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高中物理竞赛培训:第1部分《力、物体的平衡》讲义(含答案)


第一部分 力&物体的平衡 第一讲 力的处理 一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量” 。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c = 的夹角。 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角β = arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。 名词: c 为“被减数矢量” , b 为“减数矢量” , a

为“差矢量” 。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起 始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的时量,即是 差矢量。 差矢量大小:a = ? ? ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ,其中α 为 a 和 b ? ? ? ? b sin ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ? ? ? ? ? ? ? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos? ,其中θ 为 c 和 b 的夹角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 大小。 解说:如图 3 所示,A 到 B 点对应 设为 v A 、 v B 和 v C 。 根据加速度的定义 a = 1 1 T 内和在 T 内的平均加速度 4 2 1 1 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? vt ? v0 v ? vA ? 得: a AB = B , t t AB ? ? vC ? vA ? a AC = t AC 由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v 1 = v B - ? ? ? ? ? ? ? v A , ?v 2 = v C - v A ,根据三角形法则,它们在图 3 中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已 被拉伸成一条直线) 。 本题只关心各矢量的大小,显然: vA = vB = vC = 2 ?R ,且: ?v 1 = T 2 vA = 4 ?R 2 2?R , ?v 2 = 2 v A = T T 所以: a AB = ?v1 t AB 4 ?R 2 2?R ?v 2 8 2?R T = 8 ?R 。 T = = , a AC = = 2 T T T2 t AC T 2 4 (学生活动)观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答:否;不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a × b = c 名词: c 称“矢量的叉积” ,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。意义: ? ? ? ? ? ? ? ? ? c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的面积。 叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则 确定方向,如图 4 所示。 显然, a × b ≠ b × a ,但有: a × b = - b × a ⑵ 点乘 表达: a · b = c 名词:c 称“矢量的点积” ,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理(或分割成 RtΔ )解合力的大小 正弦定理解方向 三、

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