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高考数学综合模拟试卷(3)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共分 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题: 题目要求的。 题目要求的。 1、 (理科做)定义运算 A. 1

+ 2

a c z i = ad ? bc ,复数 z 满足 = 1 + i ,则复数在的模为 b d 1 i
B. 3 C. 5 D. ?1 + 2

(文科做)已知 U 是全集,M、N 是 U 的两个子集,若 M ∪ N ≠ U , M ∩ N ≠ φ ,则下列选项中正确的 是 A. CU M = N B. CU N = M C. ( CU M ) ∩ ( CU N ) = φ D.

( CU M ) ∪ ( CU N ) = U

2、若条件 p: x + 1 ≤ 4 ,条件 q: 2 < x < 3 ,则 ? q 是 ? p 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

? x ? y + 5 ≥ 0, ? 3、已知 x, y 满足约束条件 ? x + y ≥ 0, 则 z = x + 2 y 的最小值为 ? x ≤ 3, ?
A.-3 B.3 C.-5 D. 5

4 、 理科 做 ) 已 知在 函数 f ( x ) = (

3 sin

πx
R

图 像 上 , 相 邻的 一 个最 大 值 点 与 一 个最 小 值点 恰 好 在

x 2 + y 2 = R 2 上,则 f ( x) 的最小正周期为
A.1 B.2 C.3 D. 4

(文科做)若函数 f ( x ) = 3sin(ω x + ? ) 对任意实数 x 都有 f ( A.0 B.3 C.-3

π

+ x) = f ( ? x) ,则 f ( ) = 6 6 6
D. 3 或-3

π

π

5、在 ?OAB 中, OA = a , OB = b , OD 是 AB 边上的高,若 AD = λ AB ,则实数 λ 等于 A.

a ? (b ? a ) a ?b
2

B.

a ? ( a ? b) a ?b
2

C.

a ? (b ? a) a ?b

D.

a ? ( a ? b) a ?b

a? ? 6、 (理科做)已知 ? x ? ? 展开式中的常数项为 1 120,其中实数 a 式常数,则展开式中各项系数的和为 x? ?
A. 2
8
5

8

B. 3
4

8

C.1 或 3
3 2

8

D.1 或 28

(文科做) ( x ? 1) + 5 ( x ? 4 ) + 10 ( x ? 1) + 10 ( x ? 1) + 5 ( x ? 1) 等于
1

A. x

5

B. x ? 1
5

C. x + 1
5

D. ( x ? 1)5 ? 1

7、设双曲线 16 x 2 ? 9 y 2 = 144 的右焦点为 F2 , M 是双曲线上任意一点,点 A 的坐标为 ( 9,2 ) ,则

MA +
A.9

3 MF2 的最小值为 5
B.

36 5

C.

42 5

D.

54 5

8、已知方程 x 2 ? mx + 2 A.1

(

)( x

2

1 ? nx + 2 ) = 0 的四个根组成一个首项为 的等比数列,则 m ? n = 2 3 2
C.

B.

5 2

D.

9 2

9、 (理科做)在正三棱锥 S ? ABC 中, M , N 分别是棱 SC 、 BC 的中点,且 MN ⊥ AM ,若侧棱

SA = 2 3 ,则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是
A. 12π B. 32π C. 36π D. 48π (文科做)已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 右内切球 O ,经过该棱锥 A ? BCD 的中截面为 M ,则 O 到 平面 M 的距离为 A.

a 4

B.

6 a 6
x →0

C.

6 a 12

D.

2 a 8

10、 (理科做) f ( x ) 为可导函数, 设 且满足 lim 处的切线率为 A.2 B.-1

f ( x ) ? f (1 ? 2 x ) 2x
C.1

= ?1 , 则过曲线 y = f ( x ) 上点 (1, f (1) )

D.-2

(文科做)垂直于直线 2 x ? 6 y + 1 = 0 ,且与曲线 y = x 3 + 3 x 2 ? 1 相切的直线方程是 A. 3 x + y + 2 = 0 B. 3 x ? y + 2 = 0 C. 3 x + y ? 2 = 0 D. 3 x ? y ? 2 = 0

11、 (理科做)设随机变量的分布列为下表所示且 Eξ = 1.6 ,则 a ? b =

ξ
p

0 0.1

1

2

3 0.1

a

b

A.0.2

B.0.1

C.-0.2

D.-0.4

(文科做)老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个样本容量为 10 的样本进行研究,某女同学甲被抽到的概率为 A.

