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2014年新课标人教A版必修1数学第三章函数的应用章末整合提升随堂优化训练课件


章末整合提升 专题一 一元二次方程根的分布 【例1】是否存在这样的实数 k,使得关于 x 的方程 x2+(2k -3)x-(3k-1)=0 有两个实数根,且两根都在 0 与 2 之间?如 果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明理由. 解:令 f(x)=x2+(2k-3)x-(3k-1).由条件,得 ?Δ=?2k-3?2+4?3k-1?≥0, ? ?f?0?=1-3k

>0, ?f?2?=4+2?2k-3?-?3k-1?>0, ? ?0<-2k-3<2, 2 ? ?4k2+5≥0, ? ? 1 ?k<3, 即? ?k>1, ? 1 3 - <k<2, ? ? 2 此不等式无解.即不存在满足条件的 k 值. 本题中方程的两个根都在 0 与 2 之间,根据图 象,可知:除满足上述条件外,还要考虑二次函数的对称轴在 区间(0,2)内.对于含参数的方程的根的情况进行讨论时,要做到 不重不漏. 【互动与探究】 1.关于 x 的一元二次方程 5x2-ax-1=0 有两个不同的实 根,一根位于区间(-1,0)内,另一根位于区间(1,2)内,则实数 a ? 19? ?4, ? 2? ? 的取值范围为____________. 2.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两实根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在 区间(1,2)内,求实数 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求实数 m 的取值范围. 解:(1)抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在 区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图(如图 D27),得 图 D27 ? ?f?0?=2m+1<0, ?f?-1?=2>0, ? ?f?1?=4m+2<0, ? ?f?2?=6m+5>0, 1 ? ?m<-2, ? ?m∈R, 解得? 1 ?m<-2, ? ?m>-5, 6 ? 5 1 ∴-6<m<-2. (2)抛物线与 x 轴的交点均在区间(0,1)内.列不等式组,得 ? ?f?0?>0, ?f?1?>0, ? ?Δ≥0, ? ?0<-m<1 1 ? ?m>- , 2 ? 1 ? ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0. 1 ∴-2<m≤1- 2. 专题二 函数的零点与方程的根的关系 【例2】已知函数 f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1] 上有零点,求实数 a 的取值范围. 解:方法一:当a=0 时,f(x)=x-1,令f(x)=0,得x=1, 是区间[-1,1]上的零点. 当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[-1,1]上有零点,分为三种情 况: ①方程 f(x)=0 在区间[-1,1]上有重根, 1 1 令 Δ=1-4a(-1+3a)=0,解得 a=-6或 a=2. 1 当 a=-6时,令 f(x)=0,得 x=3,不是区间[-1,1]上的零点. 1 当 a=2时,令 f(x)=0, 得 x=-1,是区间[-1,1]上的零点. ②若函数 y=f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点, 但不是 f(x) =0 的重根, 1 令 f(1)· f(-1)=4a(4a-2)≤0,解得 0<a≤2. ③若函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,则 ?a<0, ?a>0, ? ? 2 2 Δ =- 12 a +4a+1>0, Δ =- 12 a + 4 a + 1>0 , ? ? ? ? 1 1 或?-1<-2a

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