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1.3.2《球的体积与表面积》上课用


1.2 空间几何体的 表面积与体积
1.3.2 球体的表面积与体积

我们大家对地球都比
较熟悉,其半径约为

6371千米,其表面积
是多少?体积有多大

?你了解我们的邻居
金星吗?金星的半径

大约多少?其表面积
是多少?体积有多大


呢?

知识复习:
V ? Sh
柱体的体积

多面体的表面积

圆柱的表面积

S ? 2? R 2 ? 2? Rl

1 V ? Sh 3

几何体的体积 与表面积 椎体的体积 圆锥的表面积

S ? ? R 2 ? ? Rl

1 V ? (S ? S '? SS ')h 3

台体的体积

圆台的表面积

S ? ? (r 2 ? R2 ) ? ? (r ? R)l

球的体积

在物理学里面,我们怎样求一个小球的体积?

阿基米德定律

V



?V

排开水

影片演示球的体积1
http://www.jtyhjy.com/edu/p pt/ppt_playVideo.action?me diaVo.resId=55c2c9edaf508f 0099b1c2df

H h

影片演示球的体积2

http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo. action?mediaVo.resId=55c2c9f5af508f0099b1c 2e1

4 定理:半径是R的球的体积 V ? ?R 3 3 A
R
O

地球的体积是多少呢?

典例展示
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.

4 3 4 5 3 125 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 3 2 6

练习1:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 3 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ? x ] ? 142 3 2 3
3

5 3 142 ? 3 x ?( ) ? ? 11 .3 2 7.9 ? 4?

x ? 2.24

2 x ? 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.

球的表面积

S球表 =4? R

2

(

R 表示球半径)

典例展示
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.

求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
R O

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
S 球 ? 4?R 得:
2

, S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R 2

? S 球 ? S圆柱侧
(2) S全 =4? R2 ? 2? R2 ? 6? R2
S 球 ? 4?R 2

? S球

2 ? S圆柱全 3

思考:它们的体积有什么关系?

2 V球 = V柱 3

与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.

典例展示
例3.求棱长为

a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1

分析:正方体的中心为球的球心, 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为

4 3 所以球的体积为 ? a . 3
表面积为

2a,

B1

4? a .
2

两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何 体的表面上.

例4.求棱长为 a 的正方体的外接球的体积和表面积.
分析:正方体的中心为球的球心, 正方体的体对角线为球的直径。
D C B D1 A1

【解析】正方体的外接球的直径为 3a,
4 3a 3 3 3 ? ( ) 所以球的体积为 ? ?a . 3 2 2

A

O
C1 B1

表面积为 4? ( 3 a) 2 ? 3? a 2 2

典例展示

由三视图求几何体的体积和表面积 2r

例5.(2015年新课标I)圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则r=( ) ( A) 1 ( B) 2 ( C) 4 ( D) 8

r
正视图

2r
俯视图

【解析】由正视图和俯视图知, 该几何体是半球与半个圆柱的组 合体,圆柱的半径与球的半径都 为r,圆柱的高为2r,其表面积为 1 2 2 ? 4? r ? ? r ? 2r ? ? r ? 2r ? 2r 2

2r

r
正视图

= 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ,解得r=2,故选B.
【答案】B

r
2r
俯视图

?

小结:已知空间几何体的三视图求几何体的 体积和表面积时,首先根据三视图确定几何 体的结构特征,再由三视图确定几何体的底 面的形状和各边长,几何体的高分别是多少

,再由公式计算求解。

练习:(2015年新课标II) 一个正方体被一个平面截 去一部分后,剩余部分的 三视图如右图,则截去部 分体积与剩余部分体积的 比值为( ).

正视图

侧视图

1 ( A) 8 1 ( C) 6

1 (B) 7 1 ( D) 5

俯视图

【解析】由三视图得,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,截去四面体 A ? A1B1D1,如图所示, 设正方体棱长为 a 则 VA ? A B D
1 1 1

D1

C1

A1

B1

【答案】D

1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5

1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a ? a ? a 6 6
3

1 1 3 1 3 ? ? a ? a 3 2 6

一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图

圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

圆锥 S ? ?r (r ? l )


S ? 4? R

2

各面面积之和

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体 、球体的体积

台体

1 V ? (S '? S ' S ? S )h 3

S'? 0
1 锥体V ? Sh 3

4 3 球体 V ? ? R 3

二、与球的组合体
1.如果一个长方体的八个顶点落在同一个 球面上,那么称这个长方体为球的内接长 方体,称球为长方体的外接球. 2.球心为长方体的对角线的中点.
球的直径=长方体的对角线长 3.长方体的长宽高分别为a,b,c,则其

O

对角线? a ? b ? c
2 2

2

4.正方体的棱长为

a
3a.

则外接球的直径长为

课后练习

课后习题


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