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河南省南阳市2013届高三上学期期终质量评估数学(理)试题


南阳市 2013 届高三年级期终质量评估

数学试题(理)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 P={x|2 x +5x<0,x∈Z} ,Q={0,a},若 P∩Q≠ ? ,则 a 等于
2


A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.-1 或-2 2.已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角θ 终边上一点,且 sinθ = -

2 5 ,则 y= 5
B.8 C.-4 D.4

A.-8

3.已知函数 f(x)=2-|x|,则 A.3 B.4

?

2

?1

f ( x)dx =
C.3.5 D.4.5

4.若 ( x+ ) 展开式中第四项与第六项的系数相等,则展开式中的
n

1 x

常数项的值等于 A.8 B.16 C.80 D.70 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 A.2 或 2 2 C.2 B.-2 或-2 2

2 或-2

2

D.2 或-2

2

6.在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和圆 ( x-a) + ( y-b) = r (ab≠0,r>0)的图像可能是
2 2
2

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几

何体的外接球表面积是 A.

3 π 2

B.π D.4π

C.3π

8.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB + PC +2 PA =0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在 △PBC 内的概率是 A.

??? ?

??? ?

??? ?

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

9.已知双曲线

x 2 y2 - = (a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点的距离为 4,且双 1 a 2 b2

曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1) ,则双曲线的焦距为 A.2 5 B.2 3 C.4 3 D.4 5 积由

10.在一个容量为 300 的样本频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面 小到大构成等比数列{ an },已知 a2=2a1,则小长方形面积最大的一组的频数为

A.80 B.120 C.160 D.200 11.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0, 1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内关于 x 的方 程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)的根的个数 A.不可能有 3 个 B.最少有 1 个,最多有 4 个 C.最少有 1 个,最多有 3 个 D.最少有 2 个,最多有 4 个

x 2 y2 1 12.已知 A,B 是椭圆 + 2 = (2>b>0)长轴的两个顶点,M,N 是椭圆上关于 x 轴对称的两 2 b
点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2 且 k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭圆方 程中 b 的值为 A.

1 2

B.1

C.2

D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题纸相应位置. 13. 设随机变量ξ 服从正态分布 N 4)若 P ξ <2a-3) (ξ >a+2)则 a 的值为______________. (3, , ( =P ,

14.在直二面角α -MN-β 中,等腰直角三角形 ABC 的 斜边 BC ? α ,一直角边 AC ? β ,BC 与β 所成角的 正弦值为

6 ,则 AB 与β 所成的角是____________. 4

? x+2y≥0, ? 15.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 2 x-y≥0, ( a>0) , ? x≤a ?
表示的平面区域的面积为 5,直线 mx-y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是 ________________. 16. 已知数列{ an }满足 a1=1,an =

2nan -1 (n≥2) 则数列{ an }的通项公式为 an =________. , an -1+2n ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)

? ? 2? ,若 cos cos ? -sin sin ? 3 2 3 ? =0,且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是 . 4
设函数 f(x)=sin(ω x+ ? ) ,其中ω >0,| ? |< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 f(A)=-1,求 sinB+sinC 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= log m x (m 为常数 0<m<1=,且数列{f( an )}是首项为 2,公差为 2 的等 差数列. (1) bn = an f( an ) ,当 m=

2 时,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn = an · lg an ,如果{ cn }中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球) 个 ,3 是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

20. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 S-ABCD 是正四棱锥, 每条侧棱的长都是底 面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证 AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC. 若存在, SE : 的值; 求 EC 若不存在, 试说明理由.

21. (本题满分 12 分)

x 2 y2 1 设椭圆 C: 2 + 2 = (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 a b
A、B 两点,直线 l 的倾斜角为 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

? ???? ? ? ???? , AF2 =3 F2 B . 6

16 ,求△F1AB 的面积. 3

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+x lnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,k<

f ( x) 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n>m≥ 4 时,证明 (mnn )m>(nmm )n .

数学试题(理)答案
DACDD 7 二.填空题 13. 3
三.解答题 17.解: (1)由条件, cos

一.选择题

DCCAC BB
14.
? 3

15.

4 3

16.

2n n? N? n ?1

?

?

?
3

cos ? ? sin

2? ? ? ? sin ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? cos( ? ? ) ? 0 3 3 3 3
……………………2 分

?? ?

?
2

,??

?
6

?

?
3

?? ?

5? ? ? ? ,? ? ? ? ,?? ? , 6 3 2 6

又图象的一条对称轴离对称中心的最近距离是

? ,所以周期为 ? ,? ? ? 2 ,…2 分 4

?? ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? . 6? ?
?? ? (2)由 f ? A? ? ?1 ,知 sin ? 2 A ? ? ? ?1 , 6? ?

