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汕头市金山中学2011~2012学年高一上学期期中考试(数学)


汕头市金山中学 2011~2012 学年高一上学期期中考试 数学科试题
一、选择题(本大题为单选题,共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5 ,集合 P ? ?2, 3, 4 ,Q ? ? 1, 2 ,则右图阴影部分所示的集合是 ? ? ? ( ) A. ? B.

?1?

/>C.

?2?

D. ?1, 2? )

2. 若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R ,则( A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数 3. 下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? x, y ? 3 x3 C. y ?

B. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 D. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 ) B. y ? lg x2 , y ? 2lg x D. y ?| x |, y ? ( x )2 B. log3 4 ? log3 5 ? log2 (4 ? 5)
? 1 3

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1


4. 下列各式正确的是 (

A. log2 5 ? log 2 6 ? log2 (5 ? 6) C. a ? a ? a (a ? 0) 5. 下列不等式成立的是( A. log 0.3 0.6 ? 1
x

1 2

1 4

1 8

D. 2a ) B. log3 2 ? 0

1 ? 1 ? a 3 ? (a ? 0) 2 a

2

C. 0.73 ? 0.63

D. log 0.5 2 ? log 0.5 3

?1? 6. 函数 y ? ? ? ( x ? 0) 的值域是( ) ?2?

A. (1, ??)

B. (??,1)

C. (0,1)

D. (0,1]

7. 金山中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况, 从某码头乘汽艇出发, 沿 直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又 乘汽艇沿原航线提速返回. 设 t 为出发后的某一时刻,S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离,下 列图象中能大致表示 S ? f (t ) 的函数关系的为( ) ....

8. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x (1? x ),则

5 f (? ) ? ( 2
A. ?
1 2

) B. ?
1 4

C.

1 4

D.

1 2

1

9. 函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 ( x



10.定 义 在 ( ? 1, 1) 的 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 且 在 ( ? 1, 1) f ( x) 是 减 函 数 , 满 足 条 件 上 上
f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 的实数 a 取值范围是(

) D. [ ?2,1]

A. (0,1) B. (?2,1) C. [0,1] 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 11.函数 y ? lg( x ? 2) ? 的定义域是 3? x 12.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则 f (9) ?

. .

13.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 x ? 0 时, . 14.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) 。经过 3 个小时,这种 细菌由 1 个可繁殖成 个.
?log 2 x ( x ? 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? x ,直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象恒有两个不同的交点, ( x ? 0) ?3

f ( x) ?

则 a 的取值范围是

.

16.符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 ,定义函数 ?x? ? x ? ?x?, 那么下列命题中正确的序号是 . (2)方程 ?x? ?

(1)函数 ?x?的定义域为 R,值域为 ?0,1? ; (3)函数 ?x?是非奇非偶函数;

1 ,有无数解; 2

(4)函数 ?x?是增函数.

三、解答题(共 5 大题,每小题 14 分,共 70 分) 17.已知集合 A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a}, B ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0},
2

(1)当 a ? 3 时,求 A ? (CU B) ; (2)当 a ? 0 时,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

2

18.已知 f ( x ) ?

ax ? b 1 2 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( ) ? , 2 x ?1 2 5 (1)求实数 a , b ,并确定函数 f ( x ) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上是增函数.

19.函数 y ? ? x2 ? 4x ? 3 的定义域为 M ,函数 f ( x) ? 4x ? a ? 2x ?1 ? 2( x ? M ) . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的值域; (2)求函数 f ( x ) 的最小值.

3

参考答案
一. 选择题(50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

B

A

D
3

C

C

C

A
x2 ? 2x

D

A

二、填空题(30 分) 11. 14. (2,3) 512 12. 15. 13.

( 0 , 1]

16. (2)(3) 、

三、解答题(70 分)

18.解(1) (法一)? f ( x ) ?

ax ? b 是定义在 R 上的奇函数, x2 ? 1

? f (0) ? 0 即 b ? 0 (2 分)
2 得 a ? 1 (4 分) 5 x ? f ( x) ? 2 (5 分) x ?1
由 f( )? 此时, ?x ? R , f (? x) ? (法二)由 f ( ) ?

1 2

?x ?x ? 2 ? ? f ( x) ,符合题意.(6 分) 2 (? x) ? 1 x ? 1

1 2 得 a ? 2b ? 1 (1 分) 2 5 ax ? b ? f ( x) ? 2 是定义在 R 上的奇函数 x ?1

??x ? R, f (? x) ? ? f ( x) (2 分)
4

?

