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山东省淄博市淄川第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文


淄川一中高 2013 级第一学期期中检测 文科数学试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、若集合 A ? x | x 2 ? 1 ? 0 , B ? y | y ? x 2 , x ? R ,则 A ? B ? ( (A) ?x | ?1 ? x ? 1? (B) ?x | x ? 0?
2

?

r />
?

?

?

) (D) ?

(C) ?x | 0 ? x ? 1?

2.“ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的( ) (A).必要不充分条件 (B).充分不必要条件 (C).充分必要条件 (D).既不充分又不必要条件

3、 已知 ? 为第四象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos 2? =( 3
(C)



(A) ?

5 3

(B) ?

5 9

5 9

(D) )

5 3

4、已知向量 a,b,且|a|=1,|b|=2,则|2b-a|的取值范围是( (A)[1,3] (B)[2,4] (C)[3,5]

(D)[4,6] )

5、为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6?

(A) 向左平移

? 6

(B) 向左平移

? 3

(C) 向右平移 )

? 6

(D) 向右平移

? 3

6、在△ABC 中,若 a =4,b=3, cos A = (A). 或

3? 4

? 4

1 ,则 B=( 3 ? (B). 3

(C).

3? 4

(D).

? 4

7、 下列命题中,真命题是 (A)存在 x ? [0,

(

)
2

?
2

] ,使 sin x ? cos x ? 2
2

(B)存在 x ? (3,??) ,使 2 x ? 1 ? x (D)对任意 x ? (0,

(C)存在 x ? R ,使 x ? x ? 1

?
2

] ,均有 sin x ? x

若函数

8、 f ? x ? ? loga ? x ? b ? 的大致图像如右图,其中 a , b 为常数,

-1-

则函数 g ? x ? ? a x ? b 的大致图像是( )

(9) (10)A

9、函数 f ( x) ? sin( x ?

?
3

)?

m 在 [0, ? ] 上有两个零点,则实数 m 的取值范围为 ( 2

)

A . [? 3, 2] (10)设 (A)

B. ( 3, 2]

C. [ 3, 2)

D. [ 3, 2]

10、 函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,则 立, a 的取值范围是( ) ( A )[ 1 , e] (B) [1,1 ? e] (C) [e,1 ? e] (D) [0,1]

二二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分). (11)在 11、△ABC 中,若 b = 1, c = 3 , C ?

?
3

,则 a =

.
2

12、已知等比数列 {an } 是递增数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和.若 a1 , a3 是方程 x ? 10 x ? 9 ? 0 的两根,则 S5 ? __________. 13.平面内给定三个向量 a ? (3,2),b ? (?1,2), c ? (4,1).

? ? ? ? ( a ? kc ) (2 b ? a) ,则实数 k 等于 若 //
14.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 2, 且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,则 f (2015) ? .

15.函数 f ( x) ? ?2sin x ? sin 2 x ? 1 ,给出下列 4 个命题:
2

① f ( x) 在区间 ?

? ? 5? ? , 上是减函数; ?8 8 ? ?

-2-

②直线 x ?

?
8

是函数图像的一条对称轴;

③函数 f ( x) 的图像可由函数 y ? ④若 x ? ?0,

2 sin 2 x 的图像向左平移

? 而得到; 4

? ?? ,则 f ( x) 的值域是 ? 0, 2 ? . ? ? ? 2? ?
.

其中正确命题的序号是 三.解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [

? ?

, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

17、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 图像上的点 P(1,?2) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (I)若函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 45 , S6 ? 60 . (1)求 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {an } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N *) ,且 b1 ? 3 ,求 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足条件: a1 ? 8 , a2 ? 0 , a3 ? ?7 ,且数列 ?an?1 ? an ? (n ? N * ) 是等差数列. (1)设 cn ? an?1 ? an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; (2)若 bn ? 2 ? cn , 求 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn .
n

20.(13

-3-

20.(1

20.(13 分)在 ?ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,面积为 S . 已知 2S ? (a ? b)2 ? c2 (1)求 sin C ; (2)若 a ? b ? 10 ,求 S 的最大值

(21) 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x .( a ? R )
2

1 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间[

1 ,e]上的最大值和最小值; e

(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围. (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax , h( x) ? x ? 2bx ?
2

2 19 .当 a ? 时,若对于任意 x1 ? (0,2) , 6 3

存在 x2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

-4-

1【答案】C. 【解析】将集合 A, B 化简得, A ? [?1,1] , B ? [0,??) ,所以 A ? B ? ?x | 0 ? x ? 1?. 【考点】本题主要考查集合与集合的运算,简单二次不等式的解法以及函数的值域问题. 2、 【答案】 .B 3【答案】D. 【解析】选 D. 由 sin ? ? cos? ?

2 3 两边平方得到 sin 2? ? ? ,因为α 为第四象限角,所以 sin ? ? 0 , 3 3

cos ? ? 0 ,所以 cos? ? sin ? ? (cos? ? sin ? ) 2 ?