1 50

B.

1 10

C.

1 5

D.

1 4
2

12、如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋 转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d = f (l ) 的图像 大致是

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 小题, 把答案填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 填空题: 13、不等式

x?2 < 0 的解集是 x + 4x + 3
2



14 、 已 知 A ( 2, ?1) , B ( ?1,1) , O 为 坐 标 原 点 , 动 点 M 满 足 OM = mOA + nOB , 其 中 m, n ∈ R 且

2m2 ? n 2 = 2 ,则 M 的轨迹方程为



15、 (理科做)等比数列 {an } 中,已知 a1 + a2 + a3 = 8, a1 + a2 + ? + a6 = 7 ,记 S n = a1 + a2 + ? + an ,则

lim S n =
n →∞

。 。

(文科做)等比数列 {an } 中,已知 a1 + a2 + a3 = 8, a1 + a2 + ? + a6 = 7 ,则公比 q =

16、 (理科做)从装有 n + 1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球 ( 0 < m ≤ n, m, n ∈ N ) , 共 有 Cn +1 种 取 法 。 在 这 Cn +1 种 取 法 中 , 可 以 分 成 两 类 : 一 类 是 取 出 的 m 个 球 全 部 为 白 球 , 共 有
m 1 m C10 ? Cn + C1 ? Cnm ?1 = C10 ? Cnm+1 ,即有等式: Cnm + Cnm ?1 = Cn +1 成立。试根据上述思想化简下列式子: 1 m Cnm + Ck ? Cnm ?1 + Ck2 ? Cn ? 2 + ? + Ckk ? Cnm ? k = m m

。 (1 ≤ k < m ≤ n, k , m, n ∈ N ) 。

(文科做)对于函数的这个性质:○奇函数;○偶函数;○增函数;○减函数,函数 1 2 3 4

?π ? f ( x ) = x3 ? cos ? + x ? , x ∈ R 具有的性质的序号是 ?2 ?

。 (把具有的性质的序号都填上)

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 17、 (本小题满分 12 分)

f ( x ) 是定义在 [ ?2π , 2π ] 上的偶函数,当 x ∈ [ 0, π ] 时, f ( x ) = cos x ,当 x ∈ (π , 2π ] 时, y = f ( x ) 的
图像时斜率为

2

π

且在 y 轴上的截距为 ?2 的直线在相应区间上的部分。

3

(1) 求 f ( ?2π ) 、 f ? ?

? π? ? 的值; ? 3?

(2) 写出函数 y = f ( x ) 的表达式,作出其图像,并根据图像写出函数的单调区间。

18、 (本小题满分 12 分) (理科做)一个口袋里有 5 个白球和 3 个黑球,任意取出一个,如果时黑球,则这个黑球不放回而另外放 入一个白球,这样继续下去,直到取出的求时白球为止。求直到取到白球所需的抽取次数 ξ 的概率分布列 及 Eξ 。 (文科做)在某次空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率时 0.2;若乙机未被击落,就进行还击, 击落甲机的概率时 0.3;若甲机未被击落,则再进攻乙机,击落乙机的概率时 0.4,求在这个三个回合中: (1)甲机被击落的概率; (2)乙机被击落的概率。

19、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, a1 = 1 ,前 10 项和 S10 = 100 。 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 log 2 bn = an ,问 {bn } 是否未等比数列;并说明理由。

4

20、 (本小题满分 12 分) 在 三 棱 柱 ABC ? A B C 中 , 侧 面 CBB C ⊥ 底 面
' ' ' ' '

ABC , ∠B ' BC = 60°, ∠ACB = 90° ,且 CB = CC ' = CA 。
(1) 求证:平面 AB C ⊥ 平面 A C B ;
' ' '

(2) 求异面直线 A' B 与 AC 所成的角。

'

