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高一数学 正切函数图象及其性质ppt


利用诱导公式,我们有 sin(x ? π) ? sinx tan(x ? π) ? ? ? tanx cos(x ? π) ? cosx ? (其中x ? R且x ? ? k? , k ? Z ) 2 这说明正切函数是周期函数,π是它的一个 周期。实际上,π是它的最小正周期。

现在利用正切线画出函 数y ? tan x, x ? (?

/>? ?

, )的图象 2 2

y
?

?

1
?

?

?

?
2

?

?
4

o1

A
? ? ?

0
?1

? 4

?
2

x

?

y ? tan x, x ? (?

? ?

, ) 2 2

利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 ? y ? tan x, x ? R且x ? ? k? , (k ? Z )的图象 , 并把它 2 叫做正切曲线. y

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线

x?

?

2

? k? , (k ? Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.

正切函数的主要性质如下:
定义域
? x x ? ? ? k? , k ? Z ?
2

值 域
周期性

实数集

T ??
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在( ?

奇偶性
单调性 对称中心

?

? k?, ? k?),k ? Z内为增函数 2 2

?

(kπ ,0)

解:令 z ? x ?

例1.求函数 y ? tan (x ? )的定义域 . 4 ?
? ? ? 是? z z ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

?

4

, 那么函数 y ? tan z的定义域

由z ? x ?

?

2 ? ? ? 可得x ? ? k? ? ? ? k? 2 4 4

4

?

?

? k? ,

所以函数 y ? tan( x ? )的定义域为 4

?

{x | x ? k? ?

?

4

, k ? z}

返 回

例2.判断下列函数的奇偶性:

y ? 2 ? cos x ? tan x
解: ? y ? 2 ? cos x ? tan x的定义域
? ? ? 为? x x ? k? ? ,k ? Z ?关于原点对称 2 ? ?

f (?x) ? 2 ? cos(?x) ? tan( ?x) ? f ( x)

? f ( x)为偶函数 .
说明:函数具有奇.偶性的必要条件之一是定义域 关于原点对称,故验证f(-x)=f(-x)或 f(-x)= -f(x)成立前,要先判断定义域 是否关于原点对称.

返 回

例3.不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小. 11 13 tan( ? ? )与 tan ( ? ?) 4 5 13 2 11 1 解: ? tan ( ? ?) ? tan ( ?) , tan(? ? ) ? tan( ? ) 4 4 5 5 1 1 2 1 又? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 5 2
1 1 函数y ? tan x,x ? ( ? ?, ?)是增函数 2 2 1 2 11 13 ? tan( ? ) ? tan( ? ) 即 tan ( ? ?) ? tan ( ? ?) 4 5 4 5

说明:比较两个正切型函数的大小,关键是把相应的 角诱导到y=tanx的同一单调区间内,利用y=tanx的 单调递增性来解决. 返 回

1.求函数y ? tan 3x的定义域.
k? ? {x | x ? ? , k ? Z} 3 6

2.不通过求值,比较大小:
(1) tan138 与 tan143
。 。

13 17 (2) tan ( ? ?)与 tan ( ? ?) 4 5
答: (1) tan138 ? tan143
。 。

(2) tan (?

13 17 ?) ? tan ( ? ?) 4 5

(1). y ? tan x的作图是平移在( ? , )上的图象得到的。 2 2

? ?

(2).y ? tan x的性质

定义域
? x x ? ? ? k? , k ? Z ?
2

值域 周期 奇偶性 单调增区间

对称中心
(kπ ,0) k∈z

R

?

? ? ( ? ? k ? , ,k ?Z 奇函数 2 2 ? k?)

(3)我们要掌握正切函数的 图象及性质并应用它解 决一些简单问题

教材73页

习题4.10

第 1 ,3 ,4 题


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