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高中数学必修3教案讲义(全面、难点有答案)


必修 3 第一章 算法初步
一、基础精析
要点 1:算法的一些基本概念 (1)算法的概念:算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. (2)程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. (3)程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构. (4)算法的描述方式有:自然语言、程序框图、程序语言.

r />练习 1:看下面的四段话,其中不是解决问题的算法的是( ) A.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达 B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 C.方程 x2-1=0 有两个实根 D.求 1+2+3+4+5 的值,先计算 1+2=3,再由于 3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为 15

练习 2:算法的有穷性是指 A.算法必须包含输出 C.算法的步骤必须有限

( ) B.算法中每个步骤都是可执行的 D.以上说法均不对

练习 3:下面对算法描述正确的一项是(



A.算法只能用自然语言来描述 B.算法只能用流程图来表示 C.同一问题可以有不同的算法 D.同一问题不同的算法会得到不同的结果

例题 1:下列给出的赋值语句中正确的是( B ) A
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4?M

B

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M ? ?M C

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B? A?3

D

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x? y ?0

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要点 2:算法的三种基本逻辑结构 名 称 内容 顺序结构 条件结构 循环结构









练习 4:算法共有三种逻辑结构,即顺序结构、条件结构、循环结构,下列说法正确的是( A.一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合



要点 3:算法的基本语句 (1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 息 赋值语句 变量=表达式 将表达式的值赋给变量 一般格式 INPUT“提示内容” ;变量 PRINT“提示内容” ;表达式 输入信息 输出常量、 变量的值和系统信 功能

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(2)条件语句 ①IF—THEN 格式

②IF—THEN—ELSE 格式

(3)循环语句 ①UNTIL 语句

②WHILE 语句

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例题 2:如图给出的是求

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20

其中判断框内应填入的条件是 ( A) A.i>10? B.i<10? C.i>20? D.i<20?
开始

S ? 0,n ? 2,i ? 1

S?S?

1 n

n ? n?2 i ? i ?1
否 是 输 出

S
结束

练习 5:下列程序框图表示的算法输出的结果是?

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要点 4:辗转相除法与更相减损术求最大公约数 (1)辗转相除法:对于给定的两个正整数,用大数除以小数,若余数不为 0,则将小数和 余数构成新的一对数,继续上面的除法,反复执行此步骤,直到大数被小数除尽,则这时较小 的数就是原来两个数的最大公约数.

(2)更相减损术:对于给定的两个正整数,若它们都是偶数,则将它们反复除以 2(假设进 行了 k 次),直到它们至少有一个不是偶数后,将大数减小数,然后将差和较小的数构成一对新 数,继续上面的减法,反复执行此步骤,直到差和较小的数相等,此时相等的数或这个数与约 简的数的乘积即为所求两数的最大公约数.

例 3:分别用辗转相除法和更相减损术求三个数 72,120,168 的最大公约数. 解法 1:用辗转相除法 先求 120,168 的最大公约数, 因为 168 ? 120 ?1 ? 48,120 ? 48 ? 2 ? 24, 48 ? 24 ? 2 所以 120,168 的最大公约数是 24. 再求 72,24 的最大公约数, 因为 72 ? 24 ? 3 ,所以 72,24 的最大公约数为 24, 即 72,120,168 的最大公约数为 24.

解法 2:用更相减损术 先求 120,168 的最大公约数, 168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24 所以 120,168 的最大公约数为 24. 再求 72,24 的最大公约数, 72-24=48,48-24=24 72,24 的最大公约数为 24, 即 72,120,168 的最大公约数为 24.

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练习 6:分别用辗转相除法和更相减损术求两数 225 与 135 的最大公约数

要点 4:秦九韶(shao 第二声)算法

设 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a1x ? a0 , 改写为如下形式:
f ( x) ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x? ? a1 ) x ? a0 .