21、 (本小题满分 12 分) 如图, A1 、 A2 为圆 x 2 + y 2 = 1 与 x 轴的两个交点, P P2 为垂直于 x 轴从弦,且 A1 P 与 A2 P2 的交点为 M 。 1 1 (1) 求动点 M 的轨迹方程; (2) 记动点 M 的轨迹为曲线 E ,若过点 A ( 0,1) 的直线 l 与曲线 E 交于 y 轴右边不同两点 C 、 B ,且

AC = 2 AB ,求直线 l 的方程。

22、 (本小题满分 14 分) (理科做) 已知函数 f ( x ) = x + ax + b 定义在区间 [ ?1,1] 上, f ( 0 ) = f (1) 。 P ( x1 ? y1 ) 、Q ( x2 ? y2 ) 且 又
3

是其图像上任意两点 ( x1 ≠ x2 ) 。 (1) 求证: f ( x ) 的图像关于点 ( 0,b ) 成中心对称图形; (2) 设直线 PQ 的斜率为 k ,求证: k < 2 ; (3) 若 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 ,求证: y1 ? y2 < 1 。

5

(文科做)已知函数 f ( x ) = ? x + ax + bx + c 图像上的点 P 1, f ( x ) 处的切线方程为 y = ?3 x + 1 。
2 2

(

)

(1) 若函数 f ( x ) 在 x = ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2) 函数 f ( x ) 在区间 [ ?2, 0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围。

6

参考答案与解析 1、 (理)C 由

z i 1 i

= 1 + i 得 zi ? i = 1 + i ? z =

1 + 2i = 2 ? i ,∴ z = 22 + (?1) 2 = 5 ,故选 C。 i

评析 正确理解函数的概念,集合的表示方法试本题获解的关键;另外,还要注意定义域对结果的影响 (文)D 由韦恩图知 A、B 一定不成立,由集合运算率 ( CU M ) ∩ ( CU N ) = CU ( M ∪ N ) ≠ CU U = φ ,所以 选项 C 错,对于 D 选项, ( CU M ) ∩ ( CU N ) = CU ( M ∩ N ) ≠ CU φ = U ,故选 D。 评析 本题主要考查集合的基础只是,展示集合语言的工具作用 2、B 3、A
?

p : x + 1 > 4 ? x > 3 或 x < ?5, ? q : x ≤ 2 或 x ≥ 3 ,∴ ? p ? ? q ,但 ? q 推不出 ? p

l0 : x + 2 y = 0, l : z = x + 2 y 。由图可知,当 l 过点(3,-3)时,

zmin = ?3 。
4、 (理)D ∵ x + y = R ,∴ x ∈ [ ? R, R ] 。
2 2 2

∵ 函数 f ( x) 的最小正周期为 2R,

?R ? ? R ? ∴ 最大值点为 ? , 3 ? , 相邻的最小值点为 ? ? , ? 3 ? , 代入圆方 ?2 ? ? 2 ?
程,得 R=2,∴ T=4 (文)D ∵ f ? 5、B

π ?π ? ?π ? + x ? = f ? ? x ? ,∴对称轴 x = 。∴ f 6 ?6 ? ?6 ?

?π ? ? ? = ±3 。 ?6?

∵ AD = λ AB,∴ OD ? OA = λ OB ? OA , 即 得 OD = (1 ? λ ) OA + λ OB = (1 ? λ ) a + λb, 又 ∵ OD 是
AB 边 上 的 高 , ∴ OD ? AB = 0 即 OD ? OB ? OA = 0,∴ ?(1 ? λ ) a + λ b ? ? ( b ? a ) = 0 , 整 理 可 得 ? ?

