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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题、评分标准及专家点评


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第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题、评分标准及专家点评 第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2015 年 9 月 19 日

说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、 (15 分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子 质子循环; 其中碳循环是贝蒂在 1938 年提出

的, 碳循环反应过程如图所示。 + 图中 p 、 e 和? e 分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环 反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子 p 与 12 C 核发生反应生成

N 核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下 p 和 He 核的质量分别为 0.511 MeV/c2、 一个循环。 已知 e + 、 1.0078 u 和 4.0026 2 u(1u≈931.494 MeV/c ) ,电子型中微子 ? e 的质量可以忽略。 (1)写出图中 X 和 Y 代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。

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二、 (15 分)如图,在光滑水平桌面上有一长为 L 的轻杆,轻杆两端各固定一质量 均为 M 的小球 A 和 B 。开始时细杆静止;有一质量为 m 的小球 C 以垂直于杆的速 度 v0 运动,与 A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球 C 碰后的速度表出) ; (2)若碰后系统动能恰好达到极小值,求此时球 C 的速度和系统的动能。

三、 (20 分)如图,一质量分布均匀、半径为 r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间,圆环质心 π 3π 速度 v 0 与竖直方向成 ? ( ? ? ? )角,并同时以角速度 ?0 ( ?0 的正方向如 2 2

图中箭头所示)绕通过其质心 O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在 的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复 系数为 k ,重力加速度大小为 g 。忽略空气阻力。 (1)求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最 大高度; (3) 若让 ? 角可变, 求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离 s 随 ? 变化的函数关系式、s 的 最大值以及 s 取最大值时 r 、 v0 和 ?0 应满足的条件。
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四、(25 分)如图,飞机在距水平地面( xz 平面)等高的航线 KA(沿 x 正方向)上,以大小为 v ( v 远小于真空中的光速 c )的速度匀速飞行; 机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标 P 点(其 x 坐标 为 xP )发射扇形无线电波束(扇形的角平分线与航线垂直) ,波束平面 与水平地面交于线段 BC(BC 随着飞机移动,且在测量时应覆盖被测目 标 P 点) ,取 K 点在地面的正投影 O 为坐标原点。已知 BC 与航线 KA 的距离为 R0 。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波, 其频率为 f 0 。 (1)已知机载雷达天线经过 A 点(其 x 坐标为 xA )及此后朝 P 点相继 发出无线电波信号,由 P 反射后又被机载雷达天线接收到,求接收到的 回波信号的频率与发出信号的频率之差(频移) 。 (2)已知 BC 长度为 Ls ,讨论上述频移分别为正、零或负的条件,并求出最 大的正、负频移。 (3)已知 R0 ?? Ls ,求从 C 先到达 P 点、直至 B 到达 P 点过程中最大频移与 最小频移之差(带宽) ,并将其表示成扇形波束的张角 ? 的函数。 已知:当 y ?? 1 时, 1 ? y 2 ? 1 ?
y2 。 2

五、 (20 分)如图, “田”字形导线框置于光滑水平面上,其中每个小正方格 每 条 边 的 长 度 l 和 电 阻 R 分 别 为 0.10 m 和 1.0 ? 。 导 线 框 处 于 磁 感 应 强 度 B ?1.0 T 的均匀磁场中,磁场方向竖直向下,边界(如图中虚线所示)与 de 边平行。今将导线框从磁场中匀速拉出,拉出速度的大小为 v ? 2.0 m/s ,方向 与 de 边垂直, 与 ae 边平行。 试求将导线框整体从磁场中拉出的过程中外力所 做的功。

六、 (23 分)如图,一固定的竖直长导线载有恒定电流 I ,其旁边有一正方形导线框,导线框可围绕 过对边中心的竖直轴 O1O2 转动,转轴到长直导线的距离为 b 。已知导线框的边长为 2a ( a ? b ) ,总 ? 电阻为 R,自感可忽略。现使导线框绕轴以匀角速度 逆时针(沿轴线从上往下看)方向转动,以导 线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计时。求在 t 时刻 (1)导线框中的感应电动势 E; (2)所需加的外力矩 M。

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七、(22 分)如图,1mol 单原子理想气体构成的系统分别 经历循环过程 abcda 和 abc?a 。已知理想气体在任一缓慢变 化过程中,压强 p 和体积 V 满足函数关系 p ? f ?V ? 。 (1)试证明:理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可 表示为
C? ? CV ? pR p ?V dp dV

p 3 p1 2 p1 p1
c?
'

b

c

a

d

式中, CV 和 R 分别为定容摩尔热容和理想气体常数; (2)计算系统经 bc? 直线变化过程中的摩尔热容; ( 3 ) 分别计算系统经 bc? 直线过程中升降温的转折点在 p-V 图中的坐标 A 和吸放热的转折点在 p-V 图中的坐标 B; (4)定量比较系统在两种循环过程的循环效率。

