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连云港、徐州、宿迁三市2015届高三第三次模拟考试数学试题 含答案


连云港、徐州、宿迁三市 2015 届高三第三次模拟考试

数学Ⅰ
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交 回。 2.答题前,请您务

必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

参考公式:棱柱的体积公式: V ? Sh , 其中 S 是棱柱的底面积, h 是高.
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上 . ........ 1.已知复数 z ? i(3 ? 4i)(i 是虚数单位) ,则 z 的模为 ▲ . 2.已知集合 A ? (?1,3], B ? {2, 4}, 则 A B ? ▲ . 3.如图是某市 2014 年 11 月份 30 天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准, 污染 指数在区间 [0,51) 内,空气质量为优;在区间 [51,101) 内,空气质量为良;在区间 [101,151) 内, 空气质量为轻微污染; ?. 由此可知该市 11 月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.

4.执行如图所示的算法流程图,则输出 k 的值是 ▲ . 5.已知集合 A ? {0,1}, B ? {2,3, 4}, 若从 A, B 中各取一个数,则这两个数之和不小于 4 的概率为 ▲ . 6.设等差数列 {an } 的前 n 项为 Sn , a3 ? a5 ? 26, S4 ? 28, 则 a10 的值为 ▲ . 7.设函数 f ( x) ? ?
? ?log 2 x, x ? 0, ,则 f ( f (?1)) 的值为 x ? ?4 ,  x ? 0

▲ .

8.已知双曲线 C 的离心率为 2,它的一个焦点是抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点,则双曲线 C 的标准方 程为 ▲ .

? 2? 9.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(0 ? ? ? 2), 若 f ( ) ? 1, 则函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 ▲ . 6 3
高三数学试题 第 1 页(共 13 页)

10.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 AB1C1 , AA1 ? 1, 底面△ ABC 是边长为 2 的正三角 形,则此三棱柱的体积为 ▲ .

11.如图,半径为 2 的扇形的圆心角为 120?, M , N 分
OP, OQ 的中点, A 为弧 PQ 上任意一点,则 AM ? AN 的取值范围是

别为半径 ▲ .

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? a ? 2)2 ? 1, 点 A(0, 2), 若圆 C 上存在点
M , 满足 MA2 ? MO2 ? 10, 则实数 a 的取值范围是

▲ .

? x ? y ? 0, ? 13.已知实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 5 ? 0, 若不等式 m( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立, 则实数 m 的最大 ? y ? 3 ? 0, ?

值是 ▲ . 14.若函数 f ( x) ? a x ? x 2 (a ? 1) 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
1 在△ ABC ,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c, 已知 cos C ? ,sin A ? 2 cos B. 3

(1) 求 tan B 的值; (2) 若 c ? 5, 求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 所在平面与三角形 ECD 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 ECD. (1) 求证: AB ? 平面 ADE ;
(2) 若点 M 在线段 AE 上, AM ? 2 ME , N 为线段 CD 中点,求证: EN / / 平面 BDM .

17. (本小题满分 14 分)
高三数学试题 第 2 页(共 13 页)

如图,在 P 地正西方向 8 km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各一条正北方向的公路 AC 和 BD , 现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F . 为缓解交通压力,决定修建两条

? 互相垂直的公路 PE 和 PF. 设 ?EPA ? ? (0 ? ? ? ). 2 (1)为减少周边区域的影响,试确定 E , F 的位置,使△ PAE 与△ PFB 的面积之和最小; (2)为节省建设成本,试确定 E , F 的位置,使 PE ? PF 的值最小.

18.(本小题满分 16 分)

8 3 3 x2 y 2 , B , C 分别 , 两条准线之间的距离为 ? ? 1(a ? b ? 0), 其率心率为 3 2 a 2 b2 为椭圆 M 的上、下顶点,过点 T (t , 2)(t ? 0) 的直线 TB, TC 分别与椭圆 M 交于 E , F 两点.
如图,已知椭圆 M : (1)椭圆 M 的标准方程; (2)若△ TBC 的面积是△ TEF 的面积的 k 倍,求 k 的最大值.

