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吉林省吉林一中2015-2016学年高一上学期11月月考数学试卷(奥班) Word版含解析


2015-2016 学年吉林省吉林一中高一(上)11 月月考数学试卷(奥 班)
一.选择题(本大题共 12 小题,共 12×5=60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的.) 1.集合 A 可以表示为 A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1 或 1 ) ,也可以表示为{0,|x|,x+y},则 y﹣x 的值为( )

2.已知

向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1

3.函数

的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

4.已知函数

,则 f(2+log23)的值为( C. D.

)

A.

B.

5.设 =(cos2θ,sinθ) , =(1,0) ,已知 ? = A. B. C. D.

,且

,则 tanθ=(

)

6.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( A. f(x)=sinx B.f(x)=﹣|x+1| C. D.

)

7.将函数 y=(sinx+cosx) (sinx﹣cosx)的图象向左平移 ) 图象,则 y=g(x)的图象( A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于点(﹣ ,0)对称 D.关于直线 x= 对称

个单位后,得到函数 y=g(x)的

8. cos2 = 在△ ABC 中,

b, c 分别为角 A, B, C 的对边) , (a, , 则△ ABC 的形状为(

)

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

9.已知 f(x)=ln( A.2 B.1 C.0

﹣3x)+1,则 f(lg3)+f(lg )等于( D.﹣1

)

10.如图是函数 f(x)=Acos( πx+φ)﹣1(A>0,|φ|<

)的图象的一部分,则

f=(

)

A.1

B.2

C.

D.﹣3

11.函数 y=tan(

x﹣

)的部分图象如图所示,则(

+



=(

)

A.6

B.4

C.﹣4 D.﹣6 )

12.若非零不共线向量 、 满足| ﹣ |=| |,则下列结论正确的个数是( ①向量 、 的夹角恒为锐角; ②2| |2> ? ; ③|2 |>| ﹣2 |; ④|2 |<|2 ﹣ |. A.1 B.2 C.3 D.4

二.填空题(本大题共 4 小题,共 4×5=20 分,请把正确答案填写在横线上) 13.求值: =__________.

14.设函数 y=sinx(0≤x≤π)的图象为曲线 C,动点 A(x,y)在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B(A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长为 f(x) ,则函数 f(x)单调递 增区间__________.

15.在△ ABC 中,∠A=60°,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 则 的最小值为__________.

,D 在线段 AC 上运动,

16.已知函数 f(x)=

,则关于 x 的方程 f[f(x)]+k=0 给出下列四个命题:

①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是__________(把所有满足要求的命题序号都填上) .

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 离是 ,当 x= 时取得最大值 2. )的图象的相邻两条对称轴的距

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣ 的零点为 x0,求 .

18.已知集合 A={x|x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)<0},B= (1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B?A 的实数 a 的取值范围.



19.已知函数



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 时,若 f(x)≥log2t 恒成立,求 t 的取值范围.

20.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,tanC= (1)求角 C 的大小; (2)若△ ABC 的外接圆直径为 1,求△ ABC 面积 S 的取值范围.



21.在△ ABC 中,A,B,C 为三个内角 a,b,c 为相应的三条边,若 . (1)求证:A=C; (2)若| |=2,试将 表示成 C 的函数 f(C) ,并求 f(C)值域.

,且

22.已知函数 f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 (3)设 点,求实数 a 的取值范围. 没有交点,求 b 的取值范围; ,若函数 f(x)与 h(x)的图象有且只有一个公共

2015-2016 学年吉林省吉林一中高一(上)11 月月考数学 试卷(奥班)
一.选择题(本大题共 12 小题,共 12×5=60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的.) 1.集合 A 可以表示为 A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1 或 1 ,也可以表示为{0,|x|,x+y},则 y﹣x 的值为( )

【考点】集合的相等. 【专题】计算题. 【分析】利用集合相等的定义,紧紧抓住 0 这个特殊元素,结合列方程组解方程解决问题, 注意集合中元素的互异性. 【解答】解:∵集合 A 可以表示为 ∴y=0,则 或 解得 x=0 或 x=±1 ,也可以表示为{0,|x|,x+y}

注意到集合中元素的互异性则 x=﹣1 ∴y﹣x=0﹣(﹣1)=1 故选 C. 【点评】本题主要考查集合的相等,如果已知集合中有特殊元素,抓住它是简化解题的关键, 还需注意集合中元素的互异性,属于基础题. 2.已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∵ ∴ =(2λ+3,3) , , =0, , . . )

∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3. 故选 B. 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

3.函数

的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】作图题. 【分析】根据选项提供的信息利用函数值的符号对选项进行筛选. 【解答】解:当 0<x<1 时,因为 lnx<0,所以 当 x>1 时, ,排除 D. ,排除选项 B、C;

故选 A. 【点评】本题考查了函数的图象,筛选法是做选择题常用的办法.

