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第一讲 相似三角形的判定及有关性质(4)


复习回顾 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例。 推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例。 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两 边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似 A?
A D E

B?

>C

C?

B

P(9)2. 在△ABC中,作平行于BC的直线交AB于 D,交AC于E.如果BE和CD相交于O,AO和DE相 交于F,AO的延长线和BC相交于G。证明: BG DF A (1) ? ; (2) BG ? GC. GC FE
BG AG GC BG DF (1) ? ? ? ? DF AF FE GC FE
D F O E

BG OG GC ( 2) ? ? B G FE OF DF BG FE ? ? GC DF 2 2 BG ? GC ? BG ? GC. BG DF ? 作业1.2 GC FE

C

例2 如图,圆内接△ABC的角平分线CD 延长后交圆于一点E,
EB DB 求证: EC ? CB .

证明:由已知,可得 ?ACE ? ?BCE ? ?ACE与?ABE是同弧上的圆周角 .
? ?ACE ? ?ABE ? ?BCE ? ?ABE 又? ?BED ? ?CEB ? ?BED ∽ ?CEB.
EB DB ? ? . EC CB
E D A

B

C

判定定理2 对于任意的两个三角形,如果一个三 角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

A?B? A?C ? 已知 : 在?ABC 和?A?B?C ?中.?A ? ?A?. ? . AB AC 求证 : ?ABC ∽ ?A?B?C?
A

A?

D

E

B?
C

C?

B

法一:采用定理一证明思路.

AD ? A?B? DE // BC

判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

A?B? A?C ? 已知 : 在?ABC 和?A?B?C ?中.?A ? ?A?. ? . AB AC A 求证 : ?ABC ∽ ?A?B?C?
法一:截取AD= A?B ?,作DE//BC.

? ?ABC ∽ ?ADE

D

E

AD AE AC AE B ? ? . 即 ? . AB AC AB AD A?B? A?C ? AC A?C ? ? AE ? A?C ? . ? ? .即 ? . AD A?B? AB AC AB A?B? B? ? AD ? A?B?, ? AE ? A?C?.

C

A?
C?

? ?A ? ?A?.

(边,角,边)

? ?ABC ∽ ?A?B?C? =

? ?ABC ∽ ?A?B?C?

判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

A?B? A?C ? 已知 : 在?ABC 和?A?B?C ?中.?A ? ?A?. ? . AB AC A 求证 : ?ABC ∽ ?A?B?C?
思考:此题有别的解法吗? 若截取AD= A?B ? ,AE= A?C ? 呢?
D E

B? A?B? A?C ? ? ? . 且AD ? A?B?, AE ? A?C?. AB AC AD AE ? ? . 故只须DE//BC即可。 AB AC

则?ADE ∽ ?A?B?C? = 只要?ABC ∽ ?ADE 即得?ABC ∽ ?A?B?C?

B

C

A?
C?

引理 当DE // BC时, 有 AD ? AE . 思考: 如果一条直线截三角形的两边(或两边 AB AC 的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条 AD AF 当 ? 时, DE // BC 是否成立呢 ? 直线平行于三角形的第三边。 AB AC
AD AE 已知 : ?ABC 中, 点D, E分别在边 AB , AC 上, 且 ? AB AC

求证 : DE // BC.

证明: 过D作直线DE ? // BC, 交AC于点E ?.则
AD AE ? ? . AB AC AD AE ? ? . (?) AB AC
B D

A

E

E?
C

? AE ? AE ?.

同一法 因此点E与点E?重合.即直线 DE?与直线DE重合. 所以 DE // BC.

在探究数学问题的过程中,应当做到“步步有 据”。 有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产 生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题 称为引理. 当直接证明比较困难时,用间接法.

“同一法”是一种间接证明方法. “同一法”证明问题时:先作出一个满足命 题结论的图形,然后证明图形符合已知条件,确 定所做图形与提设条件所指的图形相同,从而 证明命题成立. 用 “同一法”证明判定定理2

例3.如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD, 点E在△ABC外, ?EBC ? ?ABD, ?ECB ? ?DAB. 求证 : ?DBE ∽ ?ABC.
证明:在△DBE与△ABC中,

?DBE ? ?EBC ? ?CBD, ?ABC ? ?ABD ? ?DBC.

? ?ABD ? ?EBC, ? ?DBE ? ?ABC. (1)
又?EBC ? ?ABD, ?ECB ? ?DAB.

A

? ?ABD ∽ ?CBE.
BE BC BE BD ? ? .即 ? ? . (2) BD AB BC AB
B

D
C

由(1)(2)及判定定理2知 ?DBE ∽ ?ABC.

E

作业(P19)1.2.


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