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高三数学一轮复习必备精品:曲线方程及圆锥曲线的综合问题


2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 35 讲
一. 【课标要求】

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转 化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单

应用

二. 【命题走向】
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现, 主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要 根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等 式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 2010 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问

三. 【要点精讲】
1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明 1、 “建” :建立坐标 系; “设” :设动点坐 标。 建立适当的直角坐标 系, 用(x,y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标。 (1) 所研究的问题已给出坐标系, 即可直接 设点。 (2) 没有给出坐标系, 首先要选取适当的坐 标系。

2、现(限):由限制条 写出适合条件 P 的点 M 这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析 件,列出几何等式。 的集合 P={M|P(M)} 题意,使写出的条件简明正确。 3、 “代” :代换 4、 “化” :化简 5、证明 用坐标法表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0 化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。 证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。 常常用到一些公式。 要注意同解变形。

化简的过程若是方程的同解变形,可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上(即要注意方程 变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀” :建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法” ,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基 本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另

一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类: 一类是有关长度和面积的最值问题; 一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等 式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注 意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶ f(x,y)=0 与直线 l∶ y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长 |AB|为:

若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值, 关键是建立所求量关于自变量的函数关系, 再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断 方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型, 随着高考改革的深入, 同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理选择曲线模型, 然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:

实际问题

建立坐标系 转化成数学问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

(4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题

四. 【典例解析】
题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x ? y ? 6x ? 91 ? 0 内切,
2 2 2 2

求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

(2)双曲线

x2 ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1F2 的重心 M 的 9

轨迹方程。 解析: (法一) (1) 设动圆圆心为 M ( x, y ) , 半径为 R , 设已知圆的圆心分别为 O1 、O2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 3)2 ? y 2 ? 100 , 当 ? M 与 ? O1 相切时,有 | O1M |? R ? 2 ① 当 ? M 与 ? O2 相切时,有 | O2 M |? 10 ? R ② 将①②两式的两边分别相加,得 | O1M | ? | O2 M |? 12 , 即 ③ 移项再两边分别平方得:

y

P

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

O1

O2

x

2 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 ? x
2 2



两边再平方得: 3x ? 4 y ?108 ? 0 , 整理得

x2 y 2 ? ?1, 36 27 x2 y 2 ? ? 1 ,轨迹是椭圆 36 27

所以,动圆圆心的轨迹方程是

2 2 2 2 (法二)由解法一可得方程 ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 12 ,

由以上方程知,动圆圆心 M ( x, y ) 到点 O1 (?3, 0) 和 O2 (3,0) 的距离和是常数12 ,所以 点 M 的轨迹是焦点为 O1 (?3, 0) 、O2 (3,0) ,长轴长等于 12 的椭圆,并且椭圆的中心在坐标 原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2c ? 6 , 2a ? 12 ,∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b ? 36 ? 9 ? 27 ,
2

x2 y 2 ? ?1。 ∴圆心轨迹方程为 36 27
(2) 如图, P, M 点坐标各为 P( x1 , y1 ), M ( x, y) , 设 ∴在已知双曲线方程中 a ? 3, b ? 1 , ∴ c ? 9 ? 1 ? 10 ∴已知双曲线两焦点为 F (? 10,0), F2 ( 10,0) , 1 ∵ ?PF F2 存在,∴ y1 ? 0 1

? x1 ? (? 10) ? 10 ?x ? ? x1 ? 3 x ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 。 ? y1 ? 3 y ? y ? y1 ? 0 ? 0 ? 3 ? ∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。
已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有 即所求重心 M 的轨迹方程为: x ? 9 y ? 1( y ? 0) 。
2 2

(3x)2 ? (3 y)2 ? 1( y ? 0) 9

点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤; “转移法”求轨迹方程的方法 例 2.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 2

上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点

Ak .
(1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

解(1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 2 2 2 则?c , 解得 ? , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

若 k ? 0 ,由 (?6) 2 ? 0 2 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.

题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题 例 3. (2009 辽宁卷理)以知 F 是双曲线 (1) 支上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0),

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右 4 12


于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9

(2) (2009 重庆卷文、理)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在一点 P 使
取值范围为 .

a c ,则该椭圆的离心率的 ? sin PF1F2 sin PF2 F1

【解析 1】因为在 ?PF F2 中,由正弦定理得 1

PF2 PF1 ? sin PF1F2 sin PF2 F1

则由已知,得

a c ,即 aPF1 ? cPF2 ? PF2 PF1 1 1

设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半径公式,得 PF ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 则 a(a ? ex0 ) ? c(a ? ex0 ) 1 记得 x0 ?

a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) ? ? ?a ,整理得 由椭圆的几何性质知 x0 ? ?a则 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

故椭圆的离心率 e? ( 2 ?1,1) e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 e ? ? 2 ?1或e ? 2 ?1 ,又e ? (0,1) , 【解析 2】 由解析 1 知 PF1 ?

c PF2 由椭圆的定义知 a

c 2a 2 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? , 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 a c?a PF2 ? a ? c, 则
【答案】

2a 2 ? a ? c, 既c 2 ? 2c ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

?

