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2015届高三数学知识点汇总 专题 解析几何


2015 高三数学知识点汇总 七、解析几何
直线部分 一、直线的倾斜角和斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。 注意:规定当直线和 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0 ,所以直线的倾斜角 ? 的范
o


围是 0 ? ? ? 180 ;
o o

( 2 )直线的斜率:倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,

o

k ? tan ?
①斜率是用来表示倾斜角不等于 90 的直线对于 x 轴的倾斜程度的。 ②每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于 x 轴 时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存 在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 ③斜率计算公式: 设经过 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y 2 ) 两点的直线的斜率为 k , 则当 x1 ? x 2 时, k ? tan? ? 二、直线方程的几种形式: (1)点斜式:过已知点 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 的直线方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; 注意:①当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x0 ; ②
o

y1 ? y 2 o ;当 x1 ? x 2 时, ? ? 90 ;斜率不存在; x1 ? x2

y ? y0 ? k 表示: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 直线上除去 ( x0 , y0 ) 的图形 。 x ? x0

(2)斜截式:若已知直线在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ,则直线方程: y ? kx ? b ; 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区 别。 (3)两点式:若已知直线经过 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y 2 ) 两点,且( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,则直线的 方程:

y ? y1 x ? x1 ; ? y 2 ? y1 x2 ? x1
1

注意:①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时, 方程可以适应在于任何一条直线。 (4)截距式:若已知直线在 x 轴, y 轴上的截距分别是 a ,b ( a ? 0, b ? 0 )则直线方程:

x y ? ? 1; a b
注意:不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴垂直的直线,特别是不能 表示过原点的直线,要谨慎使用。 (5)参数式: ?

? x ? x0 ? at a b ( t 为参数)其中方向向量为 ( a, b) , ( , ); 2 2 2 a ?b a ? b2 ? y ? y 0 ? bt
k? b ; | PP o |? a

|t | a2 ? b2



点P 则| P 1P 2 |? 1 , P2 对应的参数为 t1 , t 2 ,

| t1 ? t 2 | a2 ? b2



? x ? x0 ? t cos? ( t 为参数)其中方向向量为 (cos? , sin ? ) , t 的几何意 ? ? y ? y 0 ? t sin ?
义 为

| PP o | ; 斜 率 为 tan ? ; 倾 斜 角 为

? (0 ? ? ? ? ) 。
(6)一般式:任何一条直线方程均可写成一般式: Ax ? By ? C ? 0 ; ( A, B 不同时为零) ; 反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意:①直线方程的特殊形 式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都 能化为特殊形式,这要看系数 A, B, C 是否为 0 才能确定。 ②指出此时直线的方向向量:( B,? A) ,(? B, A) ,(

B A2 ? B 2

,

?A A2 ? B 2

)

(单位向 量) ; 直线的法 向量: ( A, B) ; (与直线垂直的向量) 三、两直线的位置关系: 位置关系

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

2

平行

?

k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 ? A2 B2
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

重合

?

k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

相交

? ?

k1 ? k 2 k1 ? k 2 ? ?1

垂直

设两直线的方程分别为:

l1 : y ? k1 x ? b1 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : y ? k 2 x ? b2 或 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ;当 k1 ? k 2 或

y ? k x?b ? A x ? B y ? C1 ? 0 A1 B2 ? A2 B1 时它们相交,交点坐标为方程组 ? ? y ? k1 x ? b1 或 ? A1 x ? B1 y ? C 2 2 2 2 ? 0 ? ? 2
解; 注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如: ( A1 , B1 ) ? ? ( A2 , B2 ) 对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如 ( A1 , B1 ) ? ( A2 , B2 ) ? 0 ②若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率 为 0 ,则两直线垂直。 ③对于 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用 起来更方便. ④斜率相等时,两直线平行(重合);但两直线平行(重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有 可能不存在。 四、两直线的交角 (1) l1 到 l 2 的角:把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角;它是有向角,其范 围是 0 ? ? ? ? ; 注意:① l1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向; ③绕“定点”是指两直线的交点。 (2)直线 l1 与 l 2 的夹角:是指由 l1 与 l 2 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角), 它的取值范围是 0 ? ? ?

?
2



(3)设两直线方程分别为:

l1 : y ? k1 x ? b1 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : y ? k 2 x ? b2 或 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

3

①若 ? 为 l1 到 l 2 的角, tan? ?

k 2 ? k1 A B ? A2 B1 或 tan? ? 1 2 ; 1 ? k 2 k1 A1 A2 ? B1 B2

②若 ? 为 l1 和 l 2 的夹角,则 tan? ?

k 2 ? k1 A B ? A2 B1 或 tan? ? 1 2 ; 1 ? k 2 k1 A1 A2 ? B1 B2
o

③当 1 ? k1k 2 ? 0 或 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 时, ? ? 90 ; 注意:①上述与 k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂 直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。 ② 直 线 l1 到 l 2 的 角 ? 与 l1 和 l 2 的 夹 角

? ? : ? ? ? (? ? ) 或
2

? ? ? ? ? (? ?
五、点到直线的距离公式:

?
2

);

设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 点 P 到 l 的距离为: d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



两 平 行 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的 距 离 为 :

d?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2



六、直线系: (1)设直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2

: A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ,经过 l1 , l 2 的交点

的直线方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除去 l 2 ) ; 如:① y ? kx ? 1 ? y ? 1 ? kx ? 0 ,即也就是过 y ? 1 ? 0 与 x ? 0 的交点 (0,1) 除去

x ? 0 的直线方程。
②直线 l : (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 恒过一个定点 。

注意: 推广到过曲线 f1 ( x, y) ? 0 与 f 2 ( x, y) ? 0 的交点的方程为:f1 ( x) ? ?f ( x2 ) ? 0 ; (2)与 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线为 Ax ? By ? C ' ? 0 ; (3)与 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 ; 七、对称问题: (1)中心对称: ①点关于点的对称:

4

该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 A( a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点

(2c ? a,2d ? b)
②直线关于点的对称: Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标, 再由两点式求出直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如:求与已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 P(1,?1) 对称的直线 l 2 的方程。 (2)轴对称: ①点关于直线对称: Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒 数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利 用中点坐标公式求解。 如:求点 A(?3,5) 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 对称的坐标。 ②直线关于直线对称: (设 a , b 关于 l 对 称) Ⅰ、若 a , b 相交,则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角;若 a // l ,则 b // l ,且 a , b 与 l 的距 离相等。 Ⅱ、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、 设 P( x, y ) 为所求直线直线上的任意一点, 则 P 关于 l 的对称 点 P ' 的坐标适合 a 的方程。 如:求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程。 八、简单的线性规划: (1)设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , ① 若 点 P 在 直 线 l 上 , 则 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ; ② 若 点 P 在 直 线 l 的 上 方 , 则

B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0 ;
③若点 P 在直线 l 的下方,则 B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0 ; (2)二元一次不等式表示平面区域: 对于任意的二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) ,

5

①当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;
② 当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;
注意:通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax ? By ? C 中,根据 ? 0 或 ? 0 来表示二元 一次不等式表示平面区域。 (3)线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生 产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。 注意:①当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; ②当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界) , 目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 为 ; O A(1,1)

y

C(4,2) B(5,1) x

6


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