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高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准201319


高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 2 2 的最大值为 答:[B] B. a?b A. 2 解 ab C. a 2 ? b2 2 D. a2 ? b2 2 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到 mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx? ny ? ab . 选 B. 2 2 2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数 ?1 1? ?2 4? y ? f (x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点 A. P B. Q C. M 1 答:[D] D. N 1 1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴ 公共点只可能是 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ? 点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答: [A] x y z 解 第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 3 1.5; 第三、 五列中的 x ? 0.5 ,y ? 四、 5 , 16 z? 3 ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16 4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 1 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形; 若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ? ?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C1 ? . ?2 ? cos C1 =sin C 2 =cos ? 则 A1 ? ? 2 ? A2 , B1 ? ? 2 ? B2 , C1 ? ? 2 ? C2 , 即 A1 ? B1 ? C1 ? 3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2 5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D] 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与 垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ?

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