2 ? 1,1

?
2

(3) (2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3 C. )

11 5

D.

37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。

【解析 1】直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y 2 ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于

P 到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点

F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

【解析 2】如图,由题意可知 d ? 【答案】A

| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42

?2

点评:由△PAF 成立的条件 || PA|?| PF || ?| AF | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共线,从 而得出 || PA|?| PF || ?| AF | 这一关键结论 例 4. (1) (2009 江苏卷) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。

(2)(2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1), a ? b ,动点

?

?

?

?

M ( x, y) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4

点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 ,设直线 l 与圆 C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 4

B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

即 mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线.

(2).当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

? y ? kx ? t ? 方程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?

??? ??? ? ? 要使 OA ? OB ,
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 需使 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t2 4 所以圆的半径为 r ? , r2 ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k 2
t
2 2 2 x2 5 ,与 5) 或 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 OA ? OB .

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

??? ?

??? ?

1 x2 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 (3)当 m ? 时,轨迹 E 的方程为 4 4
C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?
2 2 2

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x 2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
4 1 2 4 ? R2 2 2 2 B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y ? 1 ? x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 1

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?
2 2 2

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当 R ? 2 ? (1,2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以 通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

题型 3:证明问题和对称问题 例 5. (1)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A a2 b

(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且椭圆的 离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、 2 分别为椭圆的左、 F 右焦点, 为线段 AF 1 的中点, M 求证: ∠ATM=∠AF 1 T。 解 (1)由题意:

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?

,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2) (2009 天津卷文) (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,过点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c

(Ⅰ求椭圆的离心率; (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的外 接圆上,求

n 的值。 m

解 (1)由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

a2 ?c 1 c 3 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 2 a a 3 ?c c
2 2 2 (2)由(1)知, b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2x ? 3 y ? 6c
2 2 2 2

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c
由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?
2 2 2 2 2 2

? y ? k ( x ? 3c )
2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c

消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ? 18k cx ? 27k c ? 6c ? 0 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,?
2 2

3 3 ?k? 3 3

而 x1 ? x 2 ?

18k 2 27k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 x1 ? 3c ? 2 x2

联立三式, 解得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 2 , x2 ? , 将结果代入韦达定理中解得 k ? ? 2 2 3 . 2 ? 3k 2 ? 3k
3c 2 ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C(0,? 2c) 2 3 c 2c 2 c ?? ( x ? ), 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0) 是 2 2 2 2

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ?

线段 AF 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 1

c c ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2

? c 2 9c 2 2 ?(m ? ) ? n ? 直线 F2 B 的方程为 y ? 2 ( x ? c) ,于是点 H (m, n) 满足方程组 ? 2 4 ?n ? 2 ( m ? c ) ?
由 m ? 0 ,解得 m ?

5c 2 2c n 2 2 ,故 ? ,n ? 3 2 m 5

当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5 .

、 点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力。

(3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点 ①求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; ②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 解析: (3)证明:①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、 B(3, - 6 ),∴ OA? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. y2=2x y=k(x 当 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6. -3) 又∵1= x
?? ? ?? ?

2

1 2 1 2 y 1 , x2= y 2 , 2 2

∴ OA? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA? OB =3”是真命题. ②逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 两点,如果 OA? OB =3,那么该直线过点 T(3,0). B 该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为 Y=

1 ,1),此时 OA? OB =3, 2

2 (X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3

点评: 由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、 12,y2)满足 OA? OB =3,可得 y1y2=-6。 y1y2=2, B(x 或 如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0),而不过点 (3,0)。 例 6. (1) (2009 辽宁卷文、理) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

x2 y2 ? 2 ? 1。 1 ? b 2 4b

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去) 。 2 1? b 4b 4

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

(Ⅱ)证明 设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) F( xF , yF ) , .因为点A(1,

3 )在椭圆上, 2

3 4( ? k )2 ? 12 所以 xE ? 2 , 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

(2) (2009 福建卷文) (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 a 2 b2
10 3

C 的右顶点为 B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ?
分别交于 M , N 两点 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ) 当线段 MN 的长度最小时, 在椭圆 C 上是否存在这样的点 T , 使得 ?TSB 的面积为 若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由

1 ? 5

解 方法一(I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 从而 M (

10 16k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

即 S(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? MN |? | 当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

16k 1 1 ? ,即 k ? 时等号成立 3 3k 4 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

1 4

| 此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? BS |?