(

)

(

)

λ ( b ? a ) = a ? (a ? b), 即得 λ =
2

a ?(a ? b) a ?b
4
2

,故选 B。

6、 (理)C
8

因为 T5 = C8 x ( ? ) = 70a = 1120 ,所以 a = ±2 ,求展开式各项系数和,只需令 x = 1 ,
4 4 4

a x

可得 1 或 3 ,故选 C。 (文)B 由二项式定理知原式 = ?( x ? 1) + 1? ? 1 = x 5 ? 1 ,故选 B。 ? ?
5

7、B

双曲线标准方程为

x2 y 2 3 3 ? = 1 ,离心率为 ,运用第二定义,将 MF2 转化为 M 到右准线的距 9 16 5 5

离。 选 B。

7

8、B

不妨设这四个根为 x1 , x2 , x3 , x4 ,其所有可能的值为

? x1 x2 = 2, 1 1 1 2 1 3 , p , p , p ,由 ? 得 2 2 2 2 ? x3 x4 = 2,

1 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 = 4 ,即 ? p ? p 2 ? p 3 = 4, 则 p 6 = 64 ? p = ±2 。当 p = 2 时,四个根为 ,1,2,4,且 2 2 2 2 2
1 1 3 ,4 为一组,1,2 为一组,则 +4= m , 1 + 2 = n ,则 m ? n = ;当 p = ?2 时,不存在任两根使 2 2 2
得 x1 x2 = 2 ,或 x3 x4 = 2 ,∴ p = ?2 舍去。故选 B。 9、 (理)C

∵ MN ⊥ AM ,∴ SB ⊥ AM 。又∵ SB ⊥ AC ,∴ SB ⊥ 平面 SAC 。∴ SA 、 SB 、 SC 两两垂

直。将 S ? ABC 补成正方体,则 S ? ABC 的外接球与正方体的外接球相同,则球的直径等于正方体的对 角线长,∴ 2 R =

3 × 2 3,∴ R = 3, S = 36π 。

(文)C 运用等体积法,设内切圆半径为 r , 4 ? ?

1 3 2 6 3 6 a ? r = VA? BCD = a ,∴ r = a, 中截面 M 到 3 4 12 12

底面的距离为

6 6 6 6 a ,则 O 到平面 M 的距离为 a? a= a。 6 6 12 12 lim
x →0

10、 (理)B

f (1) ? f (1 ? 2 x )

2x

= lim
x →0

f (1 ? 2 x ) ? f (1)

2x

= ?1 ,即 y '

x =1

= ?1 ,则 y == f ( x ) 在点

(1, f (1) ) 处的切线斜率为-1,故选 B。
(文)A 因为所求直线垂直于直线 2 x ? 6 y + 1 = 0 ,所以其斜率为 k = ?3 ,又由曲线 y = x 3 + 3 x 2 ? 1 求
2

导数得 y ' = 3 x 2 + 6 x , 3 x + 6 x = ?3 求得 x = ?1 , 由 则切点为 ( ?1,1) , 所以切线方程为 y ? 1 = ?3( x + 1) , 即 3 x + y + 2 = 0 ,故选 A。 11、 (理)C 由 0.1 + a + b + 0.1 = 1 ,得 a + b = 0.8 1 ○, 2 ○,

又由 Eξ = 0 × 0.1 + 1× a + 2 × b + 3 × 0.1 = 1.6 ,得 a + 2b = 1.3 由○○解得 a = 0.3, b = 0.5,∴ a ? b = ?0.2 ,故应选 C。 1 2

(文)C 因为在分层抽样中,任何个体被抽取的概率均相等,所以某女同学甲被抽到的概率 P = 故应选 C。 12 、 C

10 1 = , 50 5

设 P 运动线速度为 a ,利用圆周角、圆心角、弧度数之间的关系,求得函数关系式

d = 2r sin

at l , l = at , 即 d = 2r sin , 故选 D。 2r 2r

13、 x x < ?3 或 ?1 < x < 2}

{



x?2 < 0 得 ( x ? 2 )( x + 3)( x + 1) < 0 。 x + 4x + 3
2

8

由根轴法得不等式的解集为 x x < ?3 或 ?1 < x < 2} 14 、 x ? 2 y = 2
2 2

{

设 点 M 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 由 OM = mOA + nOB 得 ?

