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MATLAB总复习2013


科学计算与MATLAB
主讲:唐建国 中南大学材料科学与工程学院 2013.11

第一章 绪 论
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1 科学计算 数值计算的定义 数值计算的研究过程 数值计算的误差分析 数值计

算的稳定性与收敛性 2 MATLAB简介 MATLAB的类别 MATLAB的概述 3 课程的要求与学习方法 课程的内容 课程的要求 课程的学习与考核 教材与主要参考书 小结

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如果存在一适当小的正数εr ,使得

e( x) x?x er ( x) ? ? ? ? ? r ? x x
则称εr为相对误差限。

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例:x=15, ε(x) =2; εr(x)=2/15=13.33%
y=1000,ε(y)=5 , εr(y)=5/1000=0.5%

2.有效数字: 定义:若近似值x的误差限是某一位的半个 单位,该位到x的第一位非零数字共有n位, 就说x有n位有效数字,x可表示为

x ? ?0.a1a2 ?an ?10

m

其中,a1≠0.且 a1, a2, …, an 都是 0 ~ 9 中的 任一整数。 其绝对误差限满足:

1 m?n e( x) ? x ? x ? ? 10 2
?

例. 测量一物体的长度为954cm,问测量数据的相
对误差限多大?

解:因实际问题所截取的近似数,其绝对误差限一
般不超过最小刻度的半个单位,故当x=954cm时, 有ε(x)=0.5cm, 而x的相对误差 er(x) ≤0.5/954=0.0005241….<0.00053=0.053 % 故εr(x)=0.053 %.

第二讲 MATLAB基础知识(数 值、符号计算)
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1 MATLAB的启动与运行 Matlab的启动和退出 Matlab的工作窗口 Matlab的指令行的操作 Matlab的帮助系统 2 MATLAB的矩阵与数值计算 Matlab数据类型 Matlab的变量及其命名 Matlab矩阵及其运算 Matlab的数组关系/逻辑运算 Matlab的多项式运算 3 MATLAB的符号计算 小结

1.5 Matlab的帮助系统
MATLAB帮助命令包括help、lookfor以及模糊查询

1 help命令 在命令窗口中输入help命令将会显示当前帮助系统中所 包含的所有项目,即搜索路径中所有的目录名称。也可 以通过help加函数名来显示该函数的帮助说明。

2 lookfor命令 对搜索范围内的M文件的第一行进行关键字搜索,条件 比较宽松。若对M文件进行全文搜索,加上-all选项。

3 模糊查询 MATLAB 6.0以上的版本提供了一种类似模糊查询的 命令查询方法,只需要输入命令的前几个字母,然后按 Tab键,系统就会列出所有以这几个字母开头的命令。

数值显示格式

任何MATLAB的语句的执行结果都可以在屏幕 上显示,同时赋值给指定的变量,没有指定变 量时,赋值给一个特殊的变量ans,数据的显 示格式由format命令控制。 format只是影响结果的显示,不影响其计算与 存储;MATLAB总是以双字长浮点数(双精 度)来执行所有的运算。

如果结果为整数,则显示没有小数;如果结果不 是整数,则输出形式有: format (short):短格式(5位定点数)99.1253 format long:长格式(15位定点数 ) 99.12345678900000 format short e:短格式e方式 9.9123e+001 format long e:长格式e方式 9.912345678900000e+001 format bank:2位十进制 99.12 format hex:十六进制格式

符号变量和符号表达式的创建 MATLAB提供了两个建立符号量的命令:syms 和 sym
1 用syms创建符号量 格式:syms a1 a2 a3…
说明: 1. a1 a2 a3...为需要定义为符号量的标识符,不能是数字、函数表 达式或方程式。 2. a1 a2 a3...均不用引号界定,而用空格分开。

2 用sym创建符号量、符号表达式

格式:标识符=sym(A)
说明: 1. 输入参量A可以是数字、字符串也可以是字符串变量名、字符表 达式或字符方程。 2. 回车后将A定义成符号量并赋值给标识符。

3.矩阵算法 和 数组算法 矩阵算法 把矩阵看作一个整体,各种运算完全按照线性代数代表 的矩阵运算法则进行,运算的书写形式和运算符号都与 矩阵理论完全相同。 数组算法 把矩阵看作由其元素构成的一组数据(数组),各种运 算是在参与运算矩阵的对应元素之间进行的数与数的运 算,这种运算方便对大批数据的处理和一次求出多个函 数值。 数组算法的运算符主要有 .* ./ .\ .^

Matlab运算符
操作符 + * .* \ .\ / ./ ^ .^ 加 减

算术运算符
说 明 A+B A B必须大小相同,或一个是标量 A-B A B必须大小相同,或一个是标量

矩阵乘 A*B A 的列数等于B的行数,一个可以是标量 数组乘 A.*B A B必须大小相同,一个可以是标量 矩阵左除 A\B =A-1* B 数组左除 A.\B Bij/Aij 矩阵右除 A/B =A*B-1 数组右除 A./B Aij/Bij 矩阵乘方 A^p A自乘p次 数组乘方 A.^p A中每个元素的p次方 等效于X*B=A求X 等效于A*X=B求X inv(A)

如:a=[1 2;3 4];b=[ 3 5; 5 9] 》c=a+b d=a-b 》c= d= 4 7 -2 -3 8 13 -2 -5 》a*b=[13 23; 29 51] 》a/b=[-0.50 0.50;3.50 –1.50] 》a\b=[-1 -1;2 3] 》a^3=[37 54; 81 118] 》a.*b=[3 10;15 36] 》a./b=[0.33 0.40;0.60 0.44] 》a.\b=[3.00 2.50;1.67 2.25] 》a.^3= [1 8; 27 64]

只有维数相同的矩阵才能进 行加减运算。 注意只有当两个矩阵中前一 个矩阵的列数和后一个矩阵 的行数相同时,才可以进行 乘法运算。a\b运算等效于 求a*x=b的解;而a/b等效于 求x*b=a的解。只有方阵才 可以求幂。

