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2014届高考数学一轮复习 第61讲《轨迹问题》热点针对训练 理


第61讲 轨迹问题
1.(2012·安徽省皖南八校联考)若动点 P 到定点 F(1,-1)的距离与到直线 l:x-1 =0 的距离相等,则动点 P 的轨迹是( D ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 解析:因为定点 F(1,-1)在直线 l:x-1= 0 上,所以轨迹为过 F(1,-1)与直线 l 垂直的一条直线,故选 D. 2 2 2.(2012·山西省太

原五中高三 9 月)实数变量 m,n 满足 m +n =1,则坐标(m+n, mn)表示的点的轨迹是( D ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线的一部分 解析:设 x=m+n,y=mn, 2 2 2 2 则 x =(m+n) =m +n +2mn=1+2y, 且由于 m,n 的取值都有限制, 因此变量 x 的取值也有限制, 所以点(m+n,n)的轨迹为抛物线的一部分,故选 D. 3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点 O,点 Q 是圆内异于 O 点的一定点,点 A 是圆周上一点.把纸片折叠使点 A 与 Q 重合,然后展平纸片,折痕与 OA 交于 P 点.当点 A 运动时点 P 的轨迹是( B ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:由条件知|PA|=|PQ|, 则|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R>|OQ|), 所以点 P 的轨迹是椭圆,故选 B. 2 2 4.(2012·甘肃省天水市预测)已知点 A(-1,0)和圆 x +y =2 上一动点 P,动点 M 满 → → 足 2MA=AP,则点 M 的轨迹方程是( C ) 3 2 2 2 2 A.(x-3) + y =1 B.(x- ) +y =1 2 3 2 1 3 2 1 2 2 C.(x- ) +y = D.x +(y- ) = 2 2 2 2 解析:设 M(x,y),P(x0, y0), → → 由 2MA=AP,则 2(-1-x,0-y)=(x0+1,y0-0), 即(-2-2x,-2y)=(x0+1,y0), ?x0=-2x-3 ? 所以? . ? ?y0=-2y 2 2 又点 P(x0,y0)在圆 x +y =2 上, 2 2 2 2 所以 x0+y0=2,即(-2x -3) +(-2y) =2, 3 2 2 1 化简得(x- ) +y = ,故选 C. 2 2 → → → 5.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ 1OA+λ 2OB(O 为原 点),其中 λ 1,λ 2∈R,且 λ 1+λ 2=1, 则点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0 . 解析:设 C(x,y), → → → 则OC=(x,y),OA=(3,1),OB =(-1,3). ? ?x=3λ 1-λ 2 → → → 因为OC=λ 1OA+λ 2OB,所以? . ? ?y=λ 1+3λ 2 又 λ 1+λ 2=1,所以 x+2y-5=0. 6.(2013·洛阳模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于
1

A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点 P
3 2 x +3y2=1(x>0,y>0) . 2 解析:设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, → → 由BP=2PA,得(x,y-b)=2(a-x,-y), 3 即 a= x>0,b=3y>0. 2 因为点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,所以点 Q(-x,y), → → 故由OQ·AB=1 ,得( -x,y)·(-a,b)=1, 即 ax+by=1. 3 3 2 2 将 a= x,b=3y 代入上式得所求的轨迹方程为 x +3y =1(x>0,y>0). 2 2 2 2 7.(2013·广东高州市模拟)点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹 2 2 方程是 (x-2) +(y+1) =1 . 解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y), 的轨迹方程是





→ →

?x=x +4 ? 2 则? y -2 ?y= 2 ?
1 1 2 2

,即?

?x1=2x-4 ? ? ?y1=2y+2
2



代入 x +y =4,得(2x-4) +(2y+2) =4, 2 2 化简得(x-2) +(y+1) =1. 8.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, M =e(e 为椭圆 |OM| C 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 解析:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c, 由已知得?
?a-c=1 ? ? ?a+c=7

2

,解 得?

?a=4 ? ? ?c=3

,所以 b =7,

2

所以椭圆 C 的方程为

+ =1. 16 7 (2)设 M(x,y),P(x ,y1),其中 x∈[-4,4]. x2+y2 2 1 由已知得 2 =e . x +y2 3 2 2 2 2 而 e= ,故 1 6(x +y1)=9(x +y ).① 4 2 112-7x 2 2 由点 P 在椭圆 C 上得 y1= ,代入①式并化简得 9y =112, 16 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 2 2 2 2 9.(2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知圆 C 与两圆 x +(y+4) =1,x +(y-2) =1 外切, C 的圆心轨迹方程为 L, L 上的点与点 M(x, )的距离的最小值为 m, F(0,1) 圆 设 y 点 与点 M(x,y)的距离为 n. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程. 解析:(1)两圆半径都为 1,两圆心分别为 C1(0,-4)、C2(0,2),由题意得 CC1=CC2,
2

x

2

y

2

可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,C1C2 的中点为(0,-1),直线 C1C2 的斜率 等于零,故圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线,其方程为 y=-1, 即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y=-1. (2)因为 m=n,所以 M(x,y)到直线 y=-1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等,故点 M 的轨迹 Q 是以 y=-1 为准线,点 F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线, 而 =1,即 p=2,所以,轨迹 Q 的方程是 x =4y. 2

p

2

3


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