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2014年高考江西卷理科第15题多解赏析


?

辅教 导学 ?  

数 学 通 讯— — 2 O 1 4年 第 1 1 、 1 2期 ( 上半 月 )  

4 7  

2 0 1 4   年 高 考 江 西 卷理 科 第 1 5题 多 解 赏 析 
高   浩  
( 安 徽省涡阳县第四中学 , 2 3 3 6 0

0 )  

高 考数 学 试 题 是 命 题 专 家 依 纲 靠 本 , 科 学 设 
计 的经 典试 题 , 试 题 考 查 了 重 要 的基 础 知识 和 基  本 技能 , 而且 蕴 含着 丰 富的 数 学思 想 和 数 学 方法 .  

迮 
2。  

赏析  涉及 直线 与 圆锥 曲线相交 弦 的 中点 问  题, 常用 的方法 是 “ 点差法” , 设而不求. 解 法 具 有 


研 究试 题解 法 是 研 究 高 考 题 的重 要 方 面 , 对试 题  从 不 同角 度进行 分 析和探 究 , 研 究 出多 种 解 法. 既 
有 朴 实 自然 的解 法 , 又有 巧 妙 简 洁 的方 法. 研 究 高 

般性 , 实用性 , 简洁性 , 受 到广 大 学生 和 教 师 的 
解法 2   设 A( x 1 , Y 1 ) , B( z 2 , Y 2 ) .  

青 睐.   因为 M 是线 段 AB 的 中点 , 则Y   +Y :一 2 .  

考 题解 法 既能 培 养 学 生 学 习 的兴 趣 , 又 能 培 养 学  生 思维 的发散性 、 选 择性 、 灵活性、 深刻性 , 从 而 培 
养学 生 的数学探 究 意识.  

过点 M( 1 , 1 ) 斜率为 一妻 的直线方程为 z +  
2 y 一 3 : 0.  

本 文 选取 了 2 0 1 4年 高 考 数 学 江 西 卷 理 科 第  1 5题进 行解 法分 析 , 与 大家 进行 交 流.  
1 

r z+ 2 y一 3— 0,  

题目   过点M( 1 , 1 ) 作斜率为一去 的直线与 
厶 


2  

2  

联 立 1   . z . 2   T   y 2 = 1  消 去 z 得  
( 口 。+ 4 b   )  。 一 1 2 b 。 Y+ 9 b 。一 Ⅱ   b  = 0 .  

.  
一2 ,  

椭 圆 c:   +百 Y 一1 ( 口 >b >0 ) 相 交于 A, B两点 ,  
口  口 

若 M 是 线段 AB 的 中点 , 则 椭 圆 C的离 心 率等 于  评析 本 题 主要 考查 直 线 与椭 圆 的位 置 关 系 、  
椭 圆离 心率 的求 法 , 意 在 考 查 考 生 灵 活 运 用 所 学  知识 解决 问题 的能 力 . 椭 圆 的离 心 率 是 描 述 椭 圆  “ 扁 平 ”程 度 的一 个 重要 的量 , 求值 的关 键 是 根据 
题 目条 件 找 出 口 , b之 间 的 关 系 式 .  

由根 与 系数 的关 系知  +  : 一 

即得 口 z一 2 b z , 从 而可求 得  一  .  

解 法 3  由  — l = 一 丢 ( z 一 1 ) ' 得 6 :   : +  
【 b z x 。 4 - a 2 2 2 一  6  
口 。 ( 一  1   十  3) 。

这 道题 构 思精 巧 、 立 意深 远 , 重 点 知识 重 点考 

=口 。 b 2化简得 :  

查, 体现 了重 思维 、 重本 质 、 重 思想 方 法 的 特点 , 是 
解 析几何 的一道 好题 . 通 过对 试 题 的多 解 分 析 , 给  我 们带 来启 迪 和思考 .  
解 法 1 设 A( x 1 , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ), 于是 是 A B= 

( 丢 n   + 6   ) z 2 一 号 a 2 X +   9 口 2 一 n   6   一 o .  
设 A( x 1 , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 则 有 
3  
.  

6 Ⅱ2  
I _

二  2~ X1  

一  2‘  
? .

十 。 一— L —b 一   d* n2   h   2

。  

‘  

因为 M 是 线段 AB 的 中点 , 所以. 7 C   +z  一 2 ,  


‘ M 是 线段 AB 的中点  . z   +  一 

+ Y 2= 2 .  


j -   +  = 1 , 薯 + 荸一 1 , 两 式 相 减 得  
+ 
以 

2 , 化 简得 a  一 2 b  一 2 ( 口 。 一C   ) , . ’ . a 。 一 2 c 。 ,  
. 

C  

√2  

一  一   一才。  
‘   6 0  

- o .  

一 

赏析  直线 方 程 和椭 圆方 程联 立 , 利 用 方程 
的思 想和 一元 二 次 方 程 根 与 系数 的关 系 , 运 用 中 

即得 口  一 2 b   , 代人 口  一 b   +c 。 得离 心率 : 

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数 学 通 讯— — 2 O 1 4年 第 1 1 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 辅教导学 ?  