4.常用矩阵运算
转置:对于实矩阵用(’)符号或(.’)求转置结果 是一样的;然而对于含复数的矩阵,则(’)将同 时对复数进行共轭处理,而 (.’)则只是将其排列形 式进行转置。

逆矩阵与行列式计算 求逆:inv(A); 求行列式:det(A) 要求矩阵必须为方阵

5、矩阵分解 (1)奇异值分解 [U,S,V]=svd(A) 例:a = 9 8 6 8 可以验证: u*u’=I v*v’=I u*s*v’=a

求矩阵A的奇异值及分解矩阵,满 足U*S*V’=A,其中U、V矩阵为 正交矩阵(U*U’=I),S矩阵为对 角矩阵,它的对角元素即A矩阵的 奇异值。 [u,s,v]=svd(a) u= 0.7705 -0.6375 0.6375 0.7705 s= 15.5765 0 0 1.5408 v= 0.6907 -0.7231 0.7231 0.6907

(2)特征值分解 [V,D]=eig(A) 例: a = 9 8 6 8 [v,d]=eig(a) v= 0.7787 -0.7320 0.6274 0.6813 d= 15.4462 0 0 1.5538

求矩阵A的特征向量V及特征值D, 满足A*V=V*D。其中D的对角线 元素为特征值,V的列为对应的特 征向量。如果D=eig(A)则只返回 特征值。

(3)正交分解 [Q,R]=qr(A) 将矩阵A做正交化分解,使得 例: a = Q*R=A,其中Q为正交矩阵(其 9 8 范数为1,指令norm(Q)=1),R为 6 8 对角化的上三角矩阵。 [q,r]=qr(a) q= -0.8321 -0.5547 -0.5547 0.8321 r= -10.8167 -11.0940 0 2.2188

(4)三角分解 [L,U]=lu(A) 将A做对角线分解,使得A=L*U,其中L为下三角矩阵,U 为上三角矩阵。 注意:L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵,它事实 上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵 L1(其对角线元素为1)的乘积。 [L1,U1,P]=lu(A) 例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] 比较: [l1,u1,p]=lu(a) [l,u]=lu(a)

3、MATLAB的符号计算
符号计算常规:
A = sym(A) sum(A) sum(A’)’ det(A) inv(A) eig(A)

svd(A)

1 下面的MATLAB语句中正确的有: a) 2a=pi; b) record_1=3+4i c) a=2.0, d) c=1+6j 2. 已知水的黏度随温度的变化公式如下,其中a=0.03368,b=0.000221,计算温 度t为20,30,40度时的粘度分别是: 1 ? at ? bt 2 (a)0.0018 0.0010 0.0007 (b) 0.0010 0.0007 0.0005 (c) 1.7850e-003 1.0131e-003 6.6092e-004 (d) 1.0131e-003 6.6092e-004 4.6772e-004

??

?0

?0 为0℃水的黏度, 值为1.785 ?10 ?3 ; a、 b为常数, 分别为0.03368、 0.000221。

第三讲 MATLAB基础知识(图 形、程序设计)
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1 MATLAB的图形功能 二维图形的基本函数 三维图形的基本函数 图形窗口函数 简单动画函数 2 MATLAB的程序设计 M文件介绍 Matlab的程序结构 Matlab的文件操作 Matlab的函数操作 小结

1.1.1 基本二维图形
函数1:plot:绘制二维数据图形
格式: 1. plot(X,′S′) 2. plot(X,Y,′S′) 3. plot(X1,Y1,′S1′,X2,Y2,′S2′ ,......,X3,Y3,′S3′) 说明: 参数 ′S′ 控制数据点的标记、曲线类型和曲线色彩,三者 置于一对单引号内。

常用的绘图选项
选项 -含 义 实线 虚线 选 项 * . 含 义 用星号标出数据点 用点号标出数据点

:
-. b g r c m

点线
点划线 蓝色 绿色 红色 青色 洋红

o
x + s D V ^

用圆圈号标出数据点
用叉号标出数据点 用加号标出数据点 用正方形标出数据点 用菱形标出数据点 用下三角标出数据点 用上三角标出数据点

y
k w

黄色
黑色 白色

<
> H

用左三角标出数据点
用右三角标出数据点 用六角形标出数据点

P

用五角形标出数据点

函数2: fplot:绘制y=f(x)图形
格式: fplot(fname,lims, ′S′)

说明: 其中fname为函数名或单引号界定的函数表达式,lims为 x,y的取值范围,′S′定义与plot函数相同。

函数3: ezplot:绘制隐函数图形
1 f(x,y)=0

格式: ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax])

说明: 在区间 xmin<x<xmax和ymin<y<ymax 绘制 f(x,y) = 0的图 形。,默认区间-2π<x<2π和-2π<y<2π
2 x=X(t) y=Y(t) 格式: ezplot(X,Y, [tmin,tmax]) 说明: 在区间tmin < t < tmax绘制x=X(t)和y=Y(t)的图形,默认区 间0<t<2π 格式: 3 y=f(x) ezplot(f, [a,b]) 说明: 在区间a<x<b绘制y= f(x)的图形,默认区间-2π<x<2π

2 特殊坐标二维图形
(1)极坐标曲线 格式: polar(theta,rho, ′S′) theta:角度向量 rho:幅值向量 ′S′: 控制参数 例
theta=0:0.1:8*pi; r=cos(4*theta)+1/4; polar(theta,r)

(2)对数坐标曲线 函数 semilogx semilogy loglog 例 x=0:0.01:5; y=10.^x; plot(x,y),grid on x=0:0.01:5; y=10 .^x; semilogy(x,y) grid on 功能 x轴对数坐标,y轴线性坐标 x轴线性坐标,y轴对数坐标 x y轴均为对数坐标

3

应用型绘图指令
可用于数值统计分析或离散数据处理 bax(x,y);hist(y,x);stairs(x,y);stem(x,y)
例: x=1:10; y=rand(10,1); subplot(2,2,1) bar(x,y); subplot(2,2,2) hist(y,x); subplot(2,2,3) stairs(x,y); subplot(2,2,4) stem(x,y);

1.1.2 二维图形的控制
1 图形标注 主要函数: 1. 2. 3. 4. 5. title(′图形名称′) xlabel(′x轴说明′) ylabel(′y轴说明′) text(x,y,′图形说明′) legend(′图例1′,′图例2′,...)

