC ≌ △BOD 求证:AC∥BD

把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C落 在四边形ABCD内部,如图,则∠C与∠1+∠2 之间的一种数量关系始终保持不变,这个规 律是( B ) A

A.∠C=∠1+∠2 B.2∠C=∠1+∠2 B C.3∠C=∠1+∠2 D.3∠C=2(∠1+∠2)

1
E

C′

2
F

D

C

课 堂 小 结
1.能够重合的两个图形叫做全等形 。 对应顶点 其中:互相重合的顶点叫做___ 对应边 互相重合的边叫做____ 对应角 互相重合的角叫做___
2.能够完全重合的两个三角形 叫全等三角形。 全等于 3.“全等”用符号“ ≌ ”来表示,读作 “ ” 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的 位置上


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