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平顶山一中高二数学寒假作业(一)(理科)


平顶山一中高二数学寒假作业(一) (理科)
一、选择题
1.命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
3 2


3 2



A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R ,

x ? x ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

x2 y2 2.方程 ? ? 1 所表示的曲线是 2 sin ? ? 3 sin ? ? 2
A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 3.设椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线





x2 y2 x2 ? y 2 ? 1 的公共焦点分别为 F1 , F2 ,P 是两曲线的一个 ? ? 1 和双曲线 3 6 2
( C. )

交点,则 cos ?F1 PF2 的值为 A.

1 4

B.

1 3

2 3

D. ?

1 3
( )

a 1 4.若 ? (2 x ? ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为 1 x

A.6 5.设 f ( x) ? ?
3 4
? x 2 (0 ? x ? 1) ?2 ? x(1 ? x ? 2)

B.4 ,则 ?1 f ( x) dx 等于 B.
4 5
a

C.3

D.2 ( )

A.

C.

5 6

D.不存在

6.已知 AB =3 , A,B 分别在 y 轴和 x 轴上运动,O 为原点, OP ? 的轨迹方程是 A.

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? 2 ??? OA ? OB ,则动点 P 3 3
( )

x2 ? y2 ? 1 4
2

B. x ?
2

y2 ?1 4

C.

x2 ? y2 ? 1 9

D. x ?
2

y2 ?1 9

7.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 有相的焦点 F ,点 A 是两 a 2 b2

曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区 间可能是 ( ) A. (0,

?
4

)

B. (

? ?

, ) 6 4

C. (

? ?

, ) 4 3

D. (

? ?

, ) 3 2

-1-

8. ? x ? A.-36

? ?

1? ? 展开式中的常数项是 x?
B.36 C.-84 D.84

9





9.如图圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB = 在圆 C 内的概率为 A.

? ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点 3
( )

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

k+s-5#u

10. 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大 时,异面直线 AD 与 BC 所成的角为 A. ( )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

k+s-5#u

11.方程 cos x ? lg x 的实根的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个





k+s-5#u

? x ? 1,( ?1 ? x ? 0) ? 12.函数 f ( x) ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2
A.



3 2

B. 1

C. 2

D.

1 2

13. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 面对角线 A1B 上存在一点 P , 使得 AP ? D1P D1 C1 取得最小值,则此最小值为 ( ) B1 A1 2? 6 A.2 B. 2 D C P C. 2 ? 2 D. 2 ? 2 A B 1 14.右图的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 在 BB1 上, N 在 DD1 上, BM= BB1, 点 点 且 2 ???? ? ??? ? ???? ????? 1 D1N= D1D,若 MN ? xAB ? y AD ? z AA1 ,则 x ? y ? z ? ( ) 3 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 7 6 3 2 15.已知双曲线过点 (3, 15) ,渐进线方程为 y ? ? 3x ,圆 C 经过双曲线的一个顶点和一个 焦点,且圆心在双曲线上,则圆心到该双曲线的中心的距离为 ( (A) 3 (B) 5 (C) 15 )

(D) 2 6

-2-

二、填空题
16.在下面的程序框图中,若 a ? 0.32 , b ? 20.3 ,

c ? ?2 ,则输出的数是 _______.(用字母 a, b, c 填空)

17.在代数式(4x -2x-5)(1+
1

2

) 的展开式中,常数项为

5

. ;

18.函数

f (a) ? ?0(6x 2 ? 4ax ? a 2 )dx 的最小值为
2

19.由曲线 y ? x ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积为 20.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传 递方案共有 种. (用数字作答) .

三、解答题
? 1 ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列. 21.在 ? x ? ? ? 2?4 x ? ?
n

k+s-5#u

(Ⅰ)求展开式中含有 x 的项的系数; (Ⅱ)求展开式中的有理项.

22.(1)、在某次文艺晚会上,共有 5 个不同的歌唱节目、三个不同的舞蹈节目,那么第 一个是歌唱节目,并且恰好有两个舞蹈节目连在一起的排法有多少种? (2)、现有一元人民币 3 张,五元人民币 2 张,拾元人民币 4 张,伍拾元人民币 1 张, 从中至少取一张(多取不限),共可取得多少种不同的币值?

23.已知函数 f ( x) ?

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx且f ( x)在区间(2,??) 上为增函数. 3 2 3

(1)求 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x)与g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

-3-

24、 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , P PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; A B (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. C
?
k+s-5#u

25. (1)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力 正比于速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 (2)抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图 形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

26.已知椭圆 C1:

2 x2 y 2 ,直线 l: y ? x ? 2 2 与以原点为 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交直线 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

???? ??? ? ??? ? RS (Ⅲ)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且满足 QR ? ? 0 ,求 | QS | 的
取值范围.

