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【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9-1 直线方程]


课时作业(五十一)
1.下列命题中,正确的是( ) A.若直线的斜率为 tanα,则直线的倾斜角是 α B.若直线的倾斜角为 α,则直线的斜率为 tanα C.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 π π D.直线的倾斜角 α∈[0,2)∪(2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单 调递增 答案 解析 D π 因为任一直线的倾斜角 α∈[0, π),而当 α=2时,

直线的斜率不存在,

π π 所以 B 不对;当 α∈[0,2)时,斜率大于 0;当 α∈(2,π)时,斜率小于 0,C 不 对;又因为直线的斜率 k=tanθ,且 θ∈[0,π)时,θ 才是直线的倾斜角,所以 A 不对. 2.直线 xcos140° +ysin40° +1=0 的倾斜角是( A.40° C.130° 答案 解析 B 将直线 xcos140° +ysin40° +1=0 化成 xcos40° -ysin40° -1=0,其斜 B.50° D.140° )

cos40° 率为 k= sin40° =tan50° ,倾斜角为 50° . 3.若直线 l1,l2 关于 x 轴对称,l1 的斜率是- 7,则 l2 的斜率是( A. 7 7 C. 7 答案 解析 A 画出图形, 根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系,再判断其斜 7 B.- 7 D.- 7 )

率之间的关系.

如图所示,显然直线 l2 的斜率为 7. 4. (2014· 海淀区)直线 l 经过点 A(1,2), 在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), 则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k<5 1 C.k>5或 k<1 答案 解析 D 设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直线在 x 轴上的截 ) 1 B.k>1 或 k<2 1 D.k>2或 k<-1

2 2 距为 1- k,令-3<1-k <3,解不等式可得.也可以利用数形结合. x y x y 5.两直线m-n=1 与n-m=1 的图像可能是图中的哪一个( )

答案

B

6.若点 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则 a-b 的最小 值等于( A.4 C.1 答案 解析 A ∵A、B、C 三点共线, ) B.2 D.0

b-0 -1-0 1 1 ∴kAB=kAC,即 = ,∴a-b=1. 0-a 1-a 1 1 b a b a ∴a-b=(a-b)(a-b)=2-a-b=2+[(-a)+(-b)]≥2+2=4.(当 a=-b= 2 时取等号).

7.过点 M(1,-2)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点,若 M 恰为线段 PQ 的中点,则直线 PQ 的方程为( A.2x+y=0 C.x+2y+3=0 答案 解析 B 设 P(x0,0),Q(0,y0),∵M(1,-2)为线段 PQ 中点, ) B.2x-y-4=0 D.x-2y-5=0

x y ∴x0=2,y0=-4,∴直线 PQ 的方程为2+ =1.即 2x-y-4=0. -4 8.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 的倾斜角的取值范围是( π π A.[6,3) π π C.(3,2) 答案 解析 B ∵直线 l 恒过定点(0,- 3), ) π π B.(6,2) π π D.[6,2]

作出两直线的图像,如图所示,

π π 从图中看出,直线 l 的倾斜角的取值范围应为(6,2). 9.(2011· 安徽)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y) 为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②若 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 答案 解析 ①③⑤ ①正确,比如直线 y= 2x+ 3,当 x 取整数时,y 始终是一个无理

数;②错,直线 y= 2x- 2中 k 与 b 都是无理数,但直线经过整点(1,0);③正 1 确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错误,当 k=0,b=2时, 1 直线 y = 2 不通过任何整点;⑤正确,比如直线 y = 2 x - 2 只经过一个整点 (1,0).故答案为①③⑤. 1 10.已知直线 l 的斜率为6,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,求直线 l 的方程. 答案 解析 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0 x y 设所求直线 l 的方程为a+b=1.

1 b 1 ∵k=6,即a=-6?a=-6b. 1 又 S△ABC=3=2|a|· |b|,∴|ab|=6. 则当 b=1 时,a=-6;当 b=-1 时,a=6. ∴所求直线方程为 x y x y +1=1 或6+ =1, -6 -1

即 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 11.已知点 M 是直线 l: 3x-y+3=0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋 转 30° ,求所得到的直线 l′的方程. 答案 解析 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0

在 3x-y+3=0 中, 令 y=0,得 x=- 3, 即 M(- 3,0). ∵直线 l 的斜率 k= 3, ∴其倾斜角 θ=60° .

若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30° , 则直线 l′的倾斜角为 60° +30° =90° , 此时斜率不存在,故其方程为 x=- 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30° , 则直线 l′的倾斜角为 60° -30° =30° , 3 此时斜率为 tan30° =3. 3 故其方程为 y= 3 (x+ 3),即 x- 3y+ 3=0. 综上所述,所求直线方程为 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0. 12.在△ABC 中,已知 A(1,1),AC 边上的高线所在直线方程为 x-2y=0, AB 边上的高线所在直线方程为 3x+2y-3=0.求 BC 边所在直线方程. 答案 解析 2x+5y+9=0 2 kAC=-2,kAB=3.

∴AC:y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0, 2 AB:y-1=3(x-1),即 2x-3y+1=0. ?2x+y-3=0, 由? 得 C(3,-3). ?3x+2y-3=0, ?2x-3y+1=0, 由? 得 B(-2,-1). ?x-2y=0, ∴BC:2x+5y+9=0. 13.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 答案 解析 (1)3x+y=0 或 x+y+2=0 (2)a≤-1

(1)当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距为零.

∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1. a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0.

因此直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ?-?a+1?≥0, ∴? ∴a≤-1. ?a-2≤0. 综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 14. 过点 P(1,2)作直线 l, 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、 B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程. 答案 解析 (S△AOB)min=4,l:2x+y-4=0 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),

k-2 令 y=0,得 x= k ,令 x=0,得 y=2-k. k-2 ∴A、B 两点坐标分别为 A( k ,0),B(0,2-k). ∵A、B 是 l 与 x 轴、y 轴正半轴的交点, k<0, ? ?k-2 ∴? k >0, ? ?2-k>0.

∴k<0.

1 1 k-2 1 4 S△AOB=2· |OA|· |OB|=2· k · (2-k)=2(4-k-k). 4 由- k>0,-k>0,得 1 S△AOB≥2(4+2 4 ?-k ??-k?)=4.

当且仅当 k=-2 时取“=”. ∴S△AOB 最小值为 4,方程为 2x+y-4=0.


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