19.(本小题满分 16 分)
高三数学试题 第 3 页(共 13 页)

1 2 1 设 正 项 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 Sn ? an ? an , n ? N * . 正 项 等 比 数 列 {bn } 满 足 : 2 2
b2 ? a 2, b 4 ? a 6 .
(2)设 cn ? ?

?an , n ? 2k ? 1, k ? N * T ? 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 求所有正整数 m 的值,使得 2 m 恰好 * T2 m ?1 ? ?bn , n ? 2k , k ? N

为数列 {cn } 中的项.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax2 ? x ? b, 其中 a , b 为常数. 3 1 3

(1)当 a ? ?1时,若函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值为 , 求 b 的值; (2)讨论函数 f ( x) 在区间 (a, ??) 上单调性; (3)若曲线 y ? f ( x) 上存在一点 P, 使得曲线在点 P 处的切线与经过点 P 的另一条切线互相垂直, 求 a 的取值范围.

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高三数学试题 第 4 页(共 13 页)

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题)。本试卷满分 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答 , .................... 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,已知直线 AB 为圆 O 的切线,切点为 B, 点 C 在圆上, ?ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D. 证明: DB ? DC.

B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)
? 2 ? 2 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? 2 ?? ? 2
程.

2? ? 2 ? ,求曲线 xy ? 1 在矩阵 A 对应的交换作用下所得的曲线方 2? ? 2 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) ? x ? 2 ? 2 cos ? , (? 为参数) 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ,在平面直角坐标系中,以坐标原点为 ? y ? 2 sin ?

? 极点,x 轴的非负半轴极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 , 求 C1 4 与 C2 交点的极坐标,其中 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? .
D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 a, b, c 都是正数,求证:
a 2 b2 ? b2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc. a?b?c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答
高三数学试题 第 5 页(共 13 页)

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在菱形 ABCD 中, AB ? 2, ?BAD ? 60?, 沿对角线 BD 将△ ABD 折起,使 A, C 之间的距 离为 6, 若 P, Q 分别为线段 BD , CA 上的动点. (1)求线段 PQ 长度的最小值; (2)当线段 PQ 长度最小时,求直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值

23.(本小题满分 10 分) 设 a, b, n ? N * , 且 a ? b, 对于二项式 ( a ? b )n . (1)当 n ? 3, 4 时,分别将该二项式表示为

p ? q ( p, q ? N * ) 的形式; p ? q 与 (a ? b)n ? p ? q 同时成立.

(2)求证:存在 p, q ? N * , 使得等式 ( a ? b )n ?

数学Ⅰ参考答案
一、填空题
高三数学试题 第 6 页(共 13 页)

1.5

2.{2}

3.28 12. [0,3]

4.4 13.

5.

1 2

6.37
2

7. ?2

8. y 2 ?

x2 ?1 3

9. 4 π 10. 2

3 5 11. [ , ] 2 2 二、解答题

25 13

14. (1 , e e )

15.(1)因为 cos C ? 因为 A ? B ? C ? π ,

2 2 1 , C ? ? 0, ? ? ,所以 sin C ? . ………………………2 分 3 3

1 2 2 cos B ,…………5 分 所以 sin A ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B ? 3 3 1 2 2 1 2 cos B ? 2 cos B ,所以 sin B ? cos B , 由题意 sin B ? 3 3 3 3 所以 tan B ? 2 .……………………………………………………………………7 分 3 6 (2)由(1)知 tan B ? 2 ,所以 sin B ? , cos B ? .…………………………9 分 3 3 6 5 15 b c ? ? 由正弦定理得 ,所以 b ? …………………………11 分 ? 3 2 2 2 sin B sin C

3
又 sin A ? 2 cos B ?