点 坐标 公 式 建立 a , b的关 系 , 从而 求 出离 心率 . 此 

点 的坐 标 , 利 用 中点 得 出  另一 个 点 的 坐标 , 代 入 椭  圆方 程 后 两 式 相减 , 得 出  直线 A B 的方 程 . 此 解 法 

J     l

种 解法 自然朴 实 , 体 现 了数学通 性通 法 .  
解 法 4   设 直 线 A B 的 参 数 方 程 为 

{ l   x v   , = 一 = 1 ] l + + 十 t  d t c s o . l s n   a   ’ ( f 为 参 数 ) , 代 人   a  o 十 y 百 2 一 1 , 得  源 于 圆与 圆相 交 时 , 求 两 
( 6   C O S   a十 a   s i n z a ) t  十 2 ( 6   C O S   a+ a   s i n   a ) t  
十 “。+ b :一 n   b 。: = :0 .  


  |

交 点 所 在 直 线 方 程 的 方  法. 解 法结构 优美 , 减 少 

图 1  



‘ ( 1 , 1 ) 是 A B 的中点 , . 。 . t 1 +t 2— 0 ,  
b z c 。 s   a@ a Z   s i n   一 0’ t a n   a一 一  b 2
一 一


运 算量 , 具 有实用 性 .  

? .

号 ,   点 A关 于原 点 0 的对称 点 A ( _X   , 一Y 。 ) , 则 忌 且 A ,  


解法 7   如图 1 , 设 A( x 1 , Y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 作 

即n 。一 2 b 。一 2 ( 口 。 一C   ) , 故 椭 圆 C的离心 率 g一 
2’  

k a u一 1 , 而 

k B A . k B A , 一   二  . 丝÷ 
赏析  利用 直线 的参数 方程及 参 数 的几何 意 
一  

二 

义, 使解 法具 有新 颖性 和简 洁性.  

; 一z  

解法 5   令z   一  ,   一  , 则椭 圆  十  


1 一笺) a  一b 2 ( 1 一  ) n  
一— — — — ■ 磊 _ = =   — — 一


0 ,  

1 变为圆z  十y  一1 , 直线A B :  一1  

去( z  

一一  ’  

所 以k 且 A一一  一一  i 即口 2 —2 b 2 , 所 以椭 圆 
n 



1 ) 变为直线  一1 一一去(   一1 ) , 点M( 1 , 1 )  

变为点M   (  , {) , 弦A B 变 为弦 A   B   , N M   为圆  
的弦 A   B  的 中点. . ? .  
们 又k ∥   一导, k o 一

c 的 离 心 率   一 √ 1 一   b 2 一   .  
赏析  充分 利 用 点 的关 系 、 直线 斜率 公 式和 
椭 圆方 程 等 已 知 条 件 , 自然 地得 出 n , b之 间 的关  系, 从 而求 出离 心率 .  

上 
  。  ?

.  

厶   詈× D  ( 一   厶   o ) 一  



1 ,即 a 。 一2 b   一2 ( n   一c 。 ) , 故 椭 圆 C的 离 心 率 
一  
. 

解法 8   取特值. 直线 A B: Y 一1  

妄(  一  

1 ) 与  轴 的 交 点 为 ( 3 , O ) , 令 A( 3 , O ) , 则 n一 3 . 由   中点 M ( 1 , 1 ) 得 B( 一l , 2 ) , 将 点 B坐 标 代 入 椭 圆 方 

赏析  把椭 圆的性 质类 比为 圆 的性 质 , 解 决  问题 简单 明 了 , 通 俗 易 懂. 此 解 法 把 椭 圆 转 化 为  圆, 解 法新 颖 , 思路深刻 , 体 现 了 转化 和化 归 的数 
学思 想 .  

程 得 6一 c一 

, 所 以  一  .  

解法 9   极 限 法. 视 点 M 在椭 圆上 , 则 直 线 
A B: y 一1 一一  (  一 1 ) 为椭 圆 的切线 , 点 M 为 切 

解法 6   设 A点坐 标为 A( z 。 , y 。 ) , 因为 M( 1 ,  
1 )是 线 段 AB 的 中 点 , 所 以 B( 2一 z 。 , 2一 Y 。 ) , 把 

点. 由椭 圆  +  Y 一1 在点( 1 , 1 ) 处 的切线 方程 为 
n  0  

A, B两点坐标分别代人椭圆方程  +鲁 一1 , 两  a  0 
式相减, 化简 得 。 一一  b 2 z

a  +  去 a 。    , 由 此 可 得 直  


+  一   得 一  — 一 丢 , 所 以 。 2 = 2 b z , e 一  .  
赏析  极 限思 想是建 立 在离心 率相 等椭 圆的 

质 为根据 , 巧妙地 得 出切 线方 程 , 从而 得 出 直线  线 A B 的 方 程 :   = ~   b 口   2   z +   丢 口 。  , 于 是 一   b n z 一   一  性 的斜 率 , 找出 a , b之 间 的关 系 , 从 而 求 出离 心 率 .  

一  

即b 。 一 1“ z




代入 口 z —b z +f z 得 离心 率 一 
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 —0 8 —1 5 )  

2‘  

赏 析  利 用 点 与点 之间 的关 系 , 设 其 中一 个 


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