? x = 2 m ? n, 解之得 ? y = ? m + n,

? m = x + y, 2 2 2 2 2 2 又由 2m ? n = 2, 代入消元得 x ? 2 y = 2 。故点 M 的轨迹方程为 x ? 2 y = 2 。 ? n = x + 2 y, ?
15 、 ( 理 )

64 9











{an }









q





a1 + a2 + a3 + ?? + a6 = a1 + a2 + a3 + q 3 ( a1 + a2 + a3 ) = (1 + q 3 ) ( a1 + a2 + a3 ) = 8 ? (1 + q 3 ) = 7, 解 得

32 1 1 1 32 a1 64 q = ? ,∴ a1 + a2 + a3 = a1 ? a1 + a1 = 8, 解得 a1 = 。∴ lim S n = = 3 = 。 n →∞ 2 2 4 3 1? q 1+ 1 9 2
(文) ?

1 2

同(理)中的解析。
m

16、 (理) Cn + k

根据题中的信息,可以把左边的式子归纳为从 n + k 个球(n 个白球,k 个黑球)中取出
m

m 个球,可分为:没有黑球,一个黑球,……,k 个黑球等 ( k + 1) 类,故有 Cn + k 种取法。 (文)○○ 1 3

f ( x ) = x3 + sin x, 显然 f ( ? x ) = ? f ( x ) , 所以 f ( x ) 是奇函数; f ' ( x ) = 3x 2 + cos x > 0 在

R 上恒成立,所以 f ( x ) 是增函数。故答○○。 1 3
17、 (1)当 x ∈ (π , 2π ] 时, y = f ( x ) =

2

π

x ? 2, 又 f ( x ) 是偶函数,
(2 分)

∴ f ( ?2π ) = f ( 2π ) = 2 。
当 x ∈ [ 0, π ] 时, f ( x ) = cos x, ∴ f ? ?

π 1 ? π? ?π ? ? = f ? ? = cos = 。 3 2 ? 3? ?3?
2

(4 分)

(2)当 x ∈ [ ?2π , ?π ) 时, ? x ∈ (π , 2π ] ,∴ f ( x ) = f ( ? x ) = ?

π

x?2

(6 分)

? 2 ?? π x ? 2, x ∈ [ ?2π , ?π ) , ? ∴ f ( x ) = ? cos x, x ∈ [ ?π , π ] , ? 2 ? x ? 2, x ∈ (π , 2π ] . ? π
画出 f ( x ) 在 [ ?2π , 2π ] 上的图像如图所示。

(8 分)

(10 分)

9

18、 (理)由题意知 ξ 所有可能的取值为 1, 2,3, 4 。 则 P (ξ = 1) =

(2 分) (4 分)

5 3 6 9 , P (ξ = 2 ) = ? = , 8 8 8 32

3 2 7 21 P (ξ = 3) = ? ? = , 8 8 8 256 3 2 1 8 3 P (ξ = 4 ) = ? ? ? = . 8 8 8 8 256
∴ξ 的概率分布为

(6 分)

(8 分) (10 分)

ξ

1

2

3

4

P

5 8

9 32

21 256

3 256
(12 分)

5 9 21 3 379 ∴ Eξ = 1× + 2 × + 3 × + 4× = . 8 32 256 256 256

(文)设 A 表示“甲机被击落”这一事件,则 A 发生只可能在第 2 回合中发生,而第 2 回合又只能在第 1 回合甲失败了才可能进行,用 Ai 表示第 i 回合射击成功 (i = 1, 2, 3) 。B 表示“乙机被击落”的事件,则 (4 分)

A = A1 A2 , B = A1 + A1 A2 A3 ∴ (1) P ( A ) = 0.8 × 0.3 = 0.24 (2) P ( B ) = 0.2 + 0.8 × 0.7 × 0.4 = 0.424 。
19、 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由 S10 = 100 ,得 10 ×1 + 解得 d = 2

(6 分) (8 分) (12 分)

10 × 9 d = 100. 2
(4 分) (6 分) (9 分)
10

∴ an = 1 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 1( n ∈ N * ) 。
(2)由 log 2 bn = an ,得 bn = 2
an

= 22 n ?1 。



bn +1 2 2( n +1) ?1 = 2 n ?1 = 4,∴{bn } 是首项为 2,公比为 4 的等比数列。 bn 2
(1)∵ 平面 CBB ' C ' ⊥ 平面 ABC ,

(12 分)

20、解法一

AC ⊥ BC , ∴ AC ⊥ 平 面 CBB ' C ',∴ AC ⊥ BC '.