15 3

5 cos2? ? cos ? ? sin ? ? 3
2 2

4、 【答案】C. 【解析】|2b-a|= 4|b| -4a·b+|a| = 17-8cos〈a,b〉∈[3,5].故选 C. 【考点】本题考查向量的数量积的运算及性质. 5、 【答案】D. 【解析】法一:? cos 2 x ? sin( 2 x ?
2 2

?
2

) ,由 y ? sin[ 2( x ? ? ) ?

?
2

] ? sin( 2 x ?

?
6

) 得,

2? ?

?
2

??

?
6

即? ? ?

? ? ? ?? ? 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象 3 3 6? ?

法二:? y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? 2? ? ? cos[(2 x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ? cos[ 2( x ? )] 3 6? 6 2 3

?? ? 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 得到函数 y ? sin? ? 2 x ? ? 的图象 3 6? ?
【考点】本题考查了三角函数的诱导公式、图象平移变换的知识. 6、 【答案】A 7、 【答案】D. 【解析】 选项 A 中, sin x ? cosx ?

2 ? 1 ? sin 2 x ? 2 ? sin 2 x ? 1 ,命题为假;选项 B 中,令

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ,则当 x ? (3,??) 时, f ( x) ? (2,??) ,即 x 2 ? 2 x ? 3 ,故不存在 x ? (3,??) ,使
1 3 2 x ? 1 ? x 2 ,命题为假;选项 C 时, x 2 ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? ) 2 ? ? 0 ,命题为假;选项 D 时, 2 4
sin x ? x ? x ? sin x ? 0 ,令 f ( x) ? x ? sin x ,求导得 f / ( x) ? 1 ? cos x ? 0 , f ( x) 是增函数,则对任
-5-

意 x ? (0,

?
2

] f ( x) ? f (0) ? 0 ,命题 D 为真.

【考点】本题主要考查三角函数的概念、公式与简单性质,导数,方程与不等式等知识. 8、 【答案】 .B 9、 【答案】 .C 10、 【答案】A. 【解析】由题 b ? [0,1] ,并且 f ( f (b)) ? b 可得 f (b) ? b ,即 eb ? b ? a ? b ,整理得 e ? a ? b ? b ,
b 2

即 a ? e ? b ? b , b ? [0,1] ,利用导数可以知道函数 f ( x) ? e ? x ? x 在 x ? [0,1] 上单调递增,从而
b 2 x 2

求得 a 的取值范围是 [1, e] ,故选 A. 【考点】本题考查抽象函数的理解,关键是存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,将这一条件进行转化为

f (b) ? b ,利用函数与方程思想进行求解即可.
11、 【答案】2 【解析】由余弦定理得, a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? cos
2 2

?
3

?1(舍). ? 3 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? 1

【考点】本题考查利用三角形中的余弦定理或利用正弦定理求解. 12、 【答案】121 13. ?

16 13

14. ?2

15.①②
2

16、解:(I) f ( x) ? 2 sin (

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? cos(

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x
┉┉┉┉┉┉3 分

? ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 3
? 函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? .
由 2k? ?

┉┉┉┉????????????.4 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, (k ? Z ) 解得, k? ?

?
12

? x ? k? ?

的单调递增区间为 [k? ?

5? ], (k ? Z ) . ┉┉┉┉7 分 12 12 ? ? ? ? 2? ? 1 ] ,? sin( 2 x ? ) ? [ ,1] .┉┉9 分 (Ⅱ) ? x ? [ , ] ,? 2 x ? ? [ , 4 2 3 6 3 3 2 , k? ?
? 函数 f ( x) 的值域为 [2,3] , 而方程 f ( x) ? m ? 2 变形为 f ( x) ? m ? 2

?

5? , (k ? Z ) . 12

? 函数 f ( x)

? m ? 2 ? [2,3] ,即 m ? [0,1] .
所以实数 m 的取值范围是 [0,1] . 17、 解析: f ( x) ? ?3x ? 2ax ? b ,
' 2

┉┉┉┉┉┉11 分 ┉┉┉┉┉┉12 分 -----------------1 分

-6-

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ' (1) ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 , 又 f (1) ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 . ------------------------2 分 ------------------------3 分

(I)因为函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' (?2) ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,-------4 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 . ------------------------------------------6 分 ------------------------------------7 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零,????????????????8 分
' ? ? f (?2) ? ?12 ? 2b ? b ? 0, 得 b ? 4 ,????????????11 分 ? f ( 0 ) ? b ? 0 , ?

法一:由 ?

所以实数 b 的取值范围为 [4,??)

??????????????12 分

法二:因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零, ?????????????????8 分 由 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b ? 0 在区间 [?2,0] 上恒成立,得 b ?

? 3x 2 x ?1

在区间 [?2,0] 上恒成立,只需

? 3x 2 b?( ) ma x???????????????????9 分 x ?1
令 g ( x) ?

? 3x 2 ? 3x( x ? 2) ' ,则 g ' ( x) = .当 ? 2 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0 恒成立. x ?1 ( x ? 1) 2




g ( x)









[?2,0]











g ( x) m ? g ?4 . a (?2) x
所以实数 b 的取值范围为 [4,??) .

