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高中数学第二册(上)第一章第三节不等式的证明


不等式的证明(二)
综合法

不等式证明(1)
? ? ? ? ? ? 对称性 传递性 可加性 移项法则 加法法则 可乘性 ? ? ? ? ? ? a>b <=> b<a a>b , b>c => a>c a>b <=> a+c>b+c a+b>c <=&

gt; a>c-b a>b , c>d => a+c>b+d a>b , c>0 => ac>bc a>b , c<0 => ac<bc ? a>b>0 , c>d>0 => ac>bd ? a>b>0 =>an > bn (n∈N , n>1)

? 乘法法则 ? 乘方法则 ? 开方法则

? ⑴ 倒数不等式—倒数法则: ? 若ab > 0 , 则 a > b ? a<b ? a<x<b ? 简记:

? ? ? ?

1/a < 1/b 1/a > 1/b 1/b < 1/x < 1/a “同号取倒反 向”

? ? ? ? ? ? ?

⑵平方不等式——平方法则: 若a,b>0,则a>b ? b<x<a ? 若a,b<0,则a>b ? b<x<a ? 若 a > 0 , b < 0, 则b<x<a ?

a2 > b2 b2< x2< a2 a2 < b2 a2 < x2 < b2

min(a2,b2)≤x2 < max(a2,b2)

? ? ? ? ? ? ? ?

练习1: (1)判断下列命题的真假。 ①a>b , c=d =>acn >bdn (n∈N) ②a/c > b/c => ac > bc ③a<b<0 , c<d<0 => ac>bd ④a>b , ab<0 => 1/a<1/b ⑤a+c<b+d =>a<b , c<d ⑥ n a ? n b ? a ? b?n ? N ? (2) 若a<1 则 ( ) (A) 1/a >1 (B) a2 <1 (C) a 3<1 (D) |a |<1

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

练习2.用下列符号(≤.≥.<.>)填写,并说明等号何时成立:
> 1. a≥b,c>d =>a+c___b+d

≥ 2. a≥b,c≥d =>a+c___b+d
≥ 3. a2___0 ≥ 4. a2+b2___2ab

(当且仅当a=b且c=d时等号成立)
(当且仅当a=0时等号成立)

(当且仅当a=b时等号成立)
(当且仅当a=b时等号成立)

5.

a?b ≥ ____ ab (a, b ? R ? ) 2

≥ 6.b/a+a/b___2 (a,b∈R+)

(当且仅当a=b时等号成立)

常用的定理和推论:
定理1.如果a,b∈R ,那么 a2+b2≥2ab
a?b 推论 : 如果 a, b ? R , 那么 ? ab 2
?

(当且仅当 a=b 时等号成立)

(当且仅当 a=b 时等号成立)

结论 : 若a1 , a2 , . . . , an ? R ? , n ? 1, n ? N , 则

a1 ? a2 ? . . . ? an n ? a1a2 . . . an n

即 n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.

结论: b/a+a/b≥2 (a,b∈R+)

(当且仅当 a=b 时等号成立)

例1.设a ,b ,c是不全相等的实数. 求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明: ∵a2+b2≥2ab b2 +c2≥2bc a2+c2≥2ac 又∵a,b,c是不全相等的实数 ∴上面三式中总有一个不能取等号 ∴三式相加得 2(a2+b2+c2 )>2ab+2bc+2ca 即: a2+b2+c2>ab+bc+ca 另证: a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2[(a2+b2-2ab)+( b2 +c2-2bc)+( a2+c2-2ac)] 又∵a,b,c是不全相等的实数 ∴ (a-c)2 +(b-c)2 +(c-a)2>0 ∴ a2+b2+c2>ab+bc+ca

例2 : 设a, b, c ? R ? , a?b b?c c?a 求证 : ? ? ?6 c a b
证明 ? b a ? ?2 a b a c ? ?2 c a b c ? ?2 c b

?

b a a c b c ? ? ? ? ? ? 6 a b c a c b

a?b b?c c?a ? ? ? ?6 c a b

例3.设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc

课外作业:
? P11,练习1,P15练习10.11.12.13


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