设 v0 ? an , v1 ? v0 x ? an?1

v2 ? v1 x ? an ? 2 v3 ? v2 x ? an ?3 ? vn ? vn ?1 x ? a0
例 4:用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? x 在 x ? ?4 时的值时分别要用多少次乘法 和加法?(结论:对于一个 n 次多项式,至多做 n 次乘法和 n 次加法; 当最高次项系数不是 1 时为 n 次乘法,当最高次项系数是 1 时为 n-1 次乘法;当常数项 a0 ? 0 时为 n 次加法 , 当 常数项 a0 ? 0 时为 n-1 次加法。 )
n n?1 例 5: (2005 年高考北京卷理 14)已知 n 次多项式 P ??? an?1x ? an ,如 n ( x) ? a0 x ? a1 x

果在一种算法中,计算 x0 k (k=2,3,4,…,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共 需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 P 10 ( x0 ) 的值共需要 -1) .利用该算法,计算 P 3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 P 10 ( x0 ) 的值共需要 算.
n n?1 解析:秦九韶算法适用一般的多项式 P ??? an?1x ? an 的求值问题.直接法 n ( x) ? a0 x ? a1 x

次运算. 次运

下面给出一种减少运算次数的算法: P 0 ( x) ? a0 , P k ?1 ( x) ? xP k ( x) ? ak ?1 (k=0, 1,2,…,n

乘法运算的次数最多可到达

( n ? 1) n , 加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减 2

少到最多 n 次,加法最多 n 次.答案:65;20.

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练习 7: 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? x ? 3 在 x ? ?4 时的值时分别要用多少 次乘法和加法?

练习 8:用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? x ? 2 在 x ? ?4 时的值时分别要用多少 次乘法和加法? 例 6:用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 12 ? 35x ? 8x 2 ? 6 x 4 ? 5x 5 ? 3x 6 在 x ? ?4 时的值 时, V3 的值为 ( A. -144 ) B. -136 C. -57 D. 34

练习 9:用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 12 ? 35x ? 8x 2 ? 79x 3 ? 6x 4 ? 5x 5 ? 3x 6 在 x ? ?4 时的值时, V3 的值为 ( A. -845 ) C. -57 D. 34

B. 220

要点 5:进位制

1 ? ? ? k 之间的数字构成的. (1) k 进制数的基数为 k , k 进制数是由 0、
(2)将十进制的数转化为 k 进制数的方法是除 k 取余法. (3) 把k进制数an an?1 ?a1a0 (0 ? an ? k ,0 ? an?1 ,?a1, a0 ? k )化为十进制数的方法为

anan?1 ?a1a0(k ) ? ank n ? an?1k n?1 ??? a1k ? a0 .

例 7:将下列数进行转换 (1) (2)

10202 (3) ? ________ (10) 101 ( 10) ? ________ (8)
4 2 0

解: (1)10202(3) ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 101(10) (2)用 8 反复去除 101,直到商为 0 止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数 101 的 8 进制表示

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8 8

101 余数 12 8 1 0 5 4 1
所以 101(10) ? 145(8)

评注:将 k 进制的数转化为 k ? 进制的数的方法是先将 k 进制的数转化为十进制的数,再将这个 数转化为 k ? 进制的数.

练习 10:若 a ? 111111(2) , b ? 210(6) , c ? 85(9) ,试判断 a, b, c 的大小关系,并将 c 化为 7 进 制的数. 解析: a ? 63(10) , b ? 78(10) , c ? 77(10) ?b ? c ? a

7 7 7

77 11 1 0

余数 0 4 1

? c ? (140)7
二、课后作业
1:分别用辗转相除法和更相减损术求三个数 72,156

4 2 2:用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? x ? 6x ? x 在 x ? 3 时的值时分别要用多少次乘法和加

法?

2 4 5 6 3: 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 12 ? 35x ? 8x ? 6 x ? 5x ? 2 x 在 x ? 2 时的值时, V4

的值为________________

4:将下列数进行转换

10202 (3) ? ________ ( 6)

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必修 3 第二章 统计
一、基础精析
要点 1:随机抽样 (1)简单随机抽样:一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样 本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简 单随机抽样.最常用的简单随机抽样方法有两种:抽签法和随机数法. (2) 系统抽样:一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干 部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样 的方法叫做系统抽样. (3) 分层抽样:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层 独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层 抽样.

例 1:为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是 ( ) B.个体 C.样本是 40 名学生 D.样本容量是 40

A.总体是 240

例 2:为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,若采用系统抽样方法较恰当?简述 抽样过程. 解 :(1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2 ,3,…,1000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3) 在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如 18. (4)以 18 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容量为 50 的样本:18,38, 58,…,978,998.

