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集合与函数概念知识点总结


第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归

入一个集合时, 仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的 元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法和自然语言法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

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描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 2.无限集 3.空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

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三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有不属于 A 的元素组成 的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域. 注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这 个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或 为同一函数)

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(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值 的字母无关。 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵 坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只 有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图 形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注 意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要 有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。 列表法:便于查出函数值。 图象法:便于量出函数值

5.函数单调性 (1).增函数

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设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么 就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的 单调性). (B)图象法(从图象上看升降)_

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函 数. (2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇 函数.
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注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函 数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知, 函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关于原点 对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难, 可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3) 利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析 式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注 意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用 解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小) 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递 增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区 间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

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