4.已知函数

,则 f(2+log23)的值为( C. D.

)

A.

B.

【考点】函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】计算题. f x+1) =f f x) = 【分析】 先判断出 2+log23<4, 代入 ( (3+log23) , 又因 3+log23>4 代入 ( 利用指数幂的运算性质求解. 【解答】解:∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23) , ∵4<3+log23<5,∴f(3+log23)= = × = , ,

故选 A. 【点评】本题的考点是分段函数求函数值,先判断自变量的范围,再代入对应的关系式,根 据指数幂的运算性质进行化简求值.

5.设 =(cos2θ,sinθ) , =(1,0) ,已知 ? =

,且

,则 tanθ=(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题;向量法;三角函数的求值;平面向量及应用. 【分析】进行数量积的坐标运算可得到 cos2 便可求出 sinθ,cosθ,从而可以得出 tanθ. 【解答】解: ∴ ∵ ∴ ∴ , . ; ; ; ; ,这样根据二倍角的余弦公式及 θ 的范围

故选 B. 【点评】考查向量数量积的坐标运算,二倍角的余弦公式,切化弦公式,清楚正弦函数、余 弦函数在各象限的符号,要熟悉正余弦函数的图象. 6.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx B.f(x)=﹣|x+1| C. D. )

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】常规题型. 【分析】本题是选择题,可采用逐一检验的方法,只要不满足其中一条就能说明不正确. 【解答】解:f(x)=sinx 是奇函数,但其在区间[﹣1,1]上单调递增,故 A 错; ∵f(x)=﹣|x+1|,∴f(﹣x)=﹣|﹣x+1|≠﹣f(x) ,∴f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,∴故 B 错; ∵a>1 时,y=ax 在[﹣1,1]上单调递增,y=a﹣x[﹣1,1]上单调递减,∴f(x)= (ax﹣a﹣x) 在[﹣1,1]上单调递增,故 C 错; 故选 D 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性,是函数这一部分的常见好题.

7.将函数 y=(sinx+cosx) (sinx﹣cosx)的图象向左平移 ) 图象,则 y=g(x)的图象( A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于点(﹣ ,0)对称 D.关于直线 x= 对称

个单位后,得到函数 y=g(x)的

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题.

【分析】利用平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简,根据左加右减求出 g(x)的解析 式,由正弦函数的对称性进行判断. 【解答】解:y=(sinx+cosx) (sinx﹣cosx)=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x, 则由题意知,g(x)=﹣cos2(x+ )=sin2x,

即 g(x)的图象关于原点对称. 故选 A. 【点评】本题考查了复合三角函数图象的变换,根据平方差公式和二倍角公式对解析式进行 化简,由条件和正弦函数的性质进行判断,考查了分析问题和解决问题的能力. 8. cos2 = 在△ ABC 中,

b, c 分别为角 A, B, C 的对边) , (a, , 则△ ABC 的形状为(

)

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 【考点】解三角形. 【专题】计算题.

D.等腰直角三角形

【分析】利用二倍角公式代入 cos2 =

求得 cosB= ,进而利用余弦定理化简整理求得

a2+b2=c2,根据勾股定理判断出三角形为直角三角形. 【解答】解:∵cos2 = ,∴ = ,∴cosB= ,



= ,

∴a2+c2﹣b2=2a2,即 a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 故选 B 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用.

9.已知 f(x)=ln( A.2 B.1 C.0

﹣3x)+1,则 f(lg3)+f(lg )等于( D.﹣1

)

【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用 f(x)+f(﹣x)=2 即可得出. 【解答】解:∵f(x)+f(﹣x)= ∴f(lg3)+f(lg )=f(lg3)+f(﹣lg3)=2. 故选:A. 【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算法则,属于基础题. + +1=ln1+2=2.

10.如图是函数 f(x)=Acos( πx+φ)﹣1(A>0,|φ|<

)的图象的一部分,则

f=(

)

A.1

B.2

C.

D.﹣3

【考点】余弦函数的图象. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据已知中函数 f(x)=Acos( πx+φ)﹣1(A>0,|φ|< 解析式,结合函数周期性可得 f=f(2)=2cosπ﹣1=﹣3. 【解答】解:∵函数 f(x)=Acos( πx+φ)﹣1 的周期 T= 函数的最大值 A﹣1=1,故 A=2, 又由函数图象过(1,0) ,故 2cos( π+φ)﹣1=0, 即 cos( π+φ)= , 由|φ|< 得:φ=﹣ , )﹣1 =3, )的图象,求出函数的

∴f(x)=2cos( πx﹣

∴f=f(2)=2cosπ﹣1=﹣3, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质,熟练掌握余弦型函数的图象和性质, 是解答的关键.