V O V1 3V1 5V1

八、(20 分)如图,介质薄膜波导由三层均匀介质组成:中间层 1 为波导薄膜,其折射率为 n1 ,光波在其中传播;底层 0 为衬底,其 折射率为 n0 ;上层 2 为覆盖层,折射率为 n2 ; n1 ? n0 ? n2 。光在薄膜 层 1 里来回反射,沿锯齿形向波导延伸方向传播。图中,? ij 是光波 在介质 j 表面上的入射角, ? tj 是光波在介质 j 表面上的折射角。 (1)入射角 ? i1 在什么条件下光波可被完全限制在波导薄膜里(即 光未折射到衬底层和覆盖层中)? (2 )已知波导薄膜的厚度为 d ,求能够在薄膜波导中传输的光波 在该介质中的最长波长 ?max 。 已知:两介质 j 与 k 的交界面上的反射系数(即反射光的电场 强度与入射光的电场强度之比)为
rjk ? n j cos ?i j ? nk cos ? t k n j cos ?i j ? nk cos ? t k ? rjk e
? i? jk

n2 θi1 d n1 n0 θi1 θt0

θt2

式中,? ij 和 ? tj 是分别是光波在介质 j 的表面上的入射角和折射角,余类推;正弦函数和余弦函数在复 数域中可定义为
sin ? ? ei? ? e ? i? ei? ? e ? i? , cos ? ? 2i 2

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专家点评
今年的题目普遍来说比去年要简单,题型设置上没有往年“必考”的万有引力天体题、狭义相对论和静 电题;模型也都是比较基础的;考察的知识点都应该在物理竞赛的基本点中;唯一可能造成障碍的可能是计 算量略大,然而从近几年各省数学和理综的高考卷计算量和难度上升的趋势来看,物理竞赛也必须提高计算 难度来适应发展,进而选拔计算能力强劲的选手。 总的来说,试题还是比较基本,各种奖项的分数线显然会比去年上升。 下面就每一题谈谈。 第一题与往年一样基本是送分的,用来区分“省三”级别的选手; 第二题是一道极其基本的力学碰撞题,扣住能量和角动量(动量距)两个守恒量即可,在计算上也没有 难度, 第三题看似稍复杂,其实也很基本,考察有能量损失的碰撞,及动量冲量,计算上稍复杂,但列出式子 也可以得到相当的分数 (竞赛中掌握这种技巧很重要) 。 总的来说两道力学题比去年和前年的力学题简单很多, 第四题可以认为是本卷最难的一题(多普勒效应最近多年未考,可能不少考生在备考时忽视) ,想要得满 分确实不易,然而如果能紧扣所学知识,尽可能列出式子来,还是能花不多的时间得到一定分数的(4~7 分) 。 第五题考查恒定电流中的电路知识和切割磁感线的知识,难度偏低,也属于送分题。 第六题可以说是一道原题,在许多大学课本与竞赛书中都出现,大多数竞赛生都应该做过。 (对于复赛中 出原题褒贬不一,但原题基本每年都有,无论是从大学课本上,还是从国外竞赛题,国外杂志中摘取或改编。 原题出现的原因就是,高中物理竞赛中的模型有限,或者出题人的时间精力有限。对于物理竞赛中出原题, 笔者不作评论,但是笔者认为,做大量题目掌握丰富的模型和解题技巧是必要的) 第七题热学题考查了热学中很基本的 PV 图和数学中微分知识,难度一般。 第八题考查几何光学属于条件给予题(概念给予题) ,对于题中信息的理解难度不大,计算也比较基础, 所给的正弦和余弦的复数定义应该是竞赛生了解的内容。 总的来说,卷子考查基础的东西较多,没有考查考生的建模能力(这是比较失败的) 。 就近几年的复赛的趋势来看笔者认为,物理竞赛备考应该考虑以下几个方面: 1. 知识系统完备
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2. 扎实掌握基本题型和基本模型 3. 强化计算能力(表达式运算与微积分运算) 4. 注意考纲变化(但不要按考纲押题) 5. 至少完整读过一本大学力学课本和电磁学课本(某些章节省略) ,体会大学解物理题的思路与方法, 掌握解决物理问题的通法而非个别题目的“巧法” 6. 多看一些杂志的论文有助于加深对概念的理解和思辨,可以做一做其他国家的物理竞赛题 7. 不要忽视实验操作能力 8. 书写的整洁性有助于提高计算准确性,并有利于得分

难度分析表 项目 题型新颖 建立模型 表达式计算 微积分计算 知识点范围 耗时性 思维难度 总体难度 总体难度参考( 14 年) 总体难度参考( 13 年) 知识点考查表 题型 力学 电磁学 热学 光学 近代物理 知识点 动量、能量、碰撞( 2,3) 切割磁感线、电路( 5) ;直导线的磁场、安培力( 6) PV 图、热力学第一定律(7) 折射定律、三角函数( 8) 多普勒效应(4) ;核反应方程( 1) 难度 中档题 稍难题 中档题 稍难题 较难题,容易题 难度 ☆☆ ☆ ☆☆☆☆★ ☆☆☆☆ ☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆

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