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圆锥曲线中的类比推理


中学生数学 ? 2 0 0 9年 6月上 ? 第3 7 1期 ( 高中)  


磋 砷   

孑  

固 镟曲线 中  誊 哆 磐珲  
首 都师范 大学 附属第 二 中学( 1 0 0 0 4 8 )   杨 类 比推 理既 是 一种 思 维形 式 , 也 是 一 种 推  理方法 . 它在 人们 认 识 和改 造 客 观世 界 的 活 动  红  A 对象 具有属 性 a , b , C , d   B对象 具有类 似属性 n   , b   , C   B 具有类 似属 性 

錾 
础 
妥  
; { = }  
, 

中具 有 重 要 意 义. 它能帮助我们触类旁通 , 启 
发 思考.类 比推理 就是 由两个 对象 的某 些 相 同 

以下 我们 通过 圆和 椭 圆 的类 比, 探 索 圆和 

或相似 的性质 ,推断它 们在其 他性 质 上也 有 可 
能相 同或相似 的 一种 推 理 形式 . 它 的基 本公 式  为:  
圆 

椭圆 的有 关性 质和 问题解 决方法 .为此 我们 先 
如 下 表 
椭 圆 

对 圆和 椭 圆的 概 念 , 一 些 性 质 进 行 比较 , 结 果 

概 念 

在平 面 内 到一 个 定 点 0 距 离 等 于 定 长 r ( r >  在 平 面 内 , 到 两个 定 点 F   , F 2的 距 离 之 和 等 于 
O ) 的点 的轨 迹 .   定值 2 a ( 2 口 >l F   F z   I ) 的 点 的轨 迹 .  

封 闭 曲线 
L  

封 闭 曲线 
  l

曲线 的形 状 

r   、  
一  


—  



 



 

  .

. 

对 称 性 
方 程 

关 于 z轴 、 Y轴 和原 点 对 称 

关 于 z轴 、 Y轴 和原 点 对 称 
22

若 圆 心在 原 点 , 半径为 r , 则圆的方程为 z   +  若 椭 圆 的 中心 在 原 点 , 焦 点 在 z轴 上 , 则 椭 圆 的 
y   一  .   方程 为  x 2  
1 - 

— 1( n> 6 > O) .  

从 表 中可 以看 出 , 圆 和椭 圆 具有 一 些 相 似  性.为 了 通 过 类 比发 现 椭 圆 中 的一 些 数 学 结  论, 我们 先思 考 问题 1 :   问题 1 : 如 果点 P在 圆外 、 圆上 和 圆 内 , 则  J P 0I 与半径 r有什 么关 系?   显 然 由圆的 概念 易得如 下结论 :  

似 的结 论 呢?   由类 比 , 我们 易得到 如下猜 想或 结论 :  

若 点 P在椭 圆上 , 则I   PF 。 I +f   P F   l 一2 a ;   若 点 P在椭 圆 内 , 则I   PF   l +I   P F   l <2 a .  

若 点 P在椭 圆外 , 则I   PF   I +l   P F   l >2 a ;  

我们 知道 : 类 比推 理得 到 的 结论 不 一 定是 

点 P在圆 上 , 则I   P OI —r ;   点 P 在圆外 , 则I   P 0l >r ;   点 P在 圆 内 , 则l   P 0I <r .   类 比圆 , 我们 会思 考 问题 2 : 上述 点 和 圆的  位置关 系 与 一 个 定 点 、 和一 个常数 ( 半径 ) 有  .  

正确 的.为此 , 我们 需要 验证或 证 明这 个结论 
的 正 确 性. 显 然, 若 点  P在椭 圆上 , 则 根据椭  圆 的概 念 可知 :   l P F   l   +I   P F 2   I 一2 a成立 ;  
. y  

f /  
《  
~   .



 

j  

●  ●  o 

关, 椭 圆 中有 两个 定 点 ( 即焦点 ) , 一 个 常数 ( 即 
2 a ) 有 关. 应 用类 比推理 , 是 否 得 到椭 圆 中的 类 

若 点 P在 椭 圆外 
( 如 图 1所 示 ) , 连 结 
图 1  

? ,  

2 ? ? 电 子 m   箱 :   @   n i   。   , .   t .  

中学生数学 ? 2 0 0 9年 6月 上 ? 第3 7 1 期( 高中)  

PF  交 椭 圆 于 点 Q, 则 

上 的点 一定 在 圆 内. 既然 直 线 有 在 圆 内 的点 ,  

  l PF   l +l   P F   l —I   PQl +l   Q F   l +l   P F z   l   >l   Q F   l +I   QF 2   I 一2 a .   请 同学们 自己完 成 点 P 在 椭 圆 内 的 结论 
的 证 明.  