11.函数 y=tan(

x﹣

)的部分图象如图所示,则(

+



=(

)

A.6

B.4

C.﹣4 D.﹣6

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】图表型.

【分析】先利用正切函数求出 A,B 两点的坐标,进而求出 面向量数量积的运算公式即可求解. 【解答】解:因为 y=tan( 由 y=tan( 所以 ∴( x )=1? x﹣ x﹣ )=0? =k x﹣



的坐标,再代入平

=kπ?x=4k+2,由图得 x=2;故 A(2,0) ?x=4k+3,由图得 x=3,故 B(3,1)

=(5,1) , =(1,1) . =5×1+1×1=6. )

故选 A. 【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算,考查的是基础知识,属于基础题.解决本题 的关键在于利用正切函数求出 A,B 两点的坐标. 12.若非零不共线向量 、 满足| ﹣ |=| |,则下列结论正确的个数是( ①向量 、 的夹角恒为锐角; ②2| |2> ? ; ③|2 |>| ﹣2 |; ④|2 |<|2 ﹣ |. A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】综合题. 【分析】对于①,利用已知条件,推出向量 、 、 ﹣ 组成的三角形是等腰三角形,判定 正误即可; 对于②,利用数量积公式,结合已知条件,判断正误; 对于③,通过平方以及向量的数量积判断正误. 对于④,|2 |<|2 ﹣ |,得到 4| |cos< , ><| |不一定成立,说明正误即可. 【解答】解:①因为非零向量 、 满足| ﹣ |=| |,所以由向量 、 、 ﹣ 组成的三角形 是等腰三角形, 且向量 是底边,所以向量 、 的夹角恒为锐角,①正确; ②:2| |2> ? =| |?| |cos< , >?2| |>| |cos< , >, 而| |+| ﹣ |=2| |>| |>| |cos< , >,所以②正确; ③:|2 |>| ﹣2 |?4| |2>| ﹣2 |2=| |2﹣4| |?| |cos< , >+4| |2?4| |?| |cos< , > >| |2?4?| |cos< , >>| |, 而 2| |cos< , >=| |,所以 4| |cos< , >>| |,③正确; ④:|2 |<|2 ﹣ |?4| |cos< , ><| |,而 4| |cos< , ><| |不一定成立,所以④不 正确. 故选 C. 【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的模的求法,考查计算能力. 二.填空题(本大题共 4 小题,共 4×5=20 分,请把正确答案填写在横线上) 13.求值: 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. =19.

【分析】根据式子的特点需要把底数和真数表示成幂的形式,把对数前的系数放到真数的指 数位置,利用恒等式 ,进行化简求值. 【解答】解:原式=9﹣3×(﹣3)+ =18+1=19,

故答案为:19. 【点评】本题的考点是对数和指数的运算性质的应用,常用的方法是把(底数)真数表示出 幂的形式,或是把真数分成两个数的积(商)形式,根据对应的运算法则和“ 简求值. 14.设函数 y=sinx(0≤x≤π)的图象为曲线 C,动点 A(x,y)在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B(A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长为 f(x) ,则函数 f(x)单调递 增区间[ ]. ”进行化

【考点】正弦函数的图象;正弦函数的单调性. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】依题意,对 x∈[0, ] 与 x∈ [ ,π]讨论即可.

【解答】解:依题意得 f(x)=|AB|, (0≤|AB|≤π) . 当 x∈[0, ∴[0, 当当 x∈[ ∴[ ]时,|AB|由 π 变到 0,

]为 f(x)单调递减区间; ,π]时,|AB|由 0 变到 π,

,π]为 f(x)单调递增区间. ,π].

故答案为:[

【点评】本题考查正弦函数的图象与性质,考查数形结合思想与分析问题的能力,属于中档 题. 15.在△ ABC 中,∠A=60°,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 则 的最小值为 . ,D 在线段 AC 上运动,

【考点】平面向量数量积的运算;余弦定理.