① 函数中的说明文字,除使用标准的ASCII字符外,还可 使用 LaTeX 格式的控制字符,这样就可以在图形上添 加希腊字母、数学符号及公式等内容。例如, text(0.3,0.5, ′sin({\omega}t+{\beta}) ′) 将得到标注效果 sin(ωt+β)。 ② 上述函数除legend外,均可以用于三维函数。

2 坐标控制
axis函数 主要格式
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) axis equal:纵、横坐标轴采用等长刻度。 axis square:产生正方形坐标系(缺省为矩形)。 axis auto:使用缺省设置。 axis off:取消坐标轴。 axis on:显示坐标轴。

grid on/off:控制是否画网格线。 box on/off: 控制是否加边框线。 hold on/off 控制是否刷新当前轴及图形

1.2 三维图形的基本函数
1 三维曲线图 plot3函数
格式: Plot3(x1,y1,z1, ′S1′, x2,y2,z2, ′S2′, …xn,yn,zn, ′Sn′) t=-pi:0.1:8*pi; x=sin(t); y=cos(t); plot3(x,y,t,′-r′) xlabel(′sin(t)′); ylabel(′cos(t)′); zlabel(′t′)

2 三维网格图 meshgrid函数:产生平面区域内的网格坐标矩阵。
格式:

[X,Y]=meshgrid(A,B) 说明: 语句执行后,矩阵X的每一行都是向量A,行数等于向量B 的元素的个数,矩阵Y的每一列都是向量B,列数等于向量 A的元素的个数。

mesh函数
格式:

mesh(x,y,z)
说明: 一般情况下,x,y,z是维数相 同的矩阵。 [x,y]=meshgrid(0:0.08:2*pi); z=sin(x).*cos(y); figure(1) mesh(x,y,z) xlabel('x'),ylabel('y') zlabel('sin(x)cos(x)') grid on,box on figure(2) mesh(z),box on

surf函数 格式: surf(x,y,z) [x,y]=meshgrid(0:0.08:2*pi); z=sin(x).*cos(y); surf(x,y,z) zlabel(′sin(x)cos(x)′) grid on box on

1.3 图形窗口函数
在实际应用中,有时需要在不同图形窗口或一个图形窗 口中绘制若干个独立的图形,这就需要选取不同的图形 窗口或对图形窗口分割。 函数1:figure
格式:figure(n)

说明: ① 该函数打开不同的图形窗口。 ② n为图形窗口排序号。 ③ 默认时打开的是1号图形窗,即当前窗。

函数2:subplot

格式:subplot(m,n,p)

说明: ① 该函数将当前图形窗口分成m×n个绘图区,即每行n个,共m 行。 ② 区号按行优先编号,且选定第p个区为当前活动区。 ③ 在每一个绘图区允许以不同的坐标系单独绘制图形。

2.2 Matlab的程序结构
matlab的程序结构与c语言相似,主要有以下三 种基本结构 I. 顺序结构

II. 选择结构
III.循环结构

2 选择结构
(1) if语句 a 单分支if语句: b 双分支if语句: c 多分支if语句
格式 格式 格式

if 条件 语句组 end

if 条件 语句组1 else 语句组2 end

if 条件1 语句组1 elseif 条件2 语句组2 …… elseif 条件m 语句组m else 语句组n end

(2) switch语句
switch 表达式 case 表达式1 语句组1 case 表达式2 语句组2 …… case 表达式m 语句组m otherwise 语句组n end 说明:
① 当表达式的值等于表达式1的值时,执行语句组1。 ② 当表达式的值等于表达式m的值时,执行语句组m。

③ 当表达式的值不等于case所列的表达式的值时,执
行语句组n。 ④ 当任意一个分支的语句执行完后,直接执行switch

语句的下一句。

(3) try语句 try 语句组1 catch 语句组2 end
说明:
try语句先试探性执行语句组1,如果语句组1在 执行过程中出现错误,则将错误信息赋给保留的 lasterr变量,并转去执行语句组2。

3 循环结构
(1) for语句
格式

for 循环变量=表达式1:表达式2:表达式3 循环体语句 end
说明:
① 表达式1的值为循环变量的初值,表达式2的值为步长,表 达式3的值为循环变量的终值。 ② 步长为1时,表达式2可以省略。

格式

for 循环变量=矩阵表达式 循环体语句 end
说明:
执行过程是依次将矩阵的各列元素赋给循环变量,然后执行 循环体语句,直至各列元素处理完毕,循环次数为列数。

s=0; a=[1 2 3;4 5 6]; for k=a s=s+k; end disp(s)

(2) while语句
格式 while (条件) 循环体语句 end

说明:若条件成立,则执行循环体语句,执行后再判断条件是
否成立,如果不成立则跳出循环。

(3) break和continue语句
break语句:
用于终止循环的执行。当在循环体内执行到该语句时,程 序将跳出循环,继续执行循环语句的下一语句。

continue语句:
控制跳过循环体中的某些语句。当在循环体内执行到该语 句时,程序将跳过循环体中所有剩下的语句,继续下一次循环。

2.4 Matlab的函数操作
1 函数的调用
格式

[输出实参表]=函数名(输入实参表) 说明:
① 函数调用时各实参出现的顺序、个数,应与函数定义时形
参的顺序、个数一致,否则会出错。 ② 函数调用时,先将实参传递给相应的形参,从而实现参数

