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正弦函数与余弦函数的图象


1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

奋 斗 拼搏

学 习 目 标

1、了解利用单位圆中的三角函数线作 正余弦函数图象 2、会用”五点作图法”作正余弦函数 的简图
3、掌握正余弦函数图象之间的关系

一、正弦函数的定义:
唯一确定

实 数


一 一对应


一 对 多

正 弦 值

定义:任意给定的一个实数x,有唯一确定的值 sinx与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦函数,y=cosx叫做余弦函数, 二者定义域为R。

观察:
? 遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察 图象获得对它性质的直观认识, 是研究函数 的基本方法. ? 为了获得正弦函数和余弦函数的图象, 我们 通过简谐运动实验, 对正弦曲线余弦曲 线有了初步印象.

正弦、余弦函数的图象

简谐运动实验和图象

思考:

想一想?

? 通过上述实验我们对正弦函数和余弦函 数图象有了直观印象.但如何画出精确图 象呢? ? 我们可以用单位圆中的三角函数线来刻 画三角函数,是否可以用它来帮助我们作 出三角函数的图象呢?

想一想?

请同学生们回忆一 下什么是正弦线? 什么是余弦线?

y P ?
-1 T

O

M

A(1,0)

x

注意:三角 函数线是有 向线段!

sin? cos?

正弦线MP

余弦线OM

学习探究:
如何利用三角函数线画y=sinx,x?[0,2?]的图象?
B
y
1

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

1、把单位圆12等分,并放置于直角坐标系中y轴的左侧.
2、把x轴上0—2π的线段12等份,得到12个点的横坐标.

3、把单位圆周上12个点所对的角x的正弦线MP向右平移, 使M点与X轴上的点x重合,即可得到12个点.

y=sinx x?[0,2?] 的图象得到 如何由 学习探究: 由部分到整 y=sinx x?R 的图象 体
y

1
? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?]
y=sinx x?R
-4? -3? -2? -?

y=sinx x?[0,2?]

sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y

y=sinx 利用图象平移 x?R
4? 5? 6?

1

o
-1

?

2?

3?

x

正弦曲线

合作探究
由诱导公式y=
-4? -3? -2?

你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通 过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗? 由未知向已知转 y 化
?

,将正弦函数的图象向左平移 2 个单位即可得到余弦函数的图象.
1 -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象
?
2

正弦曲 线

y=cosx与 y=sin(x+ ), x?R图象相同 形状完全一样 只是位置不同 余弦函数的图象 y
1 -4? -3? -2? -?

余弦曲 线
?

o
-1

2?

3?

4?

5?

6?

x

思考?
在精确度要求不太高时,如何快捷地作 出正弦函数的图象呢?

在作出正弦函数的图象时,应抓住哪些

关键点?

y

五点作图法
1-

图象的最高点 ( 2
?
6

?

,1)

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
? 图象的最低点 ( 3 2,

x

与x轴的交点

简图作法 (五点作图法) (1) y 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) 图象的最高点 (0,1) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-

-

-

? 1)

与x轴的交点 (2? ,1)
3? ( (? , 0 ) 2 ,0) 2
x

o
-1 -

?
3
?
2

?
6

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

图象的最低点 (? ,?1)

典型例题
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] (2) 解:( 1)列表
x
sin cosx x sin x ?x 1 ? cos
0
? ? 2 2

五点法作图

(1)列表
(2)描点 (3)连线 描点作图
? 0 -1 11
3 ? 3 ? 2 2

2 2? ?

yy
2-

10 1 -1

01 02

?1 0 00

1 0 1 -1

1 1oo ?1 - ?1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

思考:能否从图象变换的角度出 发得到(1)(2)的图象?

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? 2?

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

1.用五点法画出y=sinx+2,x∈[0, ]的简图; 2π]的简图; 2.用五点法画出y=sinx-1,x∈[0,

1.用五点法画出y=sinx+2,x∈[0, ]的简图

.

. 2
1
o -1

y=sinx+2, x∈[0, ]

y

.

.

.
π 2

?

3π 2

2?

x

y ? sinx, x ?[0,2π]

2.用五点法画出y=sinx-1,x∈[0, ]的简图 2 y 1 o -1.
y ? sinx, x ?[0,2π]

. π
2

?

.

3π 2

.

2?

x

y=sinx-1, x∈[0, ]

.

3.用五点法画出y=2sinx,x∈[0, ]的简图

解:(1)列表
(2)描点作图 Y 2 1 0

x y=2sinx

0

0

? 2 ? 2 0

3? 2

2?

-2

0

y=2sinx y=sinx

?

2?

X

4.用五点法画出y=sin(x7? 5.用五点法画出y=cos( 2

3? 2 ),x∈[0,

]的简图;

-x),x∈[0, ]的简图.

y 1

.

-1

? 2

.

. ?

.

y= -sinx,
2?

x? [0,2? ]
x

3? 2

.

y ? sinx, x ?[0,2π]

总结:注意与诱导公式的结合

6.函数y=1-cosx, x∈[0,2π] 的大致图象为(
y 2
1
?

D



y 2
1
? 2

? 2

o 1 y 2 1

?

A
?

3? 2

2?

x ??

o 1 y 2 1

2

? 2

?

B
? 2

3? 2

2?

x

?

? 2

o 1

? 2

3? 2

2?

x ??

o 1

2

?

C

D

3? 2

2?

x

自主练习
1.用五点法画出y=1-sinx ,x∈[0,2π]的简图; 2.画出下列函数的图象简图: (1)用五点法画出y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图; (2)用五点法画出 y=1+3cosx ,x∈[0,2π]的简图;

几何作图法(三角函数线)

1. 正弦曲线、余弦曲线作法 描点法(五点法)
y 1
? ? 2

图象变换法
y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系; 3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系; 4.巩固图象变换的规律:对自变量x“左加右减”, 对函数值f(x) “上加下减”.








X

1.课本习题1.4第1题
2.课外查找单位圆中的三角函数线和 三角函数的图象资料


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