【专题】平面向量及应用. 【分析】把向量用 , 表示,可化简数量积的式子为 的范围,由二次函数区间的最值可得答案. , ) ?( = ) = , ,由余弦定理

可得 AC 的长度,进而可得 【解答】解:∵ 故 = = = = =( =

, ,

设 AC=x,由余弦定理可得 整理得 x2﹣2x﹣8=0,解得 x=4 或 x=﹣2(舍去) , 故有 ∈[0,4],由二次函数的知识可知当 取最小值 故答案为: = 时,

【点评】本题考查平面向量的数量积的运算,涉及余弦定理和二次函数的最值,属中档题.

16.已知函数 f(x)=

,则关于 x 的方程 f[f(x)]+k=0 给出下列四个命题:

①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是①②(把所有满足要求的命题序号都填上) . 【考点】命题的真假判断与应用;根的存在性及根的个数判断. 【专题】综合题. 【分析】由解析式判断出 f(x)>0,再求出 f[f(x)]的解析式,根据指数函数的图象画出此 函数的图象,根据方程根的几何意义和图象,判断出方程根的个数以及对应的 k 的范围,便 可以判断出命题的真假. 【解答】解:由题意知,当 x≥0 时,f(x)=ex≥1;当 x<0 时,f(x)=﹣2x>0, ∴任意 x∈R,有 f(x)>0,则 ,画出此函数的图象如下图:

∵f[f(x)]+k=0,∴f[f(x)]=﹣k, 由图得,当﹣e<k<﹣1 时,方程恰有 1 个实根; 当 k<﹣e 时,方程恰有 2 个实根, 故①②正确. 故答案为:①②. 【点评】本题考查了命题的真假判断,以及方程根的根数问题,涉及到了分段函数求值,指 数函数的图象及性质应用,考查了学生作图能力和转化思想. 三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 离是 ,当 x= 时取得最大值 2. )的图象的相邻两条对称轴的距

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣ 的零点为 x0,求 .

【考点】正弦函数的图象. 【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由已知求出函数的振幅,周期和初相,可得函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣ 的零点为 x0, 【解答】解: (1)由题意知,振幅 A=2, 周期 T= , ,利用诱导公式,可得答案.

∴ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+φ) . 将点 故 ∴ . . 代入得: ,又 ,

(2) 由函数 得 sin(2x0+ ∴ )= ,又(2x0+

x0 是方程 的零点为 x0 知: )+( ﹣2x0)= ,

的根, 故





【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的图象和性质, 是解答的关键.

18.已知集合 A={x|x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)<0},B=



(1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B?A 的实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)把 a 的值分别代入二次不等式和分式不等式,然后通过求解不等式化简集合 A, B,再运用交集运算求解 A∩B; (2)把集合 B 化简后,根据集合 A 中二次不等式对应二次方程判别式的情况对 a 进行分类讨 论,然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=2 时,A={x|x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)<0}={x|x2﹣9x+14=0}=(2,7) , B= ∴A∩B=(4,5) (2)∵B=(2a,a2+1) , ①当 a< 时,A=(3a+1,2) ={x| }=(4,5) ,

要使 B?A 必须

,此时 a=﹣1,

②当

时,A=?,使 B?A 的 a 不存在.

③a> 时,A=(2,3a+1)要使 B?A,

必须

,此时 1≤a≤3.

综上可知,使 B?A 的实数 a 的范围为[1,3]∪{﹣1}. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合的包含关系及其应用,考查了分类讨论的数 学思想,解答此题的关键是对集合 A 的讨论,此题是中档题.

19.已知函数



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 时,若 f(x)≥log2t 恒成立,求 t 的取值范围.

【考点】两角和与差的正弦函数;函数恒成立问题;正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函 数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出函数 f(x)的最小正周 期,根据正弦函数的单调性即可确定出 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)由 x 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出 f(x)的最小值,根据 f (x)≥log2t 恒成立,得到 log2t 小于等于 f(x)的最小值,即可确定出 t 的范围. 【解答】解: (I)f(x)=sin2x﹣ ∵ω=2, ∴函数 f(x)最小正周期是 T=π; 当 2kπ﹣ 即 kπ﹣ ≤2x﹣ ≤x≤kπ+ ≤2π+ ,k∈Z, cos2x+1=2sin(2x﹣ )+1,

,k∈Z, ,kπ+ ],k∈Z;

函数 f(x)单调递增区间为[kπ﹣ (II)∵x∈[ ∴2x﹣ , ], ],

∈[0,

∴f(x)=2sin(2x﹣

)+1 的最小值为 1,

由 f(x)≥log2t 恒成立,得 log2t≤1=log22 恒成立, ∴0<t≤2, 即 t 的取值范围为(0,2]. 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,函数恒成立问题,以及正弦函数的单调性, 熟练掌握公式是解本题的关键.