……………………5 分

? ? 13? , ? A 是 ?ABC 的内角,? 0 ? A ? ? ,? ? 2 A ? ? 6 6 6 ? 3? 2? ? ,从而 B ? C ? . ?2 A ? ? ,? A ? 6 2 3 3 ?? ?? ? ? 由 sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin ? B ? ? , 3? ?3 ? ? ? ? ? 2? , ? 0 ? B ? ,? ? B ? ? 3 3 3 3
?

……………6 分 ……………8 分

? 3 ? 3 ?? ? ? sin ? B ? ? ? 1 ,即 sin B ? sin C ? ? ? 2 ,1? . 2 3? ? ? ?

……………10 分

18:解 因数列 ? f (an )? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,所以 f (an ) ? 2n 又 当m ? ……………2 分

2 时 2

1 1 bn ? a n ? f (a n ) ? ( ) n ? 2n ? n ? ( ) n ?1 2 2

……………3 分

1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ( ) 0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2

1 ? ? 1 ? ?1 ? ( ) n ? 1 1 0 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 1 2 ? ? ? n ? ( )n 两式相减? S n ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
1 ? S n ? ?(n ? 2)( ) n ?1 ? 4 2
……………6 分
?

(2) 由 ( 1 ) 知 cn ? an ? lg an ? 2n ? m2n lg m, 要 使 cn ? cn?1 对 于 一 切 n ? N

成立,即

2n ? m 2n lg m ? 2(n ? 1)m 2( n?1) lg m 对一切 n ? N ? 成立 ? 0 ? m ? 1,? lg m ? 0,? n ? (n ? 1)m 2 对一切 n ? N ? 成立
只需 m <(
2

……………9 分

n n 1 n 1 ) min ,而 ? 1? ) min ? 单调递增,? n ? 1 时 ( n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 2

1 2 2 ? m 2< 得 ? ?m? 2 2 2

? 2? ? ?m 的取值范围是 ? 0, ? 2 ? ? ?

……………12 分

19.解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2.

????????1 分

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) .因为集训前共有 6 个篮 球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ? P( A1 ) ? P(? ? 1) ? P( A2 ) ? P(? ? 2) ?

C32 1 ? , 2 C6 5
1 1 C3C3 3 ? , 2 C6 5

????????3 分 ????????5 分 ????????7 分

C32 1 ? . 2 C6 5

所以 ? 的分布列为(注:不列表,不扣分)

?
P

0

1

2

1 5

3 5

1 5
??????????????8 分

1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B . 而事件 A0 B 、 A1B 、 A2 B 互斥, 所以, P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得
1 1 1 C3C3 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ? ? 2 ? ? ? , ) 5 C6 5 5 25

?????????9 分

1 1 3 C2C4 3 8 8 , ?????????10 分 P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ? ? 2 ? ? ? ) 5 C6 5 15 25 1 1 1 C1 C5 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ? ? 2 ? ? ? . ?????????11 分 ) 5 C6 5 3 15

所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ?

3 8 1 38 ? ? = . 25 25 15 75

?????????12 分

20:解(1)设 AC 与 BD 交于 O,连接 SO,由题意知 SO⊥平

面 ABCD,以 O 坐标原点 OB, OC, OS 分别为 x 轴,y 轴,z 轴 正方向建立空间直角坐标系 Oxyz,如图 设底面边长为 a 则高 SO ?

6 6 a ,于是 S (0,0, ), 2 2

D( ?

2 2 2 2 6 a,0,0) , C (0, a,0) , OC ? (0, a,0,? a) , OC ? SD ? 0 , a,0) , SD ? (? 2 2 2 2 2
……………4 分

故 OC ? SD ,从而 AC ? SD (2)由题意知,平面 PAC 的一个发向量为, DS ? (

2 6 a,0, a) ,平面 DAC 的一个发向量为 2 2

OS ? (0,0,

OS ? DS 3 6 ? ? ,所求二面角的大小为 a) 。 设 所 求 二 面 角 为 ? , 则 c o s ? 2 OS ? DS 2
……………8 分

300

( 3 ) 在 棱 SC 上 存 在 一 点 E 使 BE ∥ 平 面 PAC , 由 ( 2 ) 知

DS 是 平 面


PAC 的 法 向 量 , 且

DS ? (

2 6 a,0, a) 2 2



CS ? (0,?

2 6 a, a) 2 2



CE ? t CS

,



BE ? BC ? CE ? BC ? t CS ? (?
而 BE

2 2 6 a, a(t ? 1), at) , 2 2 2
……………10 分

? DS ? 0,? t ?