??????????????11 分 ??????????12 分

18.解:(1) a 6 ? S 6 ? S 5 ? 15 ,

由 S6 ?

(a1 ? a 6 ) ? 6 ? 60 2

解得 a1 ? 5

-7-

又d ?

a 6 ? a1 ?2 6 ?1

所以 a n ? 2n ? 3

(2) n ? 2时 ,

b2 ? b1 ? a1
b3 ? b2 ? a 2 b4 ? b3 ? a3
? ?

bn ? bn ?1 ? a n ?1
叠加得 bn ? b1 ? 所以

(a1 ? a n ?1 )(n ? 1) (5 ? 2n ? 1)(n ? 1) ? 2 2
第 2 页(共 4 页)

bn ? n 2 ? 2n ,

2 n ? 1 时 b1 ? 3 符合上式,所以 bn ? n ? 2n

1 1 1 1 1 ? 2 ? [ ? ] bn n ? 2n 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [ ? ? ? ? ? ? ..... ? ? ] 2 1 3 2 4 3 5 n n?2
= 19.解:(1)??an?1 ?a n ?为等差数列, cn ? an?1 ? an ,??cn ?为等差数列, 首项 c1 ? a2 ? a1 ? ?8 , c2 ? a3 ? a2 ? ?7 , 公差 d ? c2 ? c1 ? ?7 ? (?8) ? 1 ,

?cn ? c1 ? (n ? 1)d ? ?8 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 9 .
(2) bn ? (n ? 9) ? 2n ,

????5 分

Sn ? (?8) ? 21 ? (?7) ? 22 ? ? ? (n ? 9) ? 2n , 2Sn ? (?8) ? 22 ? (?7) ? 23 ? ? ? (n ? 9) ? 2n?1 ,
相减得: ? Sn ? (?8) ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? 9) ? 2n?1 ,

? Sn ? (?9) ? 21 ? [21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ] ? (n ? 9) ? 2n?1 ,

? Sn ? 20 ? (n ? 10) ? 2n?1 .

????12 分

-8-

20.(本小题满分 13 分) (1)条件可化为 2 ab sin C ? a ? b ? c ? 2ab --------------------------------2 分
2 2 2

1 2

由 余 弦 定 理 可 得

1 sin C ? cosC ? 1 , 两 边 同 时 平 方 可 得 : 2

5 cos2 C ? 8 cosC ? 3 ? 0 -----------4 分
3 (5 cosC ? 3)(cosC ? 1) ? 0 , cos C ? ? 或 cos C ? ?1(舍) 5 4 故 sinC ? ---------------------------8 分 5 1 2 2 a?b 2 ) ? 10 ------------------------10 分 (2) S ? ab sin C ? ab ? ( 2 5 5 2 当且仅当 a ? b ? 5 时“=”成立-----------------------------11 分
面积最大值为 10------------------------------------13 分 21. 解 析 : ( Ⅰ ) 当

a?0





1 f ( x) ? ? x 2 ? ln x 2



1 ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ? ? ; x x x
1 e

?????1 分

当 x ? [ ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, e] ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间 [

1 ,1]上是增函数,在 [1,e]上为减函数, e


????? 3 分

1 1 f ( ) ? ?1 ? 2 e 2e 1 2.

f (e) ? 1 ?

e2 2



f min ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 2



f max ( x) ? f (1 ) ? ?

?????4 分

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞).
2

1 2

在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间(1,+∞) 上恒成立. ??????????????5 分

g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x ①

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , ??6 分 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( 0 ,1)上有 g ?( x) ? 0 ,在(1, x2 )上有 g ?( x) ? 0 ,在( x 2 , 2

+∞)上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 g ( x) ∈( g ( x2 ) ,
-9-

? ? ),不合题意;

???????????7 分

当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间(1, ? ? )上,有

g ( x) ∈( g (1) , ? ? ),也不合题意;
② 若a ?

?????????????8 分

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? [?

1 1 ? 0 ? a ? ? ,由此求得 a 的范围是 2 2

1 1 , ]. 2 2

???????????9 分

综合①②可知,当 a ∈[ ? (Ⅲ)当 a ?

1 1 , ]时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方.10 分 2 2

2 时,由(Ⅱ)中①知 g ( x) 在( 0 ,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以对任意 3 7 ???11 分 x1 ? (0,2) ,都有 g ( x1 ) ? g (1) ? ? , 6 19 7 2 ? ? ,即存在 x2 ? [1,2] , 又已知存在 x2 ? [1,2] , 使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,即存在 x2 ? [1,2] , 使 x ? 2bx ? 6 6 13 13 2bx ? x 2 ? ,即存在 x2 ? [1,2] ,使 2b ? x ? . ???13 分 3x 3 13 25 16 16 8 ? [ , ]( x ? [1,2]) , 所 以 2b ? 因为 y ? x? ,解得 b ? ,所以实数 b 的取值范围是 3 3 3x 6 3 8 ( ?? , ] . ??14 分 3

- 10 -


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