练习 1:下列抽样不是系统抽样的是(



A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点 i, 以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样。
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B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一 件产品检验。 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人 数为止。 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈。

练习 2:某校高中三年级有 1 242 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶40 的比例抽 取一个样本,那么( A.剔除指定的 4 名学生 C.随机剔除 4 名学生 ) B.剔除指定的 2 名学生 D.随机剔除 2 名学生

练习 3:从 2 005 个编号中抽取 20 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为 ( A.99 B.99.5 C.100 D.100.5



例 3:一个单位有职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁以 上的有 95 人,为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 100 名职工作 为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取? 解:用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按年龄将 150 名职工分成三层:不到 35 岁的职工;35 岁至 49 岁的职工;50 岁以上 的职工.

100 1 1 ? ,则在不到 35 岁的职工中抽 125× =25 人; 500 5 5 1 1 在 35 岁至 49 岁的职工中抽 280× =56 人;在 50 岁以上的职工中抽 95× =19 人. 5 5
(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为 (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本.

练习 4: 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的 方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( A.4 B.5 C.6
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) D.7

要点 2:频率分布 (1)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反 映样本的频率分布。 (2)频率分布直方图及其画法: ①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图 注意:①频率分布直方图中,每个小矩形的高表示的不是频率,是频率与组距之比 ②频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示频率,其和是 1。 (3)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (4)总体密度曲线.:在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加,作图时所分组数的增 加,组距减少,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 ,统计中称这条光滑曲线为总 体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信 息.实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的 ,但一般很难像函数图象那样准确地画出来 ,我 们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确。 例 4:有 100 名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有 30 人,参加篮球队的有 27 人,参加排球队的有 23 人,参加乒乓球队的有 20 人. (1)列出学生参加运动队的频率分布表. (2)画出频率分布条形图. 解:(1)参加足球队记为 1,参加篮球队记为 2,参加排球队记为 3,参加乒乓球队记为 4,得频率分布 表如下: 试验结果 参加足球队(记为 1) 参加篮球队(记为 2) 参加排球队(记为 3) 参加乒乓球队(记为 4) 合 计 频数 30 27 23 20 100 频率 0.30 0.27 0.23 0.20 1.00

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(2)由上表可知频率分布条形图如下:

例 5:已知某班 50 个同学的身高数据的分组以及各组的频数如下: [153,155) ,2;[155,157) ,7;[157,159) ,9;[159,161) ,11; [161,163) ,10;[163,165) ,6;[165,167) ,4;[167,169) ,1。 (1)试列出频率分布表并画出频率分布直方图及频率分布折线图 (2)估计这 50 个同学的身高的中位数

练习 5:有一个容量为 50 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [40,50) ,2;[50,60) ,3;[60,70) ,10;[70,80) ,15;[80,90) ,12;[90,100) ,8。 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图及频率分布折线图。 (3)估计这 50 个同学的身高的中位数

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例 6: 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据 整 理 后 , 画 出 频 率 分 布 直 方 图 ( 如 下 图 ), 图 中 从 左 到 右 各 小 长 方 形 面 积 之 比 为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?

解:(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 =0.08; 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 , 样本容量 第二小组频数 12 ? =150. 第二小组频率 0.08
17 ? 15 ? 9 ? 3 × 100%=88%. 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

所以样本容量=

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

练习 6:在样本的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,已知中间一个小长方形面积是其 余四个小长方形之和的 ,且中间一组频数为 10,则这个样本容量是

1 3



要点 3:茎叶图 (1)茎叶图:当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的 叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图. (2)画茎叶图的步骤如下:
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①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字; ②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧; ③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧. (3)注意:①用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录 与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上 的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.

例 7: 甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下,试比较这两位运动员的得分水平. 甲:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50; 乙:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51. 解:画出两人得分的茎叶图如下:

从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称,平均得分及中位数、众数都是 30 多分;乙运 动员的得分除一个 51 外,也大致对称,平均得分及中位数、众数都是 20 多分,因此甲运动员发挥 比较稳定,总体得分情况比乙好.

练习 7:下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知(



A.甲运动员的成绩好于乙运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

B.乙运动员的成绩好于甲运动员 D.甲运动员的最低得分为 0 分

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练习 8:从参加某次考试的学生中,随机抽取 20 名,成绩如下: 44,52,48,57,71,74,59,74,75,82, 61,62,68,70,71,83,63,63,84,90。 试作出上述数据茎叶图,通过茎叶图,你能得出什么结论?

