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几何证明选讲高考题型汇编


几何证明选讲 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (广东 10 年) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥AB, CB⊥AB, AB=AD=a,CD=

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2

15 . (广东 10 年)在极坐标系( ρ, ? ) ( 0 ? ?<2? )中,

曲线

a 2

.

? ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为 (1, ) 2

.

w_w*w. k_s_5 u.c*o*m

5 2 ? ? ? ? 5 cos? ?x ? t 14 . (广东 11 年)已知两曲线参数方程分别为 ? ( 0 ? ? < ? )和 ? 4 ? y ? sin ? ? ?y ? t
(t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? 1,

? ? ?

2 5 5

? ? ?。 ?

15. (广东 11 年)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD, BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 7:5 14. (广东 12 年) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 t ?x ? 1? ? 2 C2 : ? (t ? x ? 5 cos ? ? ? ? y ? ? 2 t 是参数) C2 : ? (? 是参数, 0 ? ? ? )和 ,它们的交点坐 2 ? y ? 5 sin ? ? ? 2 ?
标为 (2,1) _______.

15.(广东 12 年)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 想切于点 B ,

D 是弦 AC 上的点, ?PBA ? ?DBA ,若 AD ? m, AC ? n ,
则 AB ? __ mn _____。

1

14. (13年广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正 半 轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
B C

o s ?x ? 1? c ? ? ? y ? s i ?n


E A 图 3 D

15. (13 年广东)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,

BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?

21 2



14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ?y ? 4 ? t

(t 为参数) ;以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c 的极坐标 方程为 ? ? 4 2 sin(? ?

?
4

) .则直线 l 和曲线 C 的公共点有

1



15.(几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A ,

直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 2 , ?PAB ? 120 ,
?

则圆 O 的面积为

4?



14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数 力程是 ?

? x ? 3 ? cos? ? y ? 1 ? sin ?

(θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则

圆心 C 的极坐标是

(2, ) . 6

?

15.(几何证明选讲选做题)如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,AB 为⊙O 的直径,直线 MN 切⊙O 于 D,

?MDA ? 60? ,则 ?BCD = 150 ?
14. (几何证明选讲选做题)



如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 ,则 ?DFP ? ________. 15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

? 6
2

在极坐标系中,圆 ? ? 1 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 2 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 ? ? 则 直 线 l 极 坐 标 方 程 为

?

?



?
3

( ? ? R )垂直, 、 ) C1

2 ? s ?i ? n (? 6


?

A 15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 AD, AC 于点 E , F . 若 AD ? 3 AE ,则 AF : FC ? 1: 4 .

? cos ? ? 3? sin ? ? 1 )

D ? ( ) 或 2 1 ? c o ?? s ( ? E 3 F M l
第 15 题图

B

14. (坐标系与参数方程)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C :

1?2cos? ?xy? ?1?2sin?

,C E F

则 C 上各点到 l 的距离的最小值为__ 2 2 ? 2 _____. 15. (几何证明选讲)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与△ABC 的两边 分别交于 E , F 两点,?ACB ? 60 , 则 EF ?
?

A .
第 15 题图

B

2 3

14.(几何证明选讲选做题) 如图 2,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是
C A P O

B

2 2

.

图2

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ,

(? 为参数 ), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ? ? 2,

轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得 的弦长是

2

.

14 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 直 线 2 ? cos ? ? 1 与 圆 ? ? 2 c o? s相交的弦长为

3



15.(几何证明选讲选做题)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两 条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D .过 点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E , 与 AB 相交于点

3

4 3 . F , AF ? 3 , FB ? 1 , EF ? ,则线段 CD 的长为 3 2 ? x ? 1 ? cos? ⒕(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数, ? y ? sin ?
,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 0 ? ? ? 2? ) 极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos? .

⒖(几何证明选讲选做题)如图, AB 为圆 O 的直径,

D

C

C 为圆 O 上一点, CD 为圆 O 的切线, AD ? CD 。
若 AB ? 5 , AC ? 4 ,则 AD ?

16 5



A

O

?

B
线 4x+

?x=1-2t ? 14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线? (t 为参数)与直 ?y=2+3t ?

ky=1 垂直,则常数 k=_-6_______. 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切 点为 A,直线 PO 交圆 O 于 B、C 两点,AC=2,∠PAB=120° , 则圆 O 的面积为___4π

14. (几何证明选讲选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E , EF ? DB , 垂足为 F , 若圆 O 半径为 2, AE ? 1 , 则

DF ? DB ? ____3_.

15. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ,曲线 C 2 的极坐 标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R) ,曲线 C1 , C2 交于 A, B 两点,则 AB ?

3 2
A O B

14. (几何证明选讲选做题)如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A , 且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长线于点 D ,

CM ? MN ? ND . AD 的长等于__ 2 7 ___

__ cm .

D

N

M 第 14 题图

C

15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的方程为 ?

?x ? 1? t (t为参数) , ? y ? 1? t

4

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 1 , 则圆 C 上的点到直线 l 的最短距离等于

2 ?1

.

14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

?x ? t ? 2 , ? y ? 1 ? 2t

( t 为参数)与曲线 C2 : ? 为 4 .

? x ? 3 cos ? ,( ? 为参数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长 ? y ? 3 sin ?
O A E C
(第 15 题图)

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径, PB, PE 分别 切圆 O 于 B, C ,若 ?ACE ? 40 ,则 ?P =__ 80 _______.
? 0

B

P

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2 ,

? ?

??

? ,曲线 C 的方程 4?