传递,然后再执行函数的功能。

2 函数参数的可调性 nargin 和 nargout
说明:
① 在调用函数时,用nargin和nargout分别记录调用该函数时

的输入实参和输出实参的个数。
② 只要在自定义函数文件中包含这两个函数,就可以准确地 知道该函数文件被调用时的输入输出参数个数,从而决定

函数如何进行处理。

程序设计的注意事项
1、在动手编程之前,明确程序的目的,设想解决方案,作出初步的流程 图。 2、%后面的内容是程序的注解,要善于运用注解使程序更具可读性。 3、在主程序开头用clear指令清除变量的习惯。但在子程序中不要用。 4、参数值要集中放在程序的开始部分,以便维护。 5、程序尽量模块化。 6、充分利用Debugger来进行程序的调试(设置断点、单步执行、连续 执行),并利用其他工具箱或图形用户界面(GUI)的设计技巧,将 设计结果集成到一起。 7、设置好MATLAB的工作路径,以便程序运行。 8、input指令可以用来输入一些临时的数据;而对于大量参数,则通过 建立一个存储参数的子程序,在主程序中用子程序的名称来调用。

3. 请补充语句以画出如图所示的图形: [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2, 2:0.1:2); Z=x.*exp(-x.^2-y.^2); ; a) Plot3(x,y,Z) b) plot3(x,y,Z) c) mesh(x,y,Z) d) plot3(x,y,z)

第四讲 插值法
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引言 Lagrange插值 分段低次插值 Hermite插值 三次样条插值 插值方法比较 MATLAB的插值函数 小结

7、 MATLAB的插值函数
插值函数及其功能 函数 功能描述

Interp1
Interp2

一维插值
二维插值

Interp3
Interpft Interpn Spline

三维插值
一维快速傅立叶插值 N-D维插值 立体样条数据插值

格式:yi=inter1(x,y,xi,′method′) 说明: ① x y 输入插值节点向量 ② xi yi 插值点 ③ method ④ nearest :最近插值,用直角折线连接节点 ⑤ linear:线性插值,参数省略时,默认此项 ⑥ pehip :分段三次Hermite插值,具有一阶导数连续 ⑦ splin:三次样条插值,具有一阶、二阶导数连续

第五讲 函数逼近与拟合法
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引言 函数逼近 傅里叶逼近 最小二乘法拟合 最小二乘法 多元线性拟合 非线性拟合 MATLAB的拟合函数 小结

将其表示成矩阵形式:

? (?0 ,?0 ) ? (?1 ,?0 ) ? ? ? ? (?n ,?0 ) ?

? a0 ? ? (? 0 , f ) ? (?0 ,?1 ) ? (?0 ,?n ) ? ? ? ? ? ? ? a1 ? ? (? 1 , f ) ? (?1 ,?1 ) ? (?1 ,?n ) ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? (? , f ) ? (?n ,?1 ) ? (?n ,?n ) ? ? ? n? ? n ?

其系数矩阵为对称阵。

由于?0 ( x),?1 ( x),?,?n ( x)为函数类?的基, 因此?0 ( x),?1 ( x),?,?n ( x)必然线性无关。
所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即

det[(( ?i ,? j ))n?n ] ? 0
根据Crame法则,正规方程组有唯一解,称其为最小二乘解。

function [a,b]=LZXEC(x,y) %离散试验数据点的线性 最小二乘拟合 %试验数据点的x坐标向量:X %试验数据点的y坐标向量:Y %拟合的一次项系数:a %拟合的常数项:b if(length(x) == length(y)) n = length(x); else disp('x和y的维数不相等!'); return; end %维数检查

A = zeros(2,2); A(2,2) = n; B = zeros(2,1); for i=1:n A(1,1) = A(1,1) + x(i)*x(i); A(1,2) = A(1,2) + x(i); B(1,1) = B(1,1) + x(i)*y(i); B(2,1) = B(2,1) + y(i); end A(2,1) = A(1,2); s = A\B; a = s(1); b = s(2);



X y

1 1.5

2 1.8

3 4

4 3.4

5 5.7

>> x=1:5; >> y=[1.5 1.8 4 3.4 5.7]; >> [a,b]=LZXEC(x,y) a= b= 1.0000 0.2800

常用的线性变换 函数
y ? f ( x)

变换后的函数 y ? Ax ? B
ln y ? kx ? ln a
1 y ? a ?b x 1 b c ? x? y a a ?1 ? y? 2 ? ? ? ax ? b ?c? c ln( ? b) ? kx ? ln a y y ln ? kx ? ln a x

y ? aekx
a ?b x a y? bx ? c c y? (ax ? b) 2 c y ? kx ax ? b y?

y ? axekx

4、matlab拟合函数
线性拟合函数
格式:p=linefit(x,y) 说明: ① x,y 输入同维数据向量 ② p 输出拟合多项式的系数向量

多项式拟合函数
格式:p=polyfit(x,y,m) 说明: ① x,y 输入同维数据向量 ② m 拟合多项式次数 ③ p 输出拟合多项式的系数 向量

4. 设y=span{1,x,x2},用最小二乘法拟合如下表数据。 x y 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60

计算的结果为: a) 0.4900 1.2501 0.8560 b) 0.8560 1.2501 0.4900 c) -0.6341 3.8189 -3.7749 d) 3.8189 -3.7749 2.8533
>> x=0.5:0.5:3.0; >> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60]; >> a=polyfit(x,y,2)

第六讲 数值积分与微分
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引言 数值积分 矩形积分近似计算 梯形积分近似计算 抛物线形积分近似计算 牛顿-科茨(Newton-Cotes)公式 自适应(Simpson)求积法 高斯(Gauss)求积法 数值微分 MATLAB的积分和微分函数 小结

MATLAB中提供的积分函数: ? 矩形积分近似计算 ? 梯形积分近似计算 ? 抛物线形积分近似计算 ? 牛顿-科茨(Newton-Cotes)公式 ? 高斯(Gauss)求积法 ? 自适应(Simpson)求积法 ? 龙贝格积分法 ? 样条函数求积分法 ? 简单奇异积分 ? 重积分计算