(2 分)

∵ 在 ? BCC ' B ' 中, CB = CC ',∴? BCC ' B ' 为菱形。

∴ BC ' ⊥ B ' C.∴ BC ' ⊥





AB ' C



(4 分) (6 分)

又 BC ' ? 平面 A ' C ' B,∴ 平面 AB ' C ⊥ 平面 A ' C ' B . (2)延长 CA 到 D ,使 CA = AD ,连 A ' D, BD.

∵ AC // A ' C ', AC = A ' C ',∴ AD // A ' C ', AD = A ' C '. ∴ ADA ' C ' 为平行四边形。 ∴ A ' D // AC ', A ' D = AC '.
∴∠DA ' B 为异面直线 A ' B 与 AC ' 所成的角。
设 (9 分) 平 面

BC = a,∵ ∠BCD = 90 , BC = a, CD = 2a,∴ BD = BC 2 + CD 2 = 5a. AC ⊥

BCC ' B '.∴ A ' C ' ⊥ BC '.∵ 在菱形 BCC ' B ', ∠CBB ' = 60 , BC = a , ∴ BC ' = 3a.∵ A ' C ' = a,∴ A ' B = A ' C ' + C ' B 2 = 2a.
又∵ A ' D = AC ' =

2a. 从而在 △ A ' BD 中, cos DA ' B =
2 . 8 2 。 8

A ' D 2 + A ' B 2 ? BD 2 2 . = 2A' D × A' B 8
(11 分)

∴∠DA ' B = arccos

∴ 异面直线 A ' B 与 AC ' 所成的角的大小为 arccos

(12 分)

解法二 建立如图所示的空间直角坐标系。设 BC = 2a, 则

A ( 0, 2a, 0 ) , B ( ?2a, 0, 0 ) , B ' ? a, 0, 3a , C ' a, 0, 3a , A ' a, 2a, 3a
, (2 分) 则

(

) (

) (

)

AC ' = a, ?2a, 3a , A ' B = ?3a, ?2a, ? 3a , AB ' = ? a, ?2a, 3a , BC ' = 3a, 0, 3a .CB ' = ? a, 0, 3a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



11

(4 分) (1)∵ BC ' ? CB ' = 0, BC ' ? AB ' = 0 ,∴ BC ' ⊥ CB ', BC ' ⊥ AB ',∴ BC ' ⊥ 平面 AB ' C 。 又 BC ' ? 平面 A ' C ' B ,∴ 平面 AB ' C ⊥ 平面 A ' C ' B 。 分) (6 (8 (2)∵ A ' B ? AC ' = ?2a , A ' B = 4a, AC ' = 2 2a 。 分)
2

∴ cos θ =

A ' B ? AC ' A ' B ? AC '

=?

2 。 (11 分) 8
2 。 (12 分) 8

∴ 异面直线 A ' B 与 AC ' 所成的角为 arccos

21 、( 1 ) 由 图 可 知 A1 ( ?1, 0 ) , A2 (1, 0 ) 。 设

P ( x1 , y1 ) , P2 ( x1 , ? y1 ) , M ( x, y ) ,则 1
? ? 2 2 ? x1 + y1 = 1 ? y y = 1 ? ? x + 1 x1 + 1 ? y ? y1 = ? ? x ? 1 x1 ? 1
1 ○ 2 ○ 3 ○ (4 分)

2 3 ○×○可得

y2 y2 y2 = ? 2 1 ,由○可得 y12 = 1 ? x12 ,∴ 2 1 = 1, x2 ?1 x1 ? 1 x ?1
(6 分)

∴ x 2 ? y 2 = 1( x ≠ ±1) 。
(2)设直线 l 的方程为 y = kx + 1, B ( x1 , y ) , C ( x2 , y2 ) , 则

? y = kx + 1, 消去 y 可得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 = 0 。 ? 2 2 ? x ? y = 1.
∵ 直 线 l 交 双 曲 线 的 右 支 于 不 同 两 点 , 1? k 2 ≠ 0 ,