1 3

即当 SE:EC=2:1 时, DS 21 解(1)

? BE ,而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥平面 PAC…………12 分
3 ( x ? c) 3

? F2 (c,0) 可设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ?
? 3 ( x ? c) ?y ? 由? 知, 3 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ?

y1 ? y 2 ?

? 2 3cb 2 ? b4 , y1 ? y 2 ? 2 a 2 ? 3b 2 a ? 3b 2

……………3 分

由 AF2 ? 3F2 B 知 ?c ? x1 ,? y1 ? ? 3?x2 ? c, y 2 ?,?
2

y1 ? ?3 y2

2 ? ? 2 3cb 2 ? a 2 ? 3b 2 y1 y 2 ? y1 ? y 2 ? 1 ? ? ? ?2?? 2 ? a ? 3b 2 ? ? ? b 4 ? 2 ? ?3 ? 3 y 2 y1 y1 ? y 2 ? ?

12c 2 4 3 ? , a 2 ? 3c 2 , ?e ? 2 2 3 3 a ? 3b
(2)由(知 a ?

……………6 分

3c, b 2 ?

3 2 a , 所以 2

y1 ? y 2 ?

? 2 3cb 2 4 ? b4 4 ? ? a, y1 ? y 2 ? 2 ? ? a2 2 2 2 9 27 a ? 3b a ? 3b
……………9 分

AB ?

16 1 16 ? 1 ? 2 y1 ? y 2 ? a , a ? 3,? c ? 3 3 9 k
3 (? 3 ) ? 0 ? 1 3 1 ?1 3

F1 (? 3,0) 到直线 AB:

3 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 3

? 3 ………11 分

S ?F1 AB ?

1 16 8 3 ? 3? ? 2 3 3

……………12 分

22. (1)解:因为 因为函数 所以

f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ?1.…………………1 分

f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3,
f ? x ? ? x ? x ln x ,

f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 .所以 a ? 1 .……………………………2 分

(2)解:由(1)知, 所以 k

f ? x? x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立.…………………3 分 x ?1 x ?1 x ? x ln x x ? ln x ? 2 令 g ? x? ? ,则 g ? ? x ? ? ,…………………………………4 分 2 x ?1 ? x ? 1? ?
令h

? x ? 在 ?1, ??? 上单调递增.…………………………………………… 5 分 因为 h ? 3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? .
所以函数 h 当1 ?

? x? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? x ?

1

x ?1 ?0, x

x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,………………6 分

所以函数 g 所以

? x? ?

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增. x ?1

? g ? x ?? min ? g ? x0 ? ? ? ?
所以 k

? ? g ? x ? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? .故整数 k 的最大值是 3.………………8 分 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? .…………7 分 x0 ? 1 x0 ? 1

(3)证明 1:由(2)知, g

x ? x ln x 是 ? 4, ?? ? 上的增函数,……………9 分 x ?1 n ? n ln n m ? m ln m ? 所以当 n ? m ? 4 时, .……………………………………10 分 n ?1 m ?1 即 n ? m ?1??1 ? ln n? ? m ? n ?1??1 ? ln m? .整理,得

? x? ?

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? ? n ? m? . 因为 n ? m ,所以 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n . mn m mn n mn m mn n 即 ln n ? ln m ? ln m ? ln n .即 ln ? n m ? ? ln ? m n ? .
所以

? mn ? ? ? nm ? .………………12 分
n m m n

证明 2:构造函数

f ? x ? ? mx ln x ? m ln m ? mx ln m ? x ln x ,…………………………9 分 f ? ? x ? ? ? m ?1? ln x ? m ?1? m ln m .……………………………………10 分
? m ? 4 ,所以 f ? ? x ? ? ? m ?1? ln m ? m ?1 ? m ln m ? m ?1? ln m ? 0 .



因为 x

所以函数 所以

f ? x ? 在 ?m, ??? 上单调递增.

因为 n ? m , 所以

f ? n ? ? f ? m? .

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? m2 ln m ? m ln m ? m2 ln m ? m ln m ? 0 . 即 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n . mn m mn n mn m mn n 即 ln n ? ln m ? ln m ? ln n .即 ln ? n m ? ? ln ? m n ? .

? mn ? ? ? nm ? .…………………………………………12 分 n ln n m ln m ? 证明 3:要证 ? mn ? ? ? nm ? ? ln ? n m ? ? ln ? m n ? ? n ?1 m ?1
所以
n m m n n m m n
mn m mn n

构造函数 f ( x) ? 则 f ?( x) ?

x ln x x ?1

(ln x ? 1)(x ? 1) ? x ln x x ? ln x ? 1 ? ? 0 在 (1,??) 上恒成立 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
x ln x 在 (1,??) 上递增 x ?1

? f ( x) ?

n ? m ? 4 时 f (n) ? f (m) 即 mn n

?

? ? ? nm ?
m

m n


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