4.2 matlab数值计算定积分 (1) 梯形求积公式
格式:

Z = trapz(x,y)
说明 ① x,y分别代表数目相同 的阵列或矩阵。 ② y与x具有一定的函数关系。

(2)自适应辛卜生法 格式: [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 说明 ① 返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。 ② fname是被积函数名。定义被积函数须用数值运算符。 ③ a和b分别是定积分的下限和上限。 ④ tol用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。 ⑤ trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程, 取0则不展现,缺省时取trace=0。

(1) Newton-Cotes法 格式: [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 说明 ① tol用来控制积分精度,缺省时取tol=10-6。其它与quad 相同。 ② 该函数可以更精确地求出定积分的值,且计算精度相 同条件下,函数调用的步数明显小于quad函数,从而 保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

(4)高斯-洛巴托( Gauss-Labatto)法 格式: [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
(5) 二重积分 格式: I=dblquad('fname‘,xmin,xmax,ymin,ymax,tol ,trace)

4.3 matlab数值计算微分 (1) 数值微分和差分

一元函数求导

格式:

f =diff(fun) F=diff(fun,’x’) F=diff(fun,’x’,n) F=diff(S) F=diff(S,’x’) F=diff(S,’x’,n) 二元、多元函数求导 格式: [gx,gy]=gradient(F) [gx,gy]=gradient(F,H) [nx,ny,nz]=surfnorm(X,Y,Z)

clear all; df1 = diff('sin(x)'); df2 = diff('sqrt(x)') df3 = diff('log(x)') df4= diff('log(x*y)','x') df5 = diff('sin(x*y)','y') df6 = diff('sin(x*y)','x',3) Ans: df1 = cos(x) df2 = 1/2/x^(1/2) df3 = 1/x df4 = 1/x df5 = cos(x*y)*x df6 = -cos(x*y)*y^3

clear all; F=[ 1 1.2 1.4 2.3 5;0 -0.6 3 4 2;-1 7 7.2 9 1.4]; [gx,gy]=gradient(F) %计算梯度 n=surfnorm(F) %计算法向量

6. 用Newton-Cotes方法计算如下积分
2 x ? 1 5

? 2 x ? 3?dx

(a)133.6625 (b) 23.8600 (c) 87.9027 (d) -1.6180

function f=fun(x) f=x.*x.*sqrt(2*x+3)
quadl(‘fun’,1,3,1e-10) 或quadl('exp(-x/2)',1,3,1e-10) 或fun=@(x)exp(-x/2); quadl(fun,1,3,1e-10)

x ? ln e ? x? ? ? 3 3 2 2 ? 12. 求极限 lim ? x ? x ? x ? 1 ? x ? x ? 1 x ?? ? ? x ? ? a) -1/6 syms x b) Inf f=(x^3+x^2+x+1)^(1/3)c) –Inf sqrt(x^2+x+1)*log(exp(x)+x)/x d)-1

limit(f,x,inf)

7. a) b) c) d)

y=ln(1+x),求x=1时y"的近似值。 -0.25 0.5 -0.6137 -1.6137

syms x y=log(1+x) f=diff(y,2) subs(f,1)

第七讲 常微分方程数值解法
?

?
? ? ?

引言 欧拉近似方法 龙格-库塔(R-K)方法 MATLAB的常微分方程函数 小结

4、 MATLAB的常微分方程函数
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb

格式 [x,y]=ode45(′ fun′, [x0,xn], y0,option]
说明: yi?( x) ? fi ( x, yi ) ① 适用于求解一阶常微分方程组 ② fun定义微分方程组的函数文件名 ③ [x0,xn]求解区域 ④ y0初始条件向量 ⑤ option可选参数,由ODESET函数设置,比较复杂 ⑥ x输出自变量向量,y输出[y, y ′, y ″,..]

i ? 1,2,...

没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题,因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数 ODE类 型
非刚性 非刚性 非刚性

特点
单步法;4,5 阶 R-K 方法; 累计截断误差为 (△x)3 单步法;2,3 阶 R-K 方法; 累计截断误差为 (△x)3

说明
大部分场合的首选方法 使用于精度较低的情形

ode45 ode23
ode113 ode23t ode15s ode23s
ode23tb

多步法;Adams算法;高低精 计算时间比 ode45 短 度均可到 10-3~10-6 适度刚性情形 多步法;Gear’s 反向数值微分; 若 ode45 失效时,可尝 精度中等 试使用 单步法;2 阶Rosebrock 算法; 当精度较低时,计算时 低精度 间比 ode15s 短 梯形算法;低精度 当精度较低时,计算时 间比ode15s短

适度刚性 采用梯形算法 刚性 刚性 刚性

例题:用MATLAB的符号解法,求解常微分方程: dy ? x2 ? 3 xy ? xe dx >> dsolve('Dy+3*x*y=x*exp(-x^2)') ans = (1/3*exp(-x*(x-3*t))+C1)*exp(-3*x*t)

>> dsolve('Dy+3*x*y=x*exp(-x^2)','x')

ans =
exp(-x^2)+exp(-3/2*x^2)*C1

例题:采用ODE45求解描述某刚性问题的微分方程:

? y1 ' ? y2 y3 ? y1 (0) ? 0 ? ? ? y2 ' ? ? y1 y3 , ? y2 (0) ? 1 ? y ' ? 0.51 y y ? y (0) ? 1 1 2 ? 3 ? 3
function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % 行向量

options = odeset('RelTol',1e4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.') legend('y1','y2','y3')

dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

例题:用MATLAB函数ode23,ode45,ode113,求解多阶常微分方程:
3 2 d y d y dy 3 2x x ? 2 ? 3 ? 3 e 3 2 dx dx dx y (1) ? 1, y '(1) ? 10, y "(1) ? 30, x ? [1,10]

? dy1 ? dx ? y2 ? ? dy2 ? y3 ? ? dx ? dy3 2 3 3e 2 x ? 3 y3 ? 3 y2 ? 3 ? x x ? dx x

? ? y1 ? ?0 dY d ? ? ? ? ? y2 ? ? ? 0 dx dx ? ? ? y3 ? ? ?0 ?