6 , ……………………………………………………………12 分 3

1 1 15 6 5 2 ? 5? ? 所以 S ? bc sin A ? ? .………………………………………14 分 2 2 2 3 4 16. (1)因为 AE ? 平面 ECD , CD ? 平面 ECD , 所以 AE ? CD . 又因为 AB // CD ,所以 AB ? AE .……………………………2 分 在矩形 ABCD 中, AB ? AD , …………………………4 分 因为 AD AE ? A , AD, AE ? 平面 ADE , 所以 AB ? 平面 ADE . ……………………………6 分 (2)连结 AN 交 BD 于 F 点,连结 FM ,………………………………………………8 分 因为 AB // CD 且 AB ? 2 DN , 所以 AF ? 2 FN , ………………………………10 分 又 AM=2ME,所以 EN // FM , ………………………………12 分 又 EN ? 平面 BDM , FM ? 平面 BDM , 所以 EN //平面 BDM . ………………………………14 分 17.(1)在 Rt△PAE 中,由题意可知 ?APE ? ? ,AP=8,则 AE ? 8 tan ? . 1 所以 S PAE ? PA ? AE ? 32 tan ? . ………………………………………2 分 2 1 同理在 Rt△PBF 中, ?PFB ? ? ,PB=1,则 BF ? , tan ? 1 1 所以 S PBF ? PB ? BF ? . ………………………………………………4 分 2 2 tan ? 1 故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32 tan ? ? …………………………5 分 2 tan ? 1 ≥ 2 32 tan ? ? =8, 2 tan ? 1 1 当且仅当 32 tan ? ? ,即 tan ? ? 时,取“=”, 2 tan ? 8 故当 AE=1km, BF=8km 时,△PAE 与△PFB 的面积之和最小.………………6 分
高三数学试题 第 7 页(共 13 页)

(2)在 Rt△PAE 中,由题意可知 ?APE ? ? ,则 PE ? 同理在 Rt△PBF 中, ?PFB ? ? ,则 PF ?

8 . cos ?

1 . sin ? π 8 1 令 f (? ) ? PE ? PF ? , 0 ? ? ? , ………………………………8 分 ? cos? sin ? 2 8sin ? cos? 8sin3 ? ? cos3 ? 则 f ?(? ) ? , ………………………………10 分 ? ? cos2 ? sin2 ? sin2 ? cos2 ? π 1 1 令 f ?(? ) ? 0 ,得 tan ? ? ,记 tan ?0 ? , 0 ? ?0 ? , 2 2 2 当 ? ? (0, ?0 ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调减;
当 ? ? (?0 , ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调增. 2 1 所以 tan ? ? 时, f (? ) 取得最小值, …………………………………12 分 2 1 BP 此时 AE ? AP ? tan ? ? 8 ? ? 4 , BF ? ?2. 2 tan ? 所以当 AE 为 4km,且 BF 为 2km 时,PE+PF 的值最小. ……………………14 分 c 3 2a 2 8 3 , ? 18.(1)由题意 ? ,解得 a ? 2, c ? 3 , a 2 c 3 x2 所以 b ? 1 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . …………………………………………4 分 4 (2)解法一: S△TBC ?

?

1 …………………………………………6 分 BC ? t ? t , 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? ?8t t 2 ? 4 ? 1 ?8t ?4 直线 TB 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xE ? 2 ,所以 E ? 2 , 2 ? t t ?4 ?t ?4 t ?4? ?y ? 1 x ?1 ? t ? 到 TC : 3x ? ty ? t ? 0 的距离
2 ?24t t ? t ? 4 ? ? 2 ?t t2 ? 4 t ?4

d?

t2 ? 9

?

2 t ? t 2 ? 12 ?

t 2 ? 9 ?t 2 ? 4?



…………………………8 分

? x2 ? y2 ? 1 ? 3 24t ?4 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xF ? 2 , t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ?
? 24t 36 ? t 2 ? 24t ? ? 36 ? t 2 ? ? ? t ? ? 2 ? 所以 F ? 2 ,所以 , 2 TF ? ? ? ? ? 2 t 2 ? 36 ? ? t ? 36 ? ? ? t ? 36 t ? 36 ?
? t 2 ? t 2 ? 12 ? ? ? 3t 2 ? 36 ?
2 2
2 2

? t 2 ? 36 ?