(8 分)

12

? 2 2 ?? = ( ?2k ) + 8 (1 ? k ) > 0, ? 2k ? ∴? x1 + x2 = > 0, 1? k 2 ? 2 ? x1 x2 = ? > 0. ? 1? k 2 ?
解得 ? 2 < k < ?1 。 (10 分)

∵ AC = 2 AB,∴ ( x2 , y2 ? 1) = 2 ( x1 , y1 ? 1) ,∴ x2 = 2 x1 。

2k ? ? 3 x1 = 1 ? k 2 , ? ∴? ?2 x 2 = ? 2 . ? 1 1? k 2 ?
消去 x1 可得

9 2k 2 3 5 3 5 =? ,k = ± (舍正) ∴ k = ? , , 2 2 1? k 5 5 3 5 x +1。 5
(12 分)

∴ 所求直线 l 的方程为 y = ?

22、 (理) (1)∵ f ( 0 ) = f (1),∴ b = 1 + a + b, 得 a = ?1 。 分) (1

∴ f ( x ) = x 3 ? x + b 的 图 像 可 由 y = x 3 ? x 的 图 像 向 上 ( 或 下 ) 平 移 b ( 或 ?b ) 个 单 位 二 得 到 。
(3 分) 又 y = x 3 ? x 是奇函数,其图像关于原点成中心对称图形,∴ f ( x ) 的图像关于点 ( 0,b ) 成中心对称图形。 (5 分) (2)∵ 点 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 在 f ( x ) = x ? x + b 的图像上,
3 3 3 y1 ? y2 ( x1 ? x1 + b ) ? ( x2 ? x2 + b ) ∴k = = = x12 ? x2 2 + x1 x2 ? 1 。 x1 ? x2 x1 ? x2
2 2 2 2

(7 分)

又 x1 、 x2 ∈ [ ?1,1] , x1 ≠ x2 ,∴ 0 < x1 + x2 + x1 x2 < 3 ,从而 ?1 < x1 + x2 + x1 x2 ? 1 < 2

∴ k = x12 + x2 2 + x1 x2 ? 1 < 2
(3)∵ 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 ,且 y1 ? y2 < 2 x1 ? x2 = ?2 ( x1 ? x2 ) , 又 y1 ? y2 = f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 ) ? f ( 0 ) + f (1) ? f ( x2 ) 1 ○

(11 分)

≤ f ( x1 ) ? f ( 0 ) + f (1) ? f ( x2 ) ≤ 2 x1 ? 0 + 2 x2 ? 1

= 2 ( x1 ? 0 ) + 2 (1 ? x2 ) = 2 ( x1 ? x2 ) + 2
1 2 ○+○得 2 y1 ? y2 < 2 ,故 y1 ? y2 < 1

2 ○ (14 分)
13

(文) f

'

(2 ( x ) = ?3x 2 + 2ax + b , 分)
'

因 为 函 数 f ( x ) 在 x = 1 处 的 切 线 斜 率 为 -3 , 所 以 f (1) = ?3 + 2a + b = ?3 , 即 2a + b = 0 , 1 ○ 又 f (1) = ?1 + a + b + c = ?2 得 a + b + c = ?1 。 (1)函数 f ( x ) 在 x = ?2 时有极值,所以 f ' ( ?2 ) = ?12 ? 4a + b = 0 , 解○○○得 a = ?2, b = 4, c = ?3 ,所以 f ( x ) = ? x ? 2 x + 4 x ? 3 。 1 2 3
3 2

2 ○ (4 分) 3 ○ (8 分)

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 [ ?2, 0] 上单调递增,所以导函数 f 恒大于或等于零, 则?

'

( x ) = ?3x 2 ? bx + b 在区间 [ ?2, 0] 上的值

? f ' ( ?2 ) = ?12 + 2b + b ≥ 0, ? f ' ( 0 ) = b ≥ 0, ? ?

(11 分) (14 分)

得 b ≥ 4 ,所以实数 b 的取值范围为 [ 4, +∞ ) 。

14


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