1 0 3 x3

? ? ? ? 0 ? 0? ? ? ? 1 ?Y ? ? 0 ? ? 3e2 x ? 2? ? ? 3? 3 ? x ? ? x ? ?

function dy=myfun03(x,y) dy=zeros(3,1) %初始化变量dy dy(1)=y(2); %dy(1)表示y的一阶导数,其等于y的第二列值 dy(2)=y(3); %dy(2)表示y的二阶导数 dy(3)=2*y(3)/x^3+3*y(2)/x^3+3*exp(2*x)/x^3 %dy(3)表示y的三阶导数 % 用ode23 ode45 ode113解多阶微分方程 clear,clc

[x23,y23]=ode23('myfun03',[1,10],[1 10 30]); [x45,y45]=ode45('myfun03',[1,10],[1 10 30]); [x113,y113]=ode113('myfun03',[1,10],[1 10 30]);
figure(1) %第一幅图

plot(x23,y23(:,1),'*r',x45,y45(:,1),'ob',x113,y113(:,1),'+g') %作出各种函数所得结果 legend('ode23解','ode45解','ode113解') title('ODE函数求解结果') figure(2) plot(x45,y45) %以ode45为例作出函数以及其各阶导数图 legend('y','y一阶导数','y两阶导数') title('y,y一阶导数,y二阶导数函数图')

10. 采用ODE45求解如下多阶常微分方程,并求出当x=1.8505时的函数值。
d3y d2y dy x ? 2 ? 3 ? 3e2 x 3 2 dx dx dx y(1) ? 1, y '(1) ? 10, y "(1) ? 30, x ? [1,10]
3

a) b) c) d)

31.6441 74.6907 118.7862 63.2564

建立求解函数文件myfun03 function dy=myfun03(x,y) dy=zeros(3,1) %初始化变量dy,该行可以没有 dy(1)=y(2); %dy(1)表示y的一阶导数,其等于y的第二列值 dy(2)=y(3); %dy(2)表示y的二阶导数 dy(3)=2*y(3)/x^3+3*y(2)/x^3+3*exp(2*x)/x^3 %dy(3)表示y的三阶导数 求解过程: [x45,y45]=ode45('myfun03',[1,10],[1 10 30]);

第八讲
?

非线性方程求根

?
? ? ? ?

引言 二分法 迭代法 Newton迭代法 MATLAB的非线性方程求根函数 小结

5、MATLAB的非线性方程求根函数
Matlab中zeroin的算法实现是fzero. x = fzero(FUN,x0) %x0可以是数,或区间

x = fzero(FUN,x0,options) [x,fval]= fzero(FUN,x0,options) [x,fval,exitflag] = fzero(FUN,x0,options)

例: 求方程在x=0.5附近的根。

x2 ? x ? 1 ? 0
>> x=fzero('x^2+x-1',0.5) x= 0.6180

例:采用牛顿下山法求方程在区间[1.2,2]上的一个 根。 2

x ?x ?2?0

>> x=fzero('sqrt(x)-x^3+2',[0 2]) x = 1.4759 >> r=NewtonDown('sqrt(x)-x^3+2',1.2,2) r = 1.4759

5. 求方程在x=0.5附近的根. x2 ? x ? 1 a) b) c) d) 0.6180 -1.1719e-25 -1 -1.6180

第九讲
?

解线性方程组的直接解法

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? ? ? ?

引言 Gauss消元法 列主元素消元法 误差分析 MATLAB的线性方程组求解函数1 小结

2、Gauss消元法
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2.1 基本思想:逐步消去未知元,将方程组化为与 其等价的上三角方程组求解。 2.2 分两步:
? 第一步: 消元过程,将方程组消元化为等价的上三角形 方程组; ? 第二步: 回代过程, 解上三角形方程组,得原方程组的 解。

2.3 Gauss消元的目的
a11x1+ a12x2+· · · · + a1nxn = b1 原始方程组 约化方程组

a21x1+ a22x2+· · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1x1+ an2x2+· · · · + annxn = bn

? a11 x1 ? a12 x 2 ??? a1n x n ? b1 ? (1) (1) (1) a x ? ? ? a x ? b ? 22 2 2n n 2 ? ????? ? ( n ?1 ) ( n ?1 ) ? a x ? b nn n n ?

2.4.1 消元过程(化一般方程组为上三角方程组)
以四阶为例:

? a11 x1 ? a12 x 2 ? a13 x3 ? a14 x 4 ? b1 ?a x ? a x ? a x ? a x ? b ? 21 1 22 2 23 3 24 4 2 ? ? a31 x1 ? a32 x 2 ? a33 x3 ? a34 x 4 ? b3 ? ?a 41 x1 ? a 42 x 2 ? a 43 x3 ? a 44 x4 ? b4
其系数增广矩阵为:

? ? A?? ? ? ? ?

a11 a 21 a31 a 41

a12 a13 a 22 a 23 a32 a33 a 42 a 43

a14 a 24 a34 a 44

b1

? ? b2 ? b3 ? ? b4 ? ?

第一轮消元:

(a11 ? 0)

计算3个数: [m21 m31 m41]T = [a21 a31 a41]T / a11 用-m21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行; 用-m31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行; 用-m41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行; 其系数增广矩阵变为:

A (1)

? a11 a12 ? (1) a 22 ? ?? (1) a32 ? (1) ? a42 ?

a13
(1) a23

a14
(1) a24

b1
(1) b2

a a

(1) 33 (1) 43

a a

(1) 34 (1) 44

b b

(1) 3 (1) 4

? ? ? ? ? ? ?