2

?

?t

2

? 12 ? ? t 2 ? 9 ?
2

? t 2 ? 36 ?

2

?

?t

2

? 12 ? t 2 ? 9 t 2 ? 36

,……10 分
2

所以 S△TEF

2 2 2 t ? t 2 ? 12 ? 1 1 ? t ? 12 ? t ? 9 2 t ? t ? 12 ? , ? TF ? d ? ? ? ? 2 2 2 2 t 2 ? 36 t 2 ? 9 ? t 2 ? 4 ? ? t ? 36 ?? t ? 4 ?

高三数学试题

第 8 页(共 13 页)

所以 k ?

2 2 S△TBC ? t ? 36 ?? t ? 4 ? ? , 2 2 S△TEF t ? 12 ? ?

……………………………………12 分

令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则 k ?

(m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 ? 1 ? ? 2 ≤ ,……………………14 分 m2 m m 3

当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 时,取“ ? ”, 所以 k 的最大值为

4 .…………16 分 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?8t ?4 解法二:直线 TB 方程为 y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xE ? 2 , ……………6 分 t t ?4 ?y ? 1 x ?1 ? t ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? 3 24t ?4 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xF ? 2 , ……………8 分 t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ? 1 TB ? TC ? sin ?BTC S△TBC 2 TB ? TC TB TC xT ? xB xT ? xC ? ? ? ? ……10 分 k? ? ? S△TEF 1 TE ? TF ? sin ?ETF TE ? TF TE TF xT ? xE xT ? xF 2 ? t 2 ? 4 ? ? ? t 2 ? 36 ? , …………………………………12 分 t t ? ? ? 2 8t 24t ? t ? 12 ? ? ? t 2 ? 12 ? t? 2 t? 2 t ?4 t ? 36 (m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则 k ? ? 1 ? ? 2 ≤ ,…………………14 分 2 m m m 3 当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 时,取“ ? ”, 4 所以 k 的最大值为 . ……………………………………………………16 分 3 1 1 19.(1)因为 an ? 0 ,当 n ? 1 时, a1 ? a12 ? a1 ,解得 a1 ? 1 . ………………1 分 2 2 1 1 由 Sn ? an 2 ? an , 2 2 1 1 当 n ? 2 时, Sn?1 ? an?12 ? an?1 , 2 2 1 2 1 2 两式相减,得 (an ………………………………2 分 ? an (an +an?1 ) ? 0 . ?1 ) ? 2 2 又因为 an ? 0 ,所以 an +an ?1 ? 0 , 所以 an ? an ?1 =1 , 所以 {an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, 所以 an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n . …………………………………………4 分
由 b2 ? a2 , b4 ? a6 ,得 q 2 ?
b4 a6 ? ? 3, b2 a2

所以 bn ? b2 ? qn?2 ? 2 ? ( 3)n?2 .
?n, n ? 2k ? 1, k ? N? , ? (2)由题意得 cn ? ? n ?1 ? 2 ? 3 2 , n ? 2k , k ? N? , ?

……………………………………6 分

所以 T2 m ? (a1 ? a3 ?

? a2m?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? b2 m )

高三数学试题

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?

m(1 ? 2m ? 1) 2(1 ? 3m ) m ? ? 3 ? m2 ? 1 , 2 1? 3

………………………………8 分

T2m?1 ? T2m ? b2m ? 3m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3m?1 ? 3m?1 ? m2 ? 1 ,
T2 m 3m ? m2 ? 1 2(m2 ? 1) ? m?1 ? 3 ? ≤ 3 , ……………………………10 分 T2 m?1 3 ? m2 ? 1 3m?1 ? m2 ? 1 T 故若 2 m 为 ?cn ? 中的项只能为 c1 , c2 , c3 . ……………………………11 分 T2 m ?1
所以