所 以直线 和 圆相交 ;  

富 

爹  

鐾 
钴 
苗 

小结

通 过类 比圆 和椭 圆 , 我 们发 现 了椭 

圆类 似 的 结论 . 其实 , 类 比推理 不 仅 可 以 用来  发 现数学 结论 , 而 且我 们 还 可 以通 过类 比来 发 

现 数 学 问 题 的解 决 方 法. 为此 , 请 同 学们 思 考 
问 题 3:  

图 3  

图 4  

§  

类 比为研 究 问题 指 明 了方 向 , 由此 我 们会  想: 研 究 直 线 和 圆 的位 置 关 系时 有 两 种 方 法 :   第一, 由直线 和圆 的方程联 立方 程组 , 通过 讨论  方程组解 的个数来确定它们 之间 的位置关 系. 第 
二, 比较 圆 心 到 直 线 的距 离 d与半 径 r的 大 小 关 

( 3 )如 图 4 所示 , 如果 最小值 d —r , 那 么取  得最 小值 的直 线 上 的点 在 圆上. 而 其 他 的 点 到 
圆心 的距 离 d 。 > d—r , 即除 一个 点 之 外 , 直线  上 的其他 点都 在 圆外. 所 以直 线 和圆相 切.   小 结  上 述 分析 表 明 , 我 们 可 以通 过 比较  直线 上 的点 与 圆心 距 离 的 最 小 值 d与 , . 的 大  小, 来 确 定 直 线 上 的 点 和 圆 的 位 置 关 系. 我 们  是 否可 以用 类 似 的 方 法 来 判 断 直 线 上 的点 和 
椭 圆 的位 置 关 系 呢 ?  

系. 但是研 究直线 和椭 圆的位 置关 系 , 我 们 只有 
方 程组 的 方 法 . 这 就奇 怪 了. 研 究 直 线 和 圆 的 位  置关 系 有 两 种 方 法 , 而椭 圆只有一种.  

类 比研 究 方 法 , 我 们 自然 会 想 一 个 问题 :   研 究直线 和椭 圆 的位 置 关 系 , 是 否也 存 在 类 似 
的第二种 方法 呢?  

其实, 根 据 问题 2的 结果 , 我们 发 现 , 当直  线 z 与椭 圆相 离 时 , 直线 z 上 的任 何 一 点 到两 

为 了解决 这个 问题 , 我 们 需要 重新 认 识 有  关 用 d与 r的大小 关 系来研 究直 线和 圆 的位 置  关 系 的方 法.  
圆 心 到 直 线 的 距 离 实 际 上 是 直 线 上 的 点 

个焦 点 F。 , F  的距离 之和 都大 于 2 n . 当然 我们 
不 可能把 直线 上 所 有 的点 一 一 列 举 出来 去 验  证这 一结 果. 数 学上 , 根 据 极 端 性 原则 , 我们 只  要验 证直 线上 的点 到两 个焦 点 F 。 ,F z 的距 离  之和 的最 小值 d   是否大 于 2 n就 
可 以 了. 如 图 5  

与 圆心 距 离 的 最 小 值 , 因此 有 关 第 二 种 方 法 ,   我 们可 以这样认 识 :  
( 1) 如 图 2 所 

示, 如 果 直 线 上 的 点 

所示 , 作点 F 1 关 
于直 线 Z 的 对 称 

与 圆心距 离 d 。的 最  小 值 d大 于 r , 则直线 
和 圆 相 离 .实 际 上 ,  


图5  

点 

。 , 连 接 

由于直线 上 的点 与 圆  心 的距 离 d   ≥d >, . ,  

F 2 交 直 线 Z   于 点 P, 则易由  

图2  

平面几 何 知 识 得 到 点 P到 F   , F 2的距 离 之 和 
最小.  

即d   >r , 所 以直 线上 的 任何 一 点均 在 圆外 , 也  就是 说直线 和 圆相离 ;  

设直线 上的点到 两个焦 点 F   , F 2 的距 离 之 

( 2 )如 图 3所 示 , 如 果 直 线 上 的点 与 圆 心  距离 d  的最小值 d小 于 r , 取 得最 小 值 的直线 

和 的最小值 d , 若d >2 a , 则直线 和椭 圆相离.  
与此 类似 , 我 们 得 到 另外 两 个 与 圆 中相 类  似 的结论 :   ( 下转 第 4页)  

黪  豢 

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

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3 ? , 电 子 m   箱 :   。   @   i n a   。 u r n a - . n e t . c n  