-4-

信丰中学高二数学寒假作业(二) (理科)参考答案
一、 选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 D 8 C 9 C 10 C 11 C 12 A 13 C 14 B 15 D

二、填空题:16、b; 三、解答题:

17、

15;

18、1;

19、1;

20、96;

? 1 ? 0 1 1 1 2 ? 的展开式中前三项的系数分别为 C n ; C n ; C n ,由题意知 21.解: ? x ? ? ? 4 2 4 2? x ? ?

n

1 2 n(n ? 1) 1 0 Cn ? Cn ? Cn ? n ? 1 ? ? n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ? n ? 8或n ? 1(舍去) 4 8
(Ⅰ)设展开式中含有 x 的项为 Tr ?1 ? C8 ? x
r 8? r 2

?

4? r 1 ?4 1 ? x ? r ? C8r ? x 4 ;k+s-5#u r 2 2

r

3

则4?

3 1 35 r ? 1 ? r ? 4 ,含有 x 的项为第 5 项,它的系数为 4 ? C84 ? 4 8 2
r 8 8? r 2 4? r 1 ? 1 ? r ? x 4 ? r ? C8r ? x 4 2 2 r 3

(Ⅱ)设展开式中第 r ? 1项为有理项,则 Tr ?1 ? C ? x

有理项分别为: T1 ? x ; T5 ? 当 r ? 0,4,8时对应的项为有理项,
4

35 1 x; T9 ? 8 256 x 2


22、 (1).解:设计分为三个步骤完成:

第一步,将 5 个歌唱节目排成一排,共有 种不同取法;

不同排法;第二步,从 3 个舞蹈节目中取出两个节目连成一体,有

第三步, 将两个排在一起的舞蹈节目与另外一个舞蹈节目插在任意两个歌唱节目之间或 最后位置上,但不排在第一个位置上,共有 节目共有 种不同排法。 种插入方法; 因此由乘法原理知,晚会

(2).解:注意到取 2 张五元人民币与取 1 张拾元人民币币值相同,不能算为两种不同 取法。为避免重复,将 4 张拾元人民币“换作”8 张五元人民币,1 张五十元人民币“换作”10 张五元人民币。于是所给问题等给于:有 1 元人民币 3 张、五元人民币 20 元,从中至少取 一张(多取不限),可取得多少种不同币值? 将取币的过程看作二重选择过程:从 3 张 1 元人民币中有取 0、1、2、3 张等 4 种不同取法, 从 20 张五元人民币中有取 0, 2, 20 张等 21 种不同取法。 1, …, 于是由乘法原理知, 4× 有 21=84 种不同币值。但是,这是须除去 1 元和五元都没有的情形,因此,共可取得 83 种不同币值。
2 23、解: (1)由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ,因为 f ( x)在区间(2,??) 上为增函数

-5-

所以 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0在(2,??) 上恒成立,即 k ? 1 ? x恒成立, 又x ? 2
2

所以 k ? 1 ? 2, 故k ? 1 ,当 k=1 时, f ?( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1在x ? (2,??) 恒大
2 2

于 0,故 f ( x)在(2,??) 上单增,符合题意.所以 k 的取值范围为 k≤1.

x 3 (k ? 1) 2 1 (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? kx ? 3 2 3
h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )( x ? 1) 令 h?( x) ? 0得x ? k或x ? 1
由(1)知 k≤1,①当 k=1 时, h?( x) ? ( x ? 1) ? 0, h( x) 在 R 上递增,显然不合题意
2

②当 k<1 时, h( x), h?( x)随x 的变化情况如下表: 在 x=k 处有极大值 ? 由于

k3 k2 1 k ?1 ? ? ,在 x=1 处有极小值 6 2 3 2

k ?1 ? 0, 欲使f ( x)与g ( x) 图象有三个不同的交点,即方程 f ( x) ? g ( x) 2
k3 k2 1 ? ? ? 0 即 (k ? 1)( k 2 ? 2k ? 2) ? 0, 6 2 3

也即 h( x) ? 0 有三个不同的实根, 故需 ?

所以 ?

?k ? 1

, 解得 k ? 1? 3 综上,所求 k 的范围为 k ? 1? 3 . 2 ?k ? 2 k ? 2 ? 0
P

24.解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . ? AP ? BP ,? PD ? AB .? AC ? BC ,?CD ? AB . ? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

D A C P E A C

? PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . (Ⅱ)? AC ? BC , AP ? BP , ? APC ≌△BPC .又 PC ? AC ,? PC ? BC . △
又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC ? PC ? C ,
?

