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3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 班级 姓名 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 重点 导数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念,可 难点 以从物理和几何两种角度理解导数的意义,深刻

体会无限逼近的思想. 引言 某市 2012 年 5 月 30 日最高气温是 33.4℃,而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日 最高气温分别是 24.4℃和 18.6℃,短短两天时间,气温“陡增”14.8℃,闷热中的人们无 不感叹:“天气热得太快了!”但是,如果我们将该市 2012 年 4 月 28 日最高气温 3.5℃ 和 5 月 28 日最高气温 18.6℃进行比较, 可以发现二者温差为 15.1℃, 甚至超过了 14.8℃, 而人们却不会发出上述感慨,这是什么原因呢?显然原因是前者变化得“太快”,而后 者变化得“缓慢”,那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢? 学习 目标 探究点一 平均变化率的概念 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气 球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? r?V2?-r?V1? 结论 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是 . V2-V1 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在 函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 计算运动员在下列时间段内的平均速度 v ,并思考平均速度有什么作用? ①0≤t≤0.5,②1≤t≤2. 问题 3 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? f?x2?-f?x1? 答案 如果问题中的函数关系用 y=f(x)表示,那么问题中的变化率可用式子 表 x2-x1 示,我们把这个式子称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,平均变化率可以描述一个 函数在某个范围内变化的快慢. Δy Δy 问题 4 平均变化率也可以用式子 表示,其中 Δy、Δx 的意义是什么? 有什么几何意 Δx Δx 义? 1 鸡西市第十九中学高一数学组 答案 Δx 表示 x2-x1 是相对于 x1 的一个“增量”;Δy 表示 f(x2)-f(x1).Δx、Δy 的值可正 可负,Δy 也可以为零,但 Δx 不能为零. Δy 观察图象可看出, 表示曲线 y=f(x)上两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))连线的斜率. Δx 例 1 已知函数 f(x)=2x2+3x-5. Δy (1)求当 x1=4,且 Δx=1 时,函数增量 Δy 和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当 x1=4,且 Δx=0.1 时,函数增量 Δy 和平均变化率 ; Δx (3)若设 x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 小结 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量 Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率 = . Δx x2-x1 跟踪训练 1 (1)计算函数 f(x)=x2 从 x=1 到 x=1+Δx 的平均变化率, 其中 Δx 的值为①2; ②1;③0.1;④0.01. (2)思考: 当|Δx|越来越小时, 函数 f(x)在区间[

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