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线面垂直的判定与性质


线面垂直的判定与性质
课程内容
?直线与平面垂直的定义

?线面垂直的判定
?线面垂直的性质 ?两种距离的概念

?归纳小结 ?课内练习
例题

湖州二中 林霄 2002/12

线面垂直的判定与性质
?直线与平面垂直的定义
如果一条直线

l 和一个平面 ? 内的任 意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 ? 互相垂直。记作 l ? ? 相关

l
?
P

l 叫做 ? 的垂线 ? 叫做 l 的垂面 l 与 ? 的交点P 叫做的垂足

线面垂直的判定与性质
?直线与平面垂直的定义
相关知识: 垂线与垂面的唯一性

l
?
P

l
?

P P

l
?

线面垂直的判定与性质
?线面垂直的判定
1.定理 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面,那么另一条也垂直于这个平 面。 a?? b , a ? ? ? b ? ? 证明 2.判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直,那么这条直线垂 直于这个平面。 证明

线面垂直的判定与性质
?线面垂直的判定

a?? b

,a

??

?

b ??

a m

证明: 设m是 ?内的任意一条直线。

b

a ?? ? ??a ?m m ??? a?? b

?

? b?m?

?? b ?? m ???

线面垂直的判定与性质
?线面垂直的性质
直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 平行。

a ??
证明

,b ??

?

a ?? b

线面垂直的判定与性质
直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 平行。 a ?? b a ?? ,b ??

?

证明: 假定 b不平行于 a 。 a 设 b’ 是经过点O与直线 a平行的直线 ? a ?? ?a //b’ , ,

b ?? ? O

b

b’

o 矛盾!

b 都垂直于? 即经过同一点O的两条直线 b’ ,

? b’ ? ?

线面垂直的判定与性质
例1 已知M是菱形ABCD所在平面外一点,且 MA=MC, 求证:AC⊥平面BDM。

分析

线面垂直的判定与性质
例2 已知AB、CD是两条不在同一个平面内 的线段,且AC=AD,BC=BD,
求证:AB⊥CD。 分析

线面垂直的判定与性质
例3 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O 为底面ABCD 的中心,B'H⊥D'O, H是垂足, 求证:B'H⊥平面AD'C;
分析

线面垂直的判定与性质
例4 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,G为CC'的 中点,AC交BD于O,
求证:A'O⊥面GBD

分析

线面垂直的判定与性质
例5 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,已知 AA'=9,BC=6 3,N为BC的中点,M为 A'B'上任一点,求直线D'C'到过M,N,B' 的截面的距离。 分析

线面垂直的判定与性质
例6 已知E、F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点, EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面。
(1)求证:EF⊥平面GMC;

(2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离。

分析

两种距离的概念
点到平面的距离
从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足 间的距离叫做这个点到这个平面的距离。 P

?

Q

两种距离的概念

线面距离

引理:平行于一个平面的一条直线上的各 点到这个平面的距离都相等。 已知:
求证: l 上任意两点A、B到平面 ? 的距离相等。
?

l

??

?

A

B

A

B B1

?

证明

?

A1

两种距离的概念
线面距离 一条直线和一个平面平行时,这条直线上 任意一点到这个平面的距离,叫做这条直 线和这个平面的距离。
P Q

l

?

两种距离的概念
引理:平行于一个平面的一条直线上的各 点到这个平面的距离都相等。 已知:
求证: l 上任意两点A、B到平面 ? 的距离相等。 证: ? AA1 ? ? , BB1? ? ?

l

??

?

? AA1 // BB1 ? l ?? ? 易知 l ?? A1B1 ? ? AA1=BB1

A A1

l

B B1

归纳小结
线面垂直的定义 l 垂直于 ? 内的任意一条直线 ? l ? ? 线面垂直的判定 (1) a?? b , a ? ? ? b ? ?
(2) 判定定理

线面垂直的性质

a ??

,b ??

两种距离

?a ??

b

线面垂直的判定与性质
练习题
1.判断题: (1) l ? ? ? l 与 ? 相交 n ? ? ,l ? m, l ? n (2) m ? ? ,

? l ?? (3) l ?? m , m?? n , l ?? ? n ?? (4) l ?? m ,m ? ? , n ? ? ? l ??

n

线面垂直的判定与性质
练习题
2.求证:平面外一点与这个平面内各点连结而成 的线段中,垂直于平面的线段最短。 P Q R

?

线面垂直的判定与性质
3.已知A、B两点在平面 ?的同侧,且它们与 ? 的 距离相等,求证直线AB?? ? ,并由此说明安装 日光灯时,怎样才能使灯管与天花板、地板平行。 A B D

练习题

?

C

线面垂直的判定与性质
(3) l ?? 证明:

m

, m??

n ,l ? ? ? n ? ?

? l ??

l?? m

? m ??

? ?? m n

? n ??

线面垂直的判定与性质
(4)

l ?? m ,m ? ? ,n ? ? ? l
m ?? ? m?? n ?? n ? n ?? l l ?? m

??

n

证明:

?

?


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