2(m 2 ? 1) =1 ,则 3m ?1 ? 0 ,所以 m 无解. ……………………12 分 m ?1 2 3 ? m ?1 2 2(m ? 1) =2 ,则 3m?1 ? 1 ? m2 ? 0 , 显然 m ? 1 不合题意, m ? 2 符合题意. ②若 3 ? m ?1 2 3 ? m ?1 当 m ≥ 3 时,即 f (m) ? 3m?1 ? 1 ? m2 ,则 f ?(m) ? 3m?1 ln3 ? 2m , 设 g (m) ? 3m?1 ln 3 ? 2m ,则 g ?(m) ? 3m?1 (ln 3)2 ? 2 ? 0 ,
①若 3 ? 即 f ?(m) ? 3m?1 ln3 ? 2m 为增函数, 故 f ?(m) ≥ f ?(3) ? 0 ,即 f ( m) 为增函数,故 f (m) ? f (3) ? 1 ? 0 . 故当 m ≥ 3 时方程 3 ? 1 ? m =0 无解, 即 m ? 2 是方程唯一解.………………………………………………………………15 分
2 m?1

2(m 2 ? 1) ? 3 ,则 m2 ? 1 ,即 m ? 1 . m ?1 2 3 ? m ?1 m 综上所述, ? 1 或 m ? 2 . ……………………………………………16 分
③若 3 ? 20. (1)当 a=?1 时,f ?(x)=x2?2x?1,所以函数 f(x)在[0,1]上单调减, …………2 分 1 1 1 由 f (1)= ,即 ?1?1+b= ,解得 b=2. ………………………4 分 3 3 3 2 (2) f ?(x)=x +2ax?1 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为 x=?a, 因为△=4a2+4>0,f?(x)=0 有两个不等实根 x1,2= ?a ? a2 ? 1 . …………………5 分 ①当方程 f ?(x)=0 在区间(a,+?)上无实根时,有 ? ? a ≤ a, 3 解得 a ≥ . ………………6 分 ? 3 ? f ?(a ) ≥ 0, ②当方程 f ?(x)=0 在区间 (??,a] 与(a,+?)上各有一个实根时,有 ? f ?(a) ? 0, 3 3 ?a? f?(a)<0,或 ? 解得 ? . …………………………8 分 3 3 ? ? a ? a, ? ? a ? a, 3 ③当方程 f ?(x)=0 在区间(a,+?)上有两个实根时,有 ? 解得 a ? ? . 3 ? f ?(a) ? 0,
3 时,f(x)在区间(a,+?)上是单调增函数; 3 3 3 ?a? 当? 时,f(x)在区间(a, ?a ? a2 ? 1 )上是单调减函数, 3 3

综上,当 a ?

在区间( ?a ? a2 ? 1 ,+?)上是单调增函数; 当a ? ?
3 时,f(x)在区间(a, ?a ? a2 ? 1 ),( ?a ? a2 ? 1 ,+?)上是单调增函数, 3

在区间( ?a ? a2 ? 1 , ?a ? a2 ? 1 )上是单调减函数. ……10 分 (3)设 P(x1,f(x1)),则 P 点处的切线斜率 m1=x12+2ax1?1, 又设过 P 点的切线与曲线 y=f(x)相切于点 Q(x2,f(x2)),x1?x2, 则 Q 点处的切线方程为 y?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x?x2),
高三数学试题 第 10 页(共 13 页)

所以 f(x1)?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x1?x2), 化简,得 x1+2x2=?3a. ………………………12 分 因为两条切线相互垂直,所以(x12+2ax1?1)(x22+2ax2?1)= ?1, 即(4x22+8ax2+3a2?1)(x22+2ax2?1)= ?1. 令 t=x22+2ax2?1??(a2+1), 则关于 t 的方程 t(4t+3a2+3)= ?1 在 t? [?(a2 ? 1),0) 上有解, …………………14 分 1 1 所以 3a2+3=?4t? ?4,当且仅当 t=? 时,取“=”, t 2 1 3 3 解得 a2? ,故 a 的取值范围是 (??, ? ] [ , ??) . ……………………16 分 3 3 3