B

? BC ? 平面 PAC .取 AP 中点 E .连结 BE,CE . ? AB ? BP ,? BE ? AP . ? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,?CE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.


B

△BCE





?BCE ? 90?



BC ? 2



BE ?

3 AB ? 6 2



? sin ?BEC ?

BC 6 6 ? .k+s-5#u ?二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin . BE 3 3

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD ,
-6-

?平面 APB ? 平面 PCD . 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . ?平面 APB ? 平面 PCD ? PD ,?CH ? 平面 APB . ?CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB ? AC ? A ,? PC ? 平面 ABC . ? CD ? 平面 ABC ,? PC ? CD .
3 1 在 Rt△PCD 中, CD ? AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2 PC ? CD 2 3 ? PC ? PD ? CD ? 2 . CH ? . ? PD 3
2 2

P H D A C B

?点 C 到平面 APB 的距离为

2 3 . 3
z P E y A C

解法二:(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . ( 则 C (0,0) A(0, 0) B(2,0) .设 P(0, t ) . 0,, 2,, 0, 0,

H x B

? PB ? AB ? 2 2 ,?t ? 2 , P(0, 2) . 0,

取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .? AC ? PC , AB ? BP ,

?CE ? AP , BE ? AP .??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角. ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? E (0, , EC ? (0, 1, 1) , EB ? (2, 1, 1) , 11) ,

cos ?BEC ?

EC ? EB EC EB

?

2 2? 6

?

3 .k+s-5#u 3
3 . 3

?二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos

(Ⅲ)? AC ? BC ? PC ,?C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H ,且 CH 的长 为点 C 到平面 APB 的距离.如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .? BH ? 2HE ,?点

????

??? ?

???? 2 3 2 3 ?2 2 2? .?点 C 到平面 APB 的距离为 .k+s-5#u H 的坐标为 ? , , ? .? CH ? 3 3 ?3 3 3?
25、解析: (1)物体的速度 V ?
2

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt
2 2 2 4

媒质阻力 Fzu ? kv ? k (3bt ) ? 9kb t ,其中 k 为比例常数,k>0。 当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 ,又 ds=vdt,故阻力所作的功为:
-7-

a b

1

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0
b

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

(2)依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=-b/a,所以

S ? ? a (ax 2 ? bx)dx ?
0

?

1 3 b (1)又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax2+bx 相切,即它们有唯一 2 6a
得 ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1)2+

的公共点,由方程组 ?

?x ? y ? 4 ? y ? ax ? bx
2

16a=0 . 于 是 a ? ?

128b 3 1 , (b ? 0) , (b ? 1) 2 , 代 入 ( 1 ) 式 得 : S (b) ? 6(b ? 1) 4 16

S ?(b) ?

128 b 2 (3 ? b) ; 令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b) 3(b ? 1) 5

>0;当 b>3 时,S'(b)<0.故在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时, S 取得最大值,且 S max ? 26、 解: (Ⅰ)? e ?

9 。 2
? e2 ? c 2 a 2 ? b2 1 ? ? ? a 2 ? 2b2 a2 a2 2
? 2 2 2 ? b, b 2 ? 4,? a 2 ? 8

2 2

?直线 l: y ? x ? 2 2 与圆 x 2 ? y 2 ? b2 相切 ?椭圆 C1 的方程是:

x2 y 2 ? ?1 8 4 (Ⅱ)?|MP|=|MF2|, ?动点 M 到定直线 l1: x ? ?2 的距离等于它到定点 F2(2,0)的距离 ?动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线

?动点 M 的轨迹 C2 的方程为: y 2 ? 8x
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 Q 点的坐标为(0,0) ,设 R(

y12 y2 ,S( 2 , y2 ) , y1 ) 8 8 2 2 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? y y ? y1 ?QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 , y2 ? y1 ) ,? QR ?RS ? 0 8 8
y1 ? y2 , y1 ? 0




?

2 y12 ( y2 ? y12 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0 ? 64

?

y2 ? ?( y1 ?

64 ) y1

2 ? y2 ? y12 ?

642 ? 128 ? 256 y12

当 且 仅 当 y12 ?

642 时 , 即 y1 ? ?8 时 等 号 成 立 y12

??? ? y2 1 2 2 2 2 ? | QS |? x2 ? y2 ? ( 2 ) 2 ? y2 ? ( y2 ? 32) 2 ? 322 8 8

??? ? ??? ? 2 2 ? y2 ? 256,? y2 ? 256 时, | QS | min= 16 5 ? | QS | 的取值范围是 [16 5, ??)

-8-


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