中学生数学 ? 2 0 0 9年 6月上 ? 第3 7 1期 ( 高中)  

写  

挖 掘 隐 含 条 件 避 免   蓟⑩ 
甘肃 省高 台县第一 中学 ( 7 3 4 3 0 0 )   方晓玲  对 涉及“ 三角 函数 ” 的“ 给 值求 解 ” 问题 , 一  些 同学 常常会 忽 视题 中 的隐 含 条件 , 解 出错 误  结 果. 由于这类 问题 的 隐含 条 件 常 隐藏 于 角或  三角 函数值 中 , 故 在解 题 过 程 中应 注 意 缩小 角  的范 围 , 排 除不 合 条 件 的增 解 . 本 文 以例 题 形  式 总 结 以往 一 些 同学 的 错 解 , 前车之鉴 , 使 三  角 函数 不再成 为 自己的失分点 .  




苍 
础 
妥 口  

两边 平 方得 1 - 1 - s i n 2   一 ÷,  

?

?

s i n 2 a 一 一 }.  
c 。 s 2 a 一± ̄ / r 二   = = = ±  .  

又  O %a < 丌,   . ‘ .   0 <2 a <2 兀 
? . . 



公式 中角的 隐含 范 围 
1  
厶 

错 解 诊 断  回 顾 解 题 的 过 程 , 由 s i n 2 a求 

c o s 2 a时用 到 了平 方关 系 式 s i n 2 a +C O S 2 O / 一1 , 但 

例 1   设 0 <a <丌 , s i n u+ C O S c t 一÷ , 求 
c o s 2 a的值 .  
错解 ‘ . 。 s i n a +c 。 s a =   ,  

这里的正 、 负 号是否 能取 到 呢?若 从 s i n a +C O S a  
一  

这个条 件 考 虑 , 似乎 能 取 到 , 但 联 系 已知 a  

的范围 , 这种解法就存在 问题.   ( 下转第 5页)  

( 上 接 第 3页)  

也可以用来发现新 的问题解 决方法.  

( 2 ) 若 d =2 a , 则直线 和椭 圆相切 ;   ( 3 )若 <2 n , 则直线 和椭 圆相交.   小结 我们应 用类 比推 理发 现 了研 究直 线  和椭圆位置关 系的第 二种方法 , 这说 明类 比推 理 
-  

至此, 我们 肯定会 想一 个重 要 的问题 : 在研 

究直线和双 曲线 的位 置关 系时 , 是 否也有类似 的  果给出双 曲线 的结论 , 即 
双 曲线  焦点 F   , F 2 , 实 轴长 为 2 n  

方法呢?答案是肯定 的 , 请 同学类 比椭圆 中的结 

椭圆   焦点 F   , F 2 , 长 轴长 为 2 n  

若点 P 在椭 圆上 , 则l P F 1   I +l PF 2   l =2 a ;   若点 P 在椭 圆外 , 则I P F   l +1 PF 2   I >2 a ;   若点 P在椭 圆 内 , 则l P F   I +l PF 2   l <2 n .  

若 点 P 在 双 曲线 上 , 则l   I P F   l —l P F 2     l I 一2 a ;   若 点 P在 双 曲线不 含 有 焦点 的部 分 , 则l   i P F 。 I _l   P F z   I   I <2 n ;   若点 P在 双 曲线含 有 焦 点 的部 分 , 则l   I P F   l —l P F 2   1   I >2 a .   的距 离 之差 的最 大值 d ,   ( 1 )若 < 2 n , 则 直 线 和双 曲线 相离 .   ( 2 )若  一2 a , 则 直 线 和双 曲线 相切 ;   ( 3 )若 d >2 。 , 则 直 线 和双 曲线 相交 .  
,  

设直 线 上 的 点 到两 个 焦 点 F 】 , F 2的距 离 之  设直 线 上 的点 到 两 个焦 点 F  
和 的最 小 值 d,  

( 1 )若 d >2 a , 则直 线 和椭 圆相 离.   ( 2 )若 d 一2 a , 则 直线 和椭 圆相 切 ;  

( 3 )若 d %2 a , 则 直线 和椭 圆相 交 .  

参 
◇ 

这样类 比出来 的结果 成立 吗?请 同学们 思 
考这个 问题? 当然 ,  ̄ _ l t t, 我们 肯定 意犹 未尽 , 自  

然会想一个 问题 : 类 比圆 、 椭 圆和双 曲线 , 在抛 物 

线 中是否也有类似 的结论?  

( 责审   连四清)  

?

4 ? 电 子 邮 箱 : 。   。   @ 。 n i   a j 。   t .   。 t .  


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