6 4 5 5

4 2 5
1 2 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 , 5 4

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

2 的直线 l 上。 4

则由

3 5 |t ?2| 2 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 2 2 4 2

题型 4:知识交汇题 例 7.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动 点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 时,求 p 的值 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 解析:(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

???? ????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值

?p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p2 ? 2 p ? 0

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |

?

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 4 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

?p ? 2.
点评:本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基 础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力 例 8. (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

y 2 x2 5 已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距离为 a b 2

2 5 。 5
(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、 二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围。 方法一 解(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线

??? ?

??? ?

1 3

ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

所以

ab a 2 ? b2

?

ab 2 5 2 5 所以 ? c 5 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 得 ?b ? 1 由? ? 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?

所以曲线 C 的方程是

y2 ? x2 ? 1 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x

( 设 A(m, 2m), B ? n, 2n), m ? 0, n ? 0
由 AP ? ? PB得P点的坐标为(

uur u

uur

m-? n 2(m+? n) , ), 1+? 1+?

y2 (1 ? ? ) 2 2 ? x ? 1, 化简得mn= 将 P 点的坐标代入 4 4?
因为 ?AOB ? 2? , tan(

?

1 4 ? ? ) ? 2, tan ? ? ,sin 2? ? 2 2 5

又 OA ? 5m, OB ? 5n

1 1 1 OA ? OB ? sin 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1 2 2 ? 1 1 1 记 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2] 2 ? 3 1 1 则 S ?(? ) ? (1 ? 2 ) 2 ?
所以 S ?AOB ? 由 S ?(? ) ? 0得? ? 1 又 S(1)=2, S ( ) ?

1 3

8 9 , S (2) ? 3 4 1 8 时, ?AOB 面积取到最大值 3 3

当 ? ? 1 时, ?AOB 面积取到最小值 2 ,当当 ? ? 所以 ?AOB 面积范围是 [2, ]

8 3

方法二(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

?

ab a 2 ? b2

?

2 5 ab 2 5 即 ? 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 得 ?b ? 1 由? ? 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?

所以曲线 C 的方程是

y2 ? x2 ? 1. 4

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0 由?

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? 2x

由?

? y ? kx ? m ?m 2m 得B点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? ?2 x

uur u uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k
将 P 点的坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x2 ? 1 得 ? 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)

S?AOB = S?AOQ ? S?BOQ
?

.

1 1 1 OQ g xA ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ?

(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它 的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (1)求椭圆 C 的方程‘ (2)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解(1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得

OP OM

? e (e 为椭圆

{

a ? c ? 1, 解得 a=4,c=3, a ? c ? 7.
x2 y 2 ? ? 1. 16 7

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x???4,4?. 由已知得 而e ?

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y


3 2 ,故 16( x2 ? y1 ) ? 9( x2 ? y 2 ). 4
2

由点 P 在椭圆 C 上得 , y1 ? 代入①式并化简得 9 y 2 ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

112 ? 7 x 2 , 16

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

67.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的 距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于 点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。
2 2 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳

由题设 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

1 x, 化简得 2

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

2 2 2 当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) ? y ? 3 ? x, 化简得 y ? 12 x

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧部分与 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 : 36 27
抛物线 C2 : y2 ? 12x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点) 所组成的曲线,参见图 1

(Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) ,B(2, ?2 6 ) , 直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知

PF ? 6 ?

1 x. 2



当点 P 在 C2 上时,由③知

PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 N( x2 , y2 )都在 C ∣MF∣= 6 1 上,此时由④知

, 6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 )

1 x 2 2 1 1 1 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 x1 )+ (6 x2 )=12 - ( x1 + x2 ) 2 2 2
∣NF∣= 6 -

1 x 2 1

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ?108 ? 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根, ?1 ? ? ? 36 27
1 24k 2 12k 2 所以 x1 + x2 = *∣MN∣=12 ( x1 + x2 )=12 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,

MN ? 1 2?

12 2 k 12 100 ? 1? 2 ? . 2 1 3? 4 k 11 ?4 k2

当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。 (2) kE ? ? N 当 A k kA

?, 2 6 k? 2 6 ?

时, 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

分 别 在 C1 , C2 上 , 不 妨 设 点 M 在 C1 上 , 点 C2 上 , 则 ④ ⑤ 知 ,

MF ? 6 ?

1 x1 , NF ? 3 ? x2 2

设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.

MF ? 6 ?

1 1 x1 ? 6 ? x 0 ? EF , NF ? 3 ? x 2? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE ? ?2 6, 有(1)知 AE ?

100 100 , 所以 MN ? 11 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时

1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11
综上所述,线段 MN 长度的最大值为

100 11 .

五. 【思维总结】
1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的 一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问 题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法,即 在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意曲线上点具有条件, 确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法 解题的能力,求曲线的常用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待 定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般可用直接法、 间接代点法、 参数法等求方程。 二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进 而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与 圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使 一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质, 可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知量, 简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状态,利

用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极 坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方 法,复习也应给予足够的重视


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