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高中课程


匀变速直线运动的特征及公式的推导
物理教研组 庄新恭 整理

_

从而可得

v ?

v0 ? vt 2

???????②

v0
0

vt
2

vt
t

一、匀变速直线运动的特点:
1、速度均匀变化,即相等时间Δ t 内速度的变化Δ v 相等; 2、加速度 a 不变,即速度变化率Δ v/Δ t 相等; 3、v—t 图象是一条不与坐标轴平行的直线,直线的斜率(k)表示加速度 a;直线与纵轴交点的 纵坐标表示初速度 v0;直线与横轴所围的面积表示位移; 3、a、v 同向(符号相同),物体匀加速;a、v 反向(符号相反),物体匀减速;

【推导 3】如右图所示,在 0-t/2 时间内,由速度公
式可得
v t ? v0 ? a
2

t v0 2

t 2

0 匀加速直线运动
vt
2

在 t/2-t 时间内,由速度公式可得

v0
vt ? v t ? a
2

vt
t

t 2

0

v0
2

t

由以上两式消掉 at/2,就可得

匀减速直线运动 0
v0 ? vt 2

二、速度公式: v t ? v 0 ? at 【推导】由加速度的定义式 a ?
vt ? v0 t

vt ?
2

???????????③

经过变形就可得 v t ? v 0 ? at

【推导 4】综合以上推导所得①②③三个结果,可知
_

vt ? v ?
2
_

s t

?

v0 ? vt 2

_

三、平均速度 v 与中间时刻速度 v t 公式 v t ? v ?
2

s t

?

v0 ? vt 2

用文字表述此公式:做匀变速直线运动的物体在一段时间中间时刻的瞬时速度,等于

2

这段时间内的平均速度,等于这段时间内物体的位移 s 与所用时间 t 的比值,等于 初速度与末速度之和的一半。

【推导 1】由平均速度的定义就可知平均速度的公式为
_

v ?

s t

?????????????①
1 2
_

此式不仅适用于匀变速直线运动的情况,也适用于其它非匀变速直线运动的情况。

【推导 2】根据 v-t 图中,图象与横轴(时间轴,或 t 轴)所围面积表示位移,下图中梯形的面
积(阴影部分的面积)等于物体在 0-t 时间内发生的位 移,即
s ? ( v 0 ? v t )t 2
_

三、位移公式 s ? v 0 t ?

at

2

v vt v0 0 t t

【推导】由平均速度公式 v ?

s t

?

v0 ? vt 2

可知

s ?

v0 ? vt 2

t



s ? vt

由速度公式

v t ? v 0 ? at

--第1页--

联立以上两式,消掉 vt 可得
s ? v0t ? 1 2 at
2

0-3T 时间内(前三个 T 时间内)的位移 s 3 ? v 0 3T ?

1 2

a ( 3T )

2

0-(N-2)T 时间内(前 N-2 个 T 时间内)的位移 s n ? 2 ? v 0 ( n ? 2 )T ?

1

a [( n ? 2 )T ]

2

四、位移速度公式 v t ? v 0 ? 2 as
2 2

【推导】根据位移公式
s ? v0t ?
vt ? v0 t vt ? v0 a

2 1 2 0-(N-1)T 时间内(前 N-1 个 T 时间内)的位移 s n ?1 ? v 0 ( n ? 1)T ? a [( n ? 1)T ] 2 1 2 0-NT 时间内(前 N 个 T 时间内)的位移 s n ? v 0 nT ? a ( nT )] 2 at
2

1 2

所以 s Ⅰ= s 1
? v 0T ? 1 2 1 2 1 2 a ( 2T ) ] ? [ v 0 T ?
2 2

aT

2

由加速度定义式 a ?



s Ⅱ= s 2
t ?

? s1 ? [ v 0 2T ? ? s 2 ? [ v 0 3T ?

1 2

aT 1 2

2

] ? v 0T ?
2

3 2

aT

2

s Ⅲ= s 3
???

a ( 3T ) ] ? [ v 0 2 T ?

a ( 2T ) ] ? v 0 T ?

5 2

aT

2

将第二式代入第一式,消掉时间 t,整理后可得
vt ? v0
2 2

? 2 as

s N ? 1 ? s n ? 1 ? s n ? 2 ? { v 0 ( n ? 1) T ? ? v 0T ? 2n ? 3 2 1 2 aT
2

1 2

a [( n ? 1)T ] } ? { v 0 ( n ? 2 )T ?
2

1 2

a [( n ? 2 )T ] }
2

五、做匀变速直线运动的物体,相邻(连续)相等时间的位移之差相等,即
?s ?

sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=???=sN-sN-1 ,且 ? s sⅠ v0 0

? aT

2

,sm-sn=(m-n)aT sⅡ

2

s N ? s n ? s n ?1 ? [ v 0 nT ? ? v 0T ? 2n ? 1 2 aT
2

a ( nT ) ] ? { v 0 ( n ? 1)T ?
2

1 2

a [( n ? 1)T ] }
2

【推导】
设相邻(连续)相等时间为 T。如图所 示,0 时刻的速度(初速度)为 v0,第 一个 T(0-T)时间内的位移为sⅠ,

sⅢ 2T 3T

T

所以
?s ?

sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=???=sN-sN-1,且 ? s

? aT

2

第二个 T(T-2T)时间内的位移为sⅡ,第三个 T(2T-3T)时间内的位移为sⅢ,??,第 N-1 个 T[(N-2)T----(N-1)T]时间内的位移为sN-1,第 N 个 T[(N-1)T----NT]时间内的位移为sN 0-T 时间内(前一个 T 时间内)的位移 s 1 ? v 0 T ?
1 2 1 2 a ( 2T )
2

请自己证明“sm-sn=(m-n)aT2”一式

aT

2

0-2T 时间内(前二个 T 时间内)的位移 s 2 ? v 0 2 T ?