要点 4:众数、中位数、平均数、标准差 (1)众数(在一组数据中,出现次数最多的数称为众数)、中位数(在按大小顺序排列的一组数 据中,居于中间的数称为中位数)、平均数(一般是一组数据和的算术平均数) (2)方差、标准差: ①方差: s ?
2

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] n

②标准差:s=

1 [(x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] . n

注意:标准差较大,数据的离散程度(波动)较大;标准差较小,数据的离散程度(波动)较 小。

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例 8:甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组 数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定. 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8

解:甲品种的样本平均数为 10,样本方差为 [ (9.8-10)2 +(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷ 5=0.02. 乙品种的样本平均数也为 10,样本方差为 [ (9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷ 5=0.24. 因为 0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.

例 9:若给定一组数据 x1,x2,…,xn,方差为 s2,则 ax1,ax2,…,axn 的方差是____________.

练习 9:在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(单 位:m/s)的数据如下: 甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

试判断选谁参加某项重大比赛更合适? 答案: s甲 ?
2

47 37 2 ? s乙 ? , 3 3

乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.

要点 5:相关关系的概念 (1)相关关系:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相 关关系. (2) 两个变量之间的关系分两类: ①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等; ②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具 有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.(还与 商品质量、居民收入、生活环境等有关)
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要点 6:两个变量的相关关系 (1)散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组 数据的图形,这样的图形叫做散点图. (2)正相关、负相关的概念:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相 关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.(注:散点图的点如果几 乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系) (3)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间 具有函数关系;如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 ,变量之间就有相关关系;如果所 有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。

例 10:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 38 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

(1)画出散点图。 (2)人体脂肪含量和年龄的关系是函数关系还是相关关系? (3)人体脂肪含量和年龄的关系是正相关还是负相关关系? 解:(1)

(2)相关关系 (3)正相关关系

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练习 10:有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食 品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出 的对此种食品口味的评价: 品牌 A B C D E F G H I J (1)作出这些数据的散点图. (2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论? 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52

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要点 7:回归直线 如果在散点图中所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。变量线 性相关关系的回归直线方程为 y ? b x ? a 。
n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? iB ?? ? i i ?1 i ?1 ? ? n , .......... ... (1) ?b ? n 其中, ? 2 2 2 ( xi ? x ) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ?? ? ? a ? y ? b x.......... .......... .......... .......... .......... .......... .....(2) ?

?

?

?

(x ?

1 n 1 n xi , y ? ? yi ) ? n i ?1 n i ?1

注意:公式(1)不用背出来,并且注意不同的参考书上会给出不同的公式形式,但计算结果 是一样的;公式(2)要背出来。回归直线一定过点 ( x , y ) .

例 11: 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解:(1)散点图如下图.

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格: i xi yi xiyi 1 15 330 4 950 2 20 345 6 900
7

3 25 365 9 125
7

4 30 405 12 150

5 35 445 15 575
7

6 40 450 18 000

7 45 455 20 475

x ? 30, y ? 399.3, ? xi2 ? 7000 , ? yi2 ? 1132725 , ? xi yi ? 87175
i ?1 i ?1 i ?1

19 / 33

故可得到 b=

87175 ? 7 ? 30 ? 399 .3 ≈4.75, 7000 ? 7 ? 30 2
^

a=399.3-4.75×30≈257. 从而得回归直线方程是 y =4.75x+257.

? ? ?1.5 x ? 2 ,则变量 x 增加一个单位时, y 平均( 练习 11:设有一个回归直线方程 y
A.增加 1.5 个单位 B.增加 2 单位 C.减少 1.5 单位



D.减少 2 单位

练习 12:已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 3 5 ) D. (2,4) 4 7

? 则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 必经过点(
A. (2,2) B. (2,0) C. (1,2)

? 练习 13:已知 x 与 y 之间的一组数据如下表,求 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a
x y 0 1 1 3 3 5 4 7

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二、课后作业
1:某校高中三年级有 1 233 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶30 的比例抽取一个 样本,那么( ) B.剔除指定的 2 名学生 D.随机剔除 2 名学生

A.剔除指定的 3 名学生 C.随机剔除 3 名学生

2:从 2 010 个编号中抽取 40 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为( A.49 B.49.5 C.50 D.50.5



3:有一个容量为 50 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [40,50) ,3;[50,60) ,2;[60,70) ,10;[70,80) ,15;[80,90) ,8;[90,100) ,12。 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布条形图; (3)画出频率分布直方图及频率分布折线图。 (4)估计这 50 个同学的身高的中位数

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4:在样本的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,已知中间一个小长方形面积是其 余四个小长方形之和的

1 ,且中间一组频数为 10,则这个样本容量是 5



5:从参加某次考试的学生中,随机抽取 20 名,成绩如下: 42,51,48,57,71,74,59,74,75,82, 61,62,68,70,71,83,63,63,84,92。 试作出上述数据茎叶图,通过茎叶图,你能得出什么结论?