20.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,tanC= (1)求角 C 的大小; (2)若△ ABC 的外接圆直径为 1,求△ ABC 面积 S 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【专题】转化思想;数形结合法;三角函数的求值;解三角形. 【分析】 (1)先将 tanC 写成



,再展开化为 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) ,从而求得 A+B;

(2)先用正弦定理,再用面积公式,结合 A﹣B 的范围,求面积的范围. 【解答】解: (1)∵tanC= ,∴ = ,

即 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

所以,sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB, 因此,sin(C﹣A)=sin(B﹣C) , 所以,C﹣A=B﹣C 或 C﹣A=π﹣(B﹣C) (不成立) , 即 2C=A+B,故 C= ; = = =1,

(2)根据正弦定理,外接圆直径 2R= 所以,a=2RsinA=sinA,b=2RsinB=sinB, 而 S△ ABC= absinC= = = sinAsinB

[cos(A﹣B)﹣cos(A+B)] [cos(A﹣B)+ ], ,所以,A﹣B∈(﹣ , ) ,

其中,A+B=

因此,cos(A﹣B)∈(﹣ ,1], 所以,S△ ABC=∈(0, ], .

故△ ABC 面积 S 的取值范围为:

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换,涉及同角三角函数基本关系式,两角和差的 正弦公式,以及运用正弦定理解三角形和面积的求解,属于中档题.

21.在△ ABC 中,A,B,C 为三个内角 a,b,c 为相应的三条边,若 . (1)求证:A=C; (2)若| |=2,试将 表示成 C 的函数 f(C) ,并求 f(C)值域.

,且

【考点】正弦定理;函数解析式的求解及常用方法;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形;平面向量及应用. 【分析】 (1)由已知及正弦定理化简可得 sinB=sin2C,解得 B=2C 或 B+2C=π,利用角 C 的范 围及三角形内角和定理分类讨论即可得证. (2)由 B+2C=π,可得 cosB=﹣cos2C.由 ,利用平面向量数量积的运算,结合 a=c,可得 ,从而可求 f(C)= ,结合 C 的范围,

利用余弦定理的图象和性质即可得解 f(C)值域. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)由 ∴B=2C 或 B+2C=π. … ,及正弦定理有 sinB=sin2C,

若 B=2C,且 ∴

, ,B+C>π(舍) ; …

∴B+2C=π,所以 A=C,… (2)∵B+2C=π,∴cosB=﹣cos2C. ∵ ,∴a2+c2+2ac?cosB=4,… ∴ 从而 f(C)= ∵ ,∴ = ,∴ (∵a=c) , … ,

∴2<f(C)<3,所以 f(C)值域是(2,3)… 【点评】本题主要考查了正弦定理,平面向量数量积的运算,三角形内角和定理,余弦函数 的图象和性质的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 22.已知函数 f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 (3)设 没有交点,求 b 的取值范围; ,若函数 f(x)与 h(x)的图象有且只有一个公共

点,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数奇偶性的性质;函数与方程的综合运用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)因为 f(x)为偶函数所以 f(﹣x)=f(x)代入求得 k 的值即可; (2)函数与直线没有交点即 无解,即方程 log9(9x+1)﹣x=b

无解.令 g(x)=log9(9x+1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.推出 g(x) 为减函数得到 g(x)>0,所以让 b≤0 就无解. (3)函数 f(x)与 h(x)的图象有且只有一个公共点,即联立两个函数解析式得到方程,方 程只有一个解即可. 【解答】解: (1)因为 y=f(x)为偶函数,所以?x∈R,f(﹣x)=f(x) , ﹣x x 即 log9(9 +1)﹣kx=log9(9 +1)+kx 对于?x∈R 恒成立. 即 即(2k+1)x=0 恒成立, 而 x 不恒为零,所以 (2)由题意知方程 . 即方程 log9(9x+1)﹣x=b 无解. 恒成立

令 g(x)=log9(9x+1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点.

因为

任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则

,从而



于是

,即 g(x1)>g(x2) ,

所以 g(x)在(﹣∞,+∞)是单调减函数. 因为 ,所以 .所以 b 的取值范围是(﹣∞,0) . 有且只有一个实数根. (记为(*) )有且只有一个正根.

(3)由题意知方程 令 3x=t>0,则关于 t 的方程 若 a=1,则 ,不合,舍去;

若 a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由 或﹣3;但 ,不合,舍去;而 ;

方程(*)的两根异号?(a﹣1)?(﹣1)<0,即﹣a+1<0,解得:a>1. 综上所述,实数 a 的取值范围{﹣3}∪(1,+∞) . 【点评】考查学生运用函数奇偶性的能力,以及函数与方程的综合运用能力.


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