数学Ⅱ参考答案
21-A.如图,连结 DE,交 BC 于点 G. D 由弦切角定理,得 ?ABE ? ?BCE .……………4 分 而 ?ABE ? ?CBE ,故 ?CBE ? ?BCE , 所以 BE ? CE . ………………6 分 又因为 DB ? BE ,所以 DE 为圆的直径, 所以 ?DCE ? 90? ,由勾股定理可得 DB=DC.………10 分 21-B.解法一: B O G C E A

设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 对应的变换作用下对应的点 ? x?, y?? ,则

? 2 ? ? ?x ? 2 ?1 ? x ? ? A ? ? y? ? y ?? ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 2 ? 2 ? x? ? y ? ? , ?x ? ? 2 由此得 ? 2 ? y? ? y ? ? x? ? , ? ? 2

2? ? 2 ? ? x? ? , ? ? 2 ? ? y ?? ? 2 ?

……………………4 分

……………………6 分

代入方程 xy ? 1 ,得 y?2 ? x?2 ? 2 . 所以 xy ? 1 在矩阵 A 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x2 ? 2 .…10 分 解法二:

? 2 2? ? ? ? 2 2 ? ?, …………………………………4 分 A? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? 设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 对应的线性变换作用下得到点 ? x?, y? ? ,则
? ? x? ? ? ? y ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ?

? 2 2 2? x? y, ? x? ? ? ?x ? ? 2 2 2 ? ? ? ,其坐标变换公式为 ? 2 ? ? y? ? y? ? 2 x ? 2 y, ? ? 2 ? ? 2 2
………………………………………………………6 分

? ?x ? ? 由此得 ? ? y? ? ?

2 ? x? ? y ? ? , 2 2 ? y ? ? x? ? , 2

高三数学试题

第 11 页(共 13 页)

代入方程 xy ? 1 ,得 y?2 ? x?2 ? 2 . 所以 xy ? 1 在矩阵 A 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x2 ? 2 .……10 分
? x ? 2 ? 2cos ? , 2 21-C.解法一:将 ? 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , y ? 2sin ? ?

所以 C1 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .

……………………4 分

将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 . …………………6 分 由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0,

? x ? 4, ? x ? 2, 解得 ? 或? ?y ? 0 ? y ? ?2.

……………………8 分

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2,

? ?

7π ? ?. 4 ?

…………………10 分

? x ? 2 ? 2cos ? , 2 解法二:将 ? 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , ? y ? 2sin ?

所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? .

所以 C1 的普通方程为: x ? y ? 4 x ? 0 .
2 2

…………………………4 分 …………………………6 分 ………………………………8 分

? 2 π? ? 代入 ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ,得 cos(2? ? ) ? , 4 2 4? ?
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2,

7π ? ? ? . ……10 分 4 ? ? 21-D.证明:因为 b2 ? c2 ≥ 2bc, a 2 ≥ 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ≥ 2a2bc ①
同理 b2 (a2 ? c2 ) ≥ 2ab2c ② ③ ……………4 分 c2 (a2 ? b2 ) ≥ 2abc2 ①②③相加得 2(a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ) ≥ 2a2bc ? 2ab2c ? 2abc2 , ……………6 分 2 2 2 2 2 2 从而 a b ? b c ? c a ≥ abc(a ? b ? c) . z 由 a, b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 , A 因此

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc .………10 分 a?b?c
Q D
2 2

22.取 BD 中点 E ,连结 AE , CE ,则 AE ? BD ,
CE ? BD , AE ? CE ? 3 ,

因为 AC ? 6 ,所以 AE ? CE ? AC , 所以 △ ACE 为直角三角形所以 AE ? CE , 所以 AE ? 平面 BCD . ………2 分 以 EB, EC , EA 分别为 x, y, z 轴,建立如图
2

P B x C y

(第 22 题) 所示空间直角坐标系,则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3,0 , A 0,0, 3 ,………………………3 分 (1)设 P ? a,0,0 ?, CQ ? ?CA= 0, ? 3?, 3? , 则 PQ ? PC ? CQ ? ?a, 3,0 ? 0, ? 3? , 3?