--第2页--

六、初速度为零(v0=0)的匀变速直线运动的物体,在前一个 T 时间内(0-T)的位移 为 s1, 在前 2T 时间内(0-2T)的位移为 s2,,在前 3T 时间内(0-3T)的位移为 s3, 在 前 nT 时间内(0-nT)的位移为 sn,;在第一个 T 时间内(0-T)的位移为 sⅠ, 在第二个 T 时间内(T-2T)的位移为 sⅡ,在第三个 T 时间内(2T-3T)的位移为 sⅢ,在第 N 个 T 时间内[(N-1)T-------NT]的位移为 sN;在 T 时刻的速度为 v1,在 2T 时刻的速度 为 v2,在 3T 时刻的速度为 v3,在 nT 时刻的速度为 vn,则有以下各关系式: 1、 v 1 : v 2 : v 3 : ? ? ? : v n ? 1 : 2 : 3 : ? ? ? : n 2、 s 1 : s 2 : s 3 : ? ? ? : s n ? 1 : 2 2 : 3 3 : ? ? ? : n n 3、sⅠ:sⅡ:sⅢ:?:sN=1:3:5:?:(2N-1) 【推导 1、 由公式 v t ? v 0 ? at ,以及 v0=0,可得 】 v1=aT,v2=a? 2T,v3=a? 3T,?,vn=a? nT,
从而有 v 1 : v 2 : v 3 : ? ? ? : v n ? 1 : 2 : 3 : ? ? ? : n

sN= s n

? s n ?1 ?

1 2

a ( NT ) ?
2

1 2

a [( N ? 1) T ] ?
2

2N ?1 2

aT

2

从而有 sⅠ:sⅡ:sⅢ:?:sN=1:3:5:?:(2N-1)

七、初速度为零(v0=0)的匀变速直线运动的物体,在前 1 个 s 位移内所用的时间为 t1, 在前 2 个 s 位移内所用的时间为 t2, 在前 3 个 s 位移内所用的时间为 t3, ???, 在前 n 个 s 位移内所用的时间为 tn;在第 1 个 s 位移内所用的时间为 tⅠ,在第 2 个 s 位移内所用的时间为 tⅡ,在第 3 个 s 位移内所用的时间为 tⅢ,???,在 第 N 个 s 位移内所用的时间为 tN,则有 (1) t 1 : t 2 : t 3 : ? ? ? : t n ? 1 : 2 : 3 : ? ? ? : n (2)tⅠ:tⅡ:tⅢ: … :tN= 1 : ( 2 ? 1) : ( 3 ? 2 ) : ? ? ? : ( n ? n ? 1 ) 【推导 1、 】 由公式 s ? 或得 t 1 ?
1 2 at 1
2

,2s ?

1 2

at 2

2

, 3s ?

1 2

at 3

2

,????, ns ? ,??, t n ?

1 2

at n

2

2s a

,t2 ?

2 ? 2s a

,t3 ?

2 ? 3s a

2 ? ns a

从而可得 t 1 : t 2 : t 3 : ? ? ? : t n ? 1 : 2 : 3 : ? ? ? : n 【推导 2、 】
aT
2

【推导 2、 由公式 s ? v 0 t ? 】
s1 ? sn ? 1 2 1 2 aT
2

1 2

at ,以及 v0=0,可得
2

2

, s2 ?
2

1 2
2

a ( 2T ) 1 2 aT

2

? 2 ?

1 2

aT

2

, s3 ?

1 2

a ( 3T )

2

? 3 ?
2

1 2

tⅠ=t1=
2s a 2 ? 2s a

2s a

,??, tⅡ=t2-t1=
2 ? 2s a 2 ? 3s a

a ( nT )

? n ?

2

-

从而有 s 1 : s 2 : s 3 : ? ? ? : s n ? 1 : 2 : 3 : ? ? ? : n
2 3

n

【推导 3、 】

tⅢ=t3-t2=
2

-

??????

sⅠ= s 1 sⅡ= s 2 sⅢ= s 3

?

1 2

aT

? s1 ? ? s2 ?

1 2 1 2

a ( 2T ) ?
2

1 2 1 2

aT

2

?
2

3 2

tN=tn-t(n-1)=
aT 5 2
2

2 ? ns a

-

2 ? ( n ? 1) s a

从而可得
aT
2

a ( 3T ) ?
2

a ( 2T )

?

??????

tⅠ:tⅡ:tⅢ: … :tN= 1 : ( 2 ? 1) : ( 3 ? 2 ) : ? ? ? : ( n ? n ? 1 ) --第3页--


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