为 ? ? 4 sin ? , 则 OA ( O 为 极 点 ) 所 在 直 线 被 曲 线 C 所 截 弦 的 长 度 为 __ 2

2 ____

.
P

15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示,过圆 C 外一点 P 做一条 直线与圆 C 交于 A, B 两点, BA ? 2 AP , PT 与圆 C 相切于

A

T 点.已知圆 C 的半径为 2 , ?CAB ? 30? ,则 PT ? __3____

.

C

T

B ? x ? 2 ? cos? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) 图5 , ? y ? sin ?

则曲线 C 上的点到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最 大值为___3______. 15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB ? 6cm ,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC, 若 ?CPA ? 30? ,则 PC=___ 3 3. ________. 14. 在极坐标系中,直线l的方程为? sin ? ? 3, 则点(2, )到直线l的距离为

?

6

2 。

15.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,

5

则圆 O 的半径等于

5



C A D O B

14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的方程为 ?

?x ? t ?1 (t 为参数) ,以坐标原点为 ? y ? t ?1

极点,x 轴正方向为极轴的极坐标中,圆的极坐标方程为 ? ? 2 ,则 l 与该圆相交所得弦的 弦长为___ 2 2 ______. 15. (几何证明选讲选做题)如图 1, A , B 是圆 O 上的两点,且 OA ? OB , B C D

OA ? 2 , C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长 BC 交圆 O 于点 D ,
3 5 _____. 则 CD ? ___ 5
14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ? _____2_______. 15. (几何证明选讲选做题) 已知圆 O 割线 PAB 交圆 O 于 A, B ( PA ? PB) 两点, 割线 PCD 经 过 圆 心 O ( PC ? PD) , 已 知 PA ? 6 , AB ? 7 O

A

? x ? 2 ? t, 图 1 (t ? y ? ?1 ? t

? x ? 3 cos ? ( ? 为参数 ),则曲线 C1 与 C2 的交点个数为 ? y ? 3sin ?

1 , PO ? 10 , 则 圆 O 的 半 径 是 3

2 5



14.(几何证明选讲)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D,且 AD=3DB,设 ?COD ? ? ,则 tan
2

?
2

=____

1 ____. 3

15.(坐标系与参数方程)已知直线 l : ? cos? ? ? sin? ? 4 , 圆 C : ? ? 4 cos? , 则直线 l 与圆 C 的位置关系是_相交_______.

? x ? 4t 2 14. (坐标系与参数方程选做题)若点 P(3 , m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t 为 ? y ? 4t
参数)上,则 | PF |? 4 . C
6

P

A

O

B

15. (几何证明选讲选做题)如右图, O 是半圆的圆心, 直径 AB ? 2 6 , PB 是圆的一条切线,割线 PA 与 半圆交于点 C , AC ? 4 ,则 PB ?

2 3



14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆 C : ?

? x = 1+ cosθ ( ? 为参数)的圆心到直线 l : ? y = sinθ
C . B E A D P

? ? x = ?2 2 + 3t ( t 为参数)的距离为 ? y = 1 ? 3t ? ?

2

15.(几何证明选讲选做题)如图,PC 切⊙O 于点 C,割线 PAB 经过

24 圆心 O,弦 CD⊥AB 于点 E,PC=4,PB=8,则 CD ? __ _________. 5
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 M (2,

?
3

?? ) 到直线 l : ? sin(

?
4

)?

2 的距离为 2

W.

6 2

.k

15. (几何证明选做题) AB 是圆 O 的直径, EF 切圆 O 于 C , AD ? EF 于 D ,

AD ? 2 , AB ? 6 ,则 AC 的长为

2 3



14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点

?? ? ? 2 2, ? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程 4? ?



? cos ? ? 2

.

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 , 过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D , 则 ?DAC ?

30?

.

D

C

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆ρ =6cosθ 的 圆 心 和 点 (6 2, ) 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 _ ρ sin θ -2 ρ cos θ

A

B

l

?

4

+6=O , _______, 15.(几何证明选讲选做题)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 PB =1,PD =3,
7

O



BC 1 的值为_ ___ AD 3
2 2

13,已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y =25. (1)圆 C 的圆心到直线,的距离为_5___. (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为__

1 __. 6

14.在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ?

x?2cos ? ? (θ 为参数) ,以原点 O 为极点,以 ? ?y ?2?2sin

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心的极坐标为

? ( 2, ) 2



14. (几何证明选讲选做题)如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线,B、C 为 切 点,且 OC=3 , AB=4 , 延长 AO 到 D 点, 则△ABD 的 面积 是 _

48 __________ 5
? x ? 2t ? 2a ? y ? ?t

15.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ?

(t 为参数) , 曲线 C2 : ?

? x ? 2 cos B (θ 为参数). 若曲线 C1、C2 有公共点, 则实数 a 的 ? y ? 2 ? 2 sin ?

?5 ? a ? 2 ?5 取值范围___ 2 ________
14. (坐标系与参数方程选做题)过点 (2, _ ? sin ? ? 3 _.

?
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为

15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , 直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 2 , ?PAB ? 120 ,
?

则圆 O 的面积为

4?

A . B P O C

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距 离是____1_________.

A E D C

15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是

B

F

8

BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则

BF ? FC

1 2

.

14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则圆 C 上点到直线

l:

? cos? ? 2? sin ? ? 4 ? 0 的 最 短 距 离 为


P C

A O ·

B

5 ?1

15. (几何证明选讲选做题)如图 3, PAB、 PCD 为⊙O 的两条割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11, AC ? 2 ,则 BD 等于 6 . 图3 D

9


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