PQ ? a2
2

? ? ? ? a, ? ? 3 ? 3? ?
2

?

?

? ?

?

? ?
?

?

3 ? 3? , 3?
2

?

? 3? 2 ? a2 ? 6? 2 ? 6? ? 3
…………………………………………………5 分

1? 3 ? ? a ? 6? ? ? ? ? , 2? 2 ?

高三数学试题

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6 1 时, PQ 长度最小值为 . ……………………………………6 分 2 2 ? 3 3? (2)由(1)知 PQ ? ? 0, ,设平面 ACD 的一个法向量为 n= ? x, y, z ? , ? 2 , 2 ? ? ? ?
当 a ? 0, ? ?

?? x, y, z ? ? 1,0, 3 ? 0 ? x ? 3z ? 0 ? ? 由 n ? DA ,n ? DC 得 ? ,化简得 ? , x ? 3y ? 0 ? ?? x, y, z ? ? 1, 3,0 ? 0 ? ?
取 n ?

?

3, ?1, ?1

?

? ?

? ?

, 设 PQ 与 平 面
1 0 . ?

ACD

所 成 角 为 ?

, 则

s i ?? n

? 3 |? P c Qo n s? ? , 6 ? 5 2

|

5

故直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值为

10 .………………………………10 分 5

23. (1)当 n=3 时, ( a ? b )3 ? (a ? 3b) a ? (b ? 3a) b ,

? a(a ? 3b)2 ? b(b ? 3a)2 . ……2 分
当 n=4 时, ( a ? b )4 ? a2 ? 4a ab ? 6ab ? 4b ab ? b2 ? (a 2 ? 6ab ? b2 ) ? 4(a ? b) ab ,

? (a2 ? 6ab ? b2 )2 ? 16ab(a ? b)2 .
(2)证明:由二项式定理得 ( a ? b ) n ? 若 n 为奇数,则

……………4 分

? (?1) C
k k ?0

n

k n

( a ) n?k ( b ) k ,

0 2 n?3 n?1 ( a ? b ) n ? [Cn ( a ) n ? Cn ( a ) n?2 ( b ) 2 ? ?? Cn ( a )3 ( b ) n?3 ? Cn ( a )( b ) n?1 ]
1 3 n?2 n ?[Cn ( a )n?1 ( b ) ? Cn ( a )n?3 ( b )3 ? ? Cn ( a )2 ( b )n?2 ? Cn ( b )n ] , 分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为

( a ? b ) n ? u1 a ? v1 b 的形式,其中 u1 , v1 ? N* ,
n 也即 ( a ? b ) ?

u12 a ? v12 b ?

p ? q ,其中 p ? u12 a , q ? v12 b , p, q ? N* ,
………………………………6 分

若 n 为偶数,则
0 2 n ?2 n ( a ? b ) n ? [Cn ( a ) n ? Cn ( a ) n?2 ( b ) 2 ? ?? Cn ( a ) 2 ( b ) n?2 ? Cn ( b)n ]
1 3 ?[Cn ( a )n?1 ( b ) ? Cn ( a )n?3 ( b )3 ? n ?3 n ?1 ? Cn ( a )3 ( b )n?3 ? Cn a ( b )n?1 ]

类似地,可将上式表示为 ( a ? b ) n ? u2 ? v2 ab 的形式,其中 u2 , v2 ? N* ,
n 也即 ( a ? b ) ? 2 2 u2 ? v2 ab ?

2 2 p ? q ,其中 p ? u 2 , q ? v2 ab , p, q ? N* .

所以存在 p, q ? N* ,使得等式 ( a ? b ) ?
n

p? q. p? q,

………………………8 分

同理可得 ( a ? b ) n 可表示为 ( a ? b ) ?
n

从而有 p ? q ? ( p ? q )( p ? q ) ? ( a ? b ) n ( a ? b ) n ? (a ? b) n , 综上可知结论成立. …………………………………10 分

高三数学试题

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