?ax ? b ax ? b 2b ? 2 ?0即 2 ?0 2 ( ? x) ? 1 x ? 1 x ?1

? b ? 0 (4 分) ? a ? 1 (5 分) x ? f ( x) ? 2 (6 分) x ?1
(2)证明:任取 x1 , x2 ? (?1,1) ,且 x1 ? x2 ,(7 分)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?

x1 x x x 2 ? x ? x2 x 2 ? x2 ? 22 ? 1 2 2 1 2 1 x12 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) (10 分) ? 2 2 ( x12 ? 1)( x2 ? 1) ( x12 ? 1)( x2 ? 1)

? ?1 ? x1 ? x2 ? ?1 ?1 ? x1 ? x2 ? 1
2 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ? 0, x12 ? 1 ? 0, x2 ?1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (13 分) ? f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数(14 分)

当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;(8 分) 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ?

1 1 1 10000 x(200 ? x) ? ? ( x 2 ? 200 x) ? ? ( x ? 100) 2 ? ,开 3 3 3 3
10000 .(12 分) 3

口向下,对称轴为 x ? 100 .(10 分) 所以,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值
5

综上,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?0,200?上取得最大值

10000 ? 3333 ,(13) 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.(14) 20. 解:(1)要使函数有定义,则 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 即 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , 1 ? x ? 3 ,(1 分)
? M ? {x |1 ? x ? 3} .(2 分)

当 a ? 1 时,令 t ? 2 x ,则 2 ? t ? 8 ,(3 分)

f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ? 1)2 ? 1 开口向上,对称轴 t ? ?1 ,(4 分)
? g (t ) 在 t ? [2,8] 上单调递增, ? g (2) ? g (t ) ? g (8) 即 10 ? g (t ) ? 82 ,(6 分)

∴函数 f ( x ) 的值域为 [10,82] .(7 分) (2)由(1)有,令 t ? 2 x ( 2 ? t ? 8 ) ,

f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 2at ? 2 ? (t ? a)2 ? 1 ? a2 开口向上,对称轴 t ? ?a (8 分)
① 当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时, g (t ) 在 t ? [2,8] 上单调递增,? g (t )min ? g (2) ? 6 ? 4a (10 分) ② 当 2 ? ? a ? 8 ,即 ?8 ? a ? ?2 时,? g (t )min ? g (?a) ? 1 ? a2 (12 分) ③ 当 ?a ? 8 ,即 a ? ?8 时, g (t ) 在 t ? [2,8] 上单调递减,? g (t )min ? g (8) ? 66 ? 16a (14 分) 21. 解: (1)若 f ? x ? ? 则

1 ?M ,在定义域内存在 x0 , x

1 1 ? ? 1 ? x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,…………………………2 分 x0 ? 1 x0

∵方程 x02 ? x0 ? 1 ? 0 无解,∴ f ? x ? ? (2) f ? x ? ? lg

1 ? M .……………………4 分 x

a a a a ? M ? lg ? lg 2 ? lg ? ? a ? 2 ? x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 1? ? 0 …5 2 x ?1 ? x ? 1? ? 1 x ? 1 2
2

1 a ? 2 时, x ? ? ;………………6 分 2

a ? 2 时,由 ? ? 0 ,得 a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ? a ? ?3 ? 5, 2 ? 2,3 ? 5 ? .…………8 分 ? ?
∴ a ? ?3 ? 5,3 ? 5 ? .……………………9 分 ? ?
x ?1 x x x ?1 2 (3) f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? ? 2 0 ? ? x0 ? 1? ? 2 0 ? x0 ? 3 ? 2 0 ? 2( x0 ? 1) ? 2 ?2 0 ? ? x0 ? 1? ? ? ? 2

? ?

…10

[

x ∵函数 y ? 2 图象与函数 y ? ? x 的图象有交点,设交点的横坐标为 a ,…………11 分

则 2a ? a ? 0 ? 2

x0 ?1

,………………12 分 ? ?x0 ? 1? ? 0 (其中 x0 ? a ? 1 )

6

即 f ? x0 ? 1? ? f ? x0 ? ? f ?1? ,…………13 分 于是 f ?x? ? 2 x ? x 2 ? M 。………………14 分

7


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