第二轮消元:

(1) (a22 ? 0)

其系数增广矩阵变为:

计算2个数:[m32 m42]T = [a32(1) a42(1)]T / a22(1) 用-m32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行; 用-m42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行;

A

( 2)

? a11 a12 ? (1) a22 ? ?? ? ? ?

a13 a
(1) 23 ( 2) a33 ( 2) a43

a14 a
(1) 24 ( 2) a34 ( 2) a44

b1 b
(1) 2 ( 2) b3 ( 2) b4

? ? ? ? ? ? ?

第三轮消元:

(a

( 2) 33

? 0)

计算: m43=a43(2)/a33(2) 用-m43乘矩阵第三行后加到矩阵第四行;

其系数增广矩阵变为:

A

( 3)

? a11 a12 a13 a14 ? (1) (1) (1) a22 a23 a24 ? ?? ( 2) ( 2) a33 a34 ? ( 3) ? a44 ?

b1 b b
(1) 2 ( 2) 3

b

( 3) 4

? ? ? ? ? ? ?

其对应的上三角方程组为

? a11 x1 ? a12 x 2 ? a13 x3 ? a14 x 4 ? b1 ? (1) (1) (1) (1) a 22 x 2 ? a 23 x3 ? a 24 x 4 ? b2 ? ? ( 2) ( 2) ( 2) a x ? a x ? b 33 3 34 4 3 ? ( 3) ( 3) ? a 44 x 4 ? b4 ?

若对于一般的线性方程组Ax=b,其消元过程的计算 公式为: (k=1,2,…,n-1) ( 0)

(记aij ? aij)

? a (i ? k ? 1,?, n) ?mik ? a kk ? ? (k ) ( k ?1) ( k ?1) (i, j ? k ? 1,?, n) ?aij ? aij ? mik akj ? (k ) ( k ?1) ( k ?1) ? mik bk (i ? k ? 1,?, n) ?bi ? bi ? ?
( k ?1) ik

2.4.2 回代过程(解上三角方程组) 上三角方程组的一般形式为: 其中a11…ann≠0

?a11 x1 ? a12 x 2 ??? a1n x n ? b1 ? a 22 x 2 ??? a 2 n x n ? b2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a nn x n ? bn ?

回代过程的计算公式:

bn ? x ? n ? ann ? ? n ? ( b ? a x ) ? i ij j ? j ?i ?1 ? xi ? ? aii ?

(i ? n ? 1, ? ,2,1)

注:对角线上的元素ak+1,k+1(k)在Gauss消去法中作 用突出,称约化的主元素。 定理: 约化的主元素ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,· · · ,n-1) 的充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式 不为零。即

a11 ? a1k Dk ? ? ? ? ?0 a k 1 ? akk

推论: 如果A的顺序主子式Dk ≠ 0 (k=1,· · · ,n-1),则 Gauss消元法中的约化主元可以表示为

? ?a11 ? D1 ? (k ) a ? D / D ? k ? 1 , k ? 1 k ? 1 k ?

(k ? 2,3,...,n ? 1)



用高斯消元法求解方程组 ?2 3 4 6 ? ? 2 3 4 ? ? x1 ? ? 6 ? ?3 5 2 5 ? ? 3 5 2 ? ? x ? ? ?5 ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? x ? 4 3 30? ?? ? 32? ? 3 ? ? ? ?4 3 30 32? ?
4 6? ?2 3 ?0 0.5 ? 4 ? 4? ? ? ? ?0 ? 3 22 20 ? ?
m32= -3/0.5

m21=3/2 m31=4/2

4 6? ?2 3 ?0 0.5 ? 4 ? 4? ? ? ? ?0 0 ? 2 ? 4? ?

4 ? ? x1 ? ?6 ? ?2 3 ? 0.5 ? 4? ? x ? ? ? ? 4? ? ?? 2 ? ? ? ? ? 2? ? ?? ? ? 4? ? ? x3 ? ? ?

x1= -13, x2 = 8, x3 = 2

MATLAB 处理:
>> clear all;

A=[2 3 4;3 5 2;4 3 30];
b=[6 5 32]'; [L,U]=lu(A);

x=U\(L\b)

x=

-13.0000
8.0000 2.0000

5、MATLAB的线性方程组求解函数1
线性代数方程组
? A11 x1 ? A12 x2 ? A13 x3 ? ? A1n xn ? B1 ?A x ? A x ? A x ? ? A x ? B ? 21 1 22 2 23 3 2n n 2 ? ? ? ? An1 x1 ? An 2 x2 ? An 3 x3 ? ? Ann xn ? Bn

可以用矩阵形式表示为 即: 则:

A11 A12 A21 A22 An1 An 2

A13 A23 An 3

A1n x1 A2 n x2 Ann xn ?

B1 B2 Bn

AX ? B

X ? A\ B

0.4096 x1 ? 0.1234 x2 ? 0.3678 x3 ? 0.2943x4 ? 0.4043 11. 求解下列方程组。 0.2246 x1 ? 0.3872 x2 ? 0.4015 x3 ? 0.1129 x4 ? 0.1550 0.3645 x1 ? 0.1920 x2 ? 0.3781x3 ? 0.0643x4 ? 0.4240 0.1784 x1 ? 0.4002 x2 ? 0.2786 x3 ? 0.3927 x4 ? ?0.2557 a) b) c) d) -0.1819 -0.7841 -0.4467 -0.4226 -1.6630 2.2172 -0.0037 2.1994 2.2172 -1.6630 2.1994 -0.0037 -0.4467 -0.4226 -0.1819 -0.7841

a=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927]; b=[0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557]’ x=a\b 或x=v(a)*b

第十讲
? ? ? ? ? ?

解线性方程组的迭代解法

引言 简单迭代法 赛得尔迭代法 迭代解法的收敛性 MATLAB的线性方程组求解函数2 小结

5、MATLAB的线性方程组求解函数2
格式

solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')

2 ? x ? ? xy ? y ? 3 ? 2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0

Matlab非线性方程组求解
格式

X=fsolve(FUN,X0)
说明: ① 求解方程形式F(X)=0 ② X、F可以是向量或矩阵 ③ X0 初值

9. a) b) c) d)

求解如下非线性方程组在(x=-1,y=-1)附近的解 0.5671 0.5671 ?x ? ?2 x ? y ? e 无解 ? ?y ? x ? 2 y ? e ? 无穷解 ? 0 0

function F=myfun(x) F=[2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2))];

x=fsolve('myfun',[-1,1])

第十一章概率统计函数应用
MATLAB提供了大量进行概率统计计算的函数工具,如 随机变量的数字特征、特殊分布的概率计算、参数估计 函数、假设检验函数、方差分析、回归分析和统计图绘 制等。此处主要介绍方差分析和统计图绘制的函数功能。

3.1 方差分析
3.1.1 单因素方差分析 单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值,它返回原假设— —均值相等的概率 函数 anova1 格式 p = anova1(X) %X的各列为彼此独立的样本观察值,其元 素个数相同,p为各列均值相等的概率值,若p值接近于0,则原假设受 到怀疑,说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。 p = anova1(X,group) %X和group为向量且group要与X对应 p = anova1(X,group,'displayopt') % displayopt=on/off表示显示与 隐藏方差分析表图和盒图 [p,table] = anova1(…) % table为方差分析表 [p,table,stats] = anova1(…) % stats为分析结果的构造 说明 anova1函数产生两个图:标准的方差分析表图和盒图。

方差分析表中有6列: 第1列(source)显示:X中数据可变性的来源; 第2列(SS)显示:用于每一列的平方和; 第3列(df)显示:与每一种可变性来源有关的自由度; 第4列(MS)显示:是SS/df的比值; 第5列(F)显示:F统计量数值,它是MS的比率; 第6列显示:从F累积分布中得到的概率,当F增加时, p值减少。

3.1.2 双因素方差分析
函数 anova2 格式 p = anova2(X,reps)

p = anova2(X,reps,'displayopt')
[p,table] = anova2(…) [p,table,stats] = anova2(…)

说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较X中两个或多个列 (行)的均值,不同列的数据表示因素A的差异,不同行的数据表 示另一因素B的差异。如果行列对有多于一个的观察点,则变量 reps指出每一单元观察点的数目,每一单元包含reps行,如: reps=2
其余参数与单因素方差分析参数相似。

3.2 概率统计图
1、 最小二乘拟合直线 函数 lsline 格式 lsline %最小二乘拟合直线

h = lsline %h为直线的句柄 例 >> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';

>> plot(X,'+')
>> lsline

2、 绘制正态分布概率图形
函数 normplot 格式 normplot(X) %若X为向量,则显示正态分布概率图形,若X为矩阵, 则显示每一列的正态分布概率图形。 h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄 说明 样本数据在图中用“+”显示;如果数据来自正态分布,则图形显示为 直线,而其它分布可能在图中产生弯曲。 例 >> X=normrnd(0,1,50,1); >> normplot(X)

3、绘制威布尔(Weibull)概率图形 函数 weibplot 格式 weibplot(X) %若X为向量,则显示威布尔(Weibull)概率图形,若X为矩阵, 则显示每一列的威布尔概率图形。 h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄 说明 绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据 X,如果X是威布尔分布数据,其图形是直线的,否则图形中可能产生弯曲。 例 >> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1);

>> weibplot(r)

4、样本的概率图形 函数 capaplot 格式 p = capaplot(data,specs) %data为所给样本数据,specs指定范围,p表示 在指定范围内的概率。 说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率


>> data=normrnd (0,1,30,1); >> p=capaplot(data,[-2,2]) p= 0.9199

5、附加有正态密度曲线的直方图 函数 histfit 格式 histfit(data) 和正态曲线。 histfit(data,nbins) % nbins指定bar的个数, %data为向量,返回直方图

缺省时为data中数据个数的平方根。
例 >>r = normrnd (10,1,100,1); >>histfit(r)

8. 某公司用3台轧机来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的 厚度,精确至‰厘米。得结果如下: 轧机1:0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 轧机2:0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 轧机3:0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 计算方差分析结果,并判定各台轧机所生产的薄板的厚度有无显著的差异? a) p=1.3431e-005,有显著差异。 b) p=0.9688,没有显著差异。 c) p=0.4956,有显著差异。 d) p=0.9688,有显著差异。

>> X=[0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261;0.258 0.264 0.259 0.267 0.262]; >> P=anova1(X')

教材与主要参考书
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《MATLAB与科学计算》

?

?

?

王沫然 编 电子工业出版社 《精通MATLAB科学计算》 王正林 编 电子工业出版社 数值分析(第四版) 李庆扬 编 清华大学出版社 MATLAB课程讲义 Yangkun编 Harbin Institute of Technology

谢谢!


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第一章 选择题 1.MATLAB 的图像处理功能属于( A.开发环境的组成部分 C.MATLAB 语言的组成部分 成部分 2.clc 命令用于( ))B.数学函数库的组成部分 D. ...
matlab总复习
matlab总复习 隐藏>> 1、求 1 到 500 之间所有奇数之和,写出程序和运行结果。 s=0; >> for i=1:2:500; s=s+i end 2、在同一个图形窗口画 3 个子...
MATLAB考试复习资料大全
MALAB 译于矩阵实验室 MATLAB 的基本数据单位是矩阵 指令执行后矩阵A 被保存在MATLAB 的工作间Workspace 中以 备后用如果用户不用clear 指令清除它或对它重新定义...
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MATLAB 软件与应用》期末复习期末考试 30% 时间: (第 15 周)12 月 11 号星期二晚上 7:30---9:30 地点:4307 实验报告 40% (1)9 次实验的报告 A4 ...
数学建模复习题2013
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