6:若给定一组数据 x1,x2,…,xn,方差 6,则 3x1,3x2,…,3xn 的方差是____________.

7:有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的 数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对 此种食品口味的评价: 品牌 A B C D E F G H I J (1)作出这些数据的散点图. (2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论? 所含热量的百分比 25 35 20 19 26 20 19 24 19 14 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 51

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8: x y 0 2 2 3 3 7 7

8 ? 已知 x 与 y 之间的一组数据如上表: 则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 必经过点_____________

? 9:已知 x 与 y 之间的一组数据如下表,求 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a
x y 0 2 1 3 3 5 4 6

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必修 3 第三章 概率
一、基础精析
要点 1:必然事件、不可能事件、随机事件 (1)必然事件:一般的,我们把在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然 事件,简称必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件,简 称不可能事件; (3)确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件,简称确定事件。 (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件, 简称随机事件。 (5)确定事件和随机事件统称为事件。常用大写字母 A,B,C 等表示。

例 1:下面一些事件,哪些一定会发生?哪些一定不会发生?哪些是可能发生的? (1)导体通电时发热; (2)抛一石块,下落; (3)在标准大气压下且温度低于 0 ?c 时,冰融化. (4)在常温下,焊锡熔化; (5)掷一枚硬币,出现正面; (6)某人射击一次,中靶大于 3 小于 11 的偶数 要点 2:频率与概率的定义 (1)频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,若某一事件 A 出现的次数为 nA,则称 nA 为事 件 A 出现的频数,那么事件 A 出现的频率 f n ( A) ?

nA ? [0,1] 。 n

(2) 概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 f n ( A) 稳定 在某个常数上,把这个常数记做 P ( A) ,称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率。
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练习 1:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表所示
抛掷次数 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000 72 088 正面向上次数 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124 频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的频率的稳定值为多少?若投郑一枚硬币,出现 正面向上的概率是多少呢? 练习 2:判断 (1)事件 A 发生的频率是不变的。 ( (2)事件 A 发生的概率是不变的。 ( ) )

(3) 有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬 币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上。 ( )

练习 3:若某种彩票准备发行 1000 万张,其中有 1 万张可以中奖,则买一张这种彩票的中奖概 率是多少?买 1000 张的话是否一定会中奖?

要点 3:极大似然法 例 2: 在一个不透明的袋子中有两种球,一种白球,一种红球,并且这两种球一种有 99 个, 另一种只有 1 个,若一个人从中随机摸出 1 球,结果是红色的,那你认为袋中究竟哪种球会是 99 个?

极大似然法:如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题,那么“使得样本 出现的可能性最大”可以作为决策的准则,例如在例题 2 中我们所做的推断。这种判断问题的 方法称为极大似然法。

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要点 4:事件的关系与运算 (1) 一般地,对于事件 A 与事件 B,如果当事件 A 发生时,事件 B 一定发生,称事件 B 包 含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)记为: 任何事件都包含不可能事件. (2)一般地,当两个事件 A、B 满足: 若 B ? A,且 A ?B,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B. (3)一般地,当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件),记作 C=A∪B(或 A+B). (4)类似地,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事 件 B 的交事件(或积事件) ,记作 C=A∩B(或 AB) (5)两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即 A∩B=?,此时, 称事件 A 与事件 B 互斥。 (6)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立事件,事件 A 与事件 B 有且只有一个发生. 例 3:在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1={出现 1 点} ,C2={出现 2 点} , C3={出现 3 点} ,C4={出现 4 点} , C5={出现 5 点} ,C6={出现 6 点} , D1={出现的点数不大于 1} , D2={出现的点数大于 4} , D3={出现的点数小于 6} , E={出现的点数小于 7} , F={出现的点数大于 6} , G={出现的点数为偶数} , H={出现的点数为奇数} ,等等. (1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件? (2)如果事件 C1 发生,则一定有哪些事件发生?在集合中,集合 C1 与这些集合之间的关系怎 样描述? (3) 分析事件 C1 与事件 D1 之间的包含关系, 按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述? (4 )如果事件 C5 发生或 C6 发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?
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B?A(或 A?B)。特别地,不可能事件用Ф 表示;

练习 4:若事件 A 与事件 B 相互对立,那么事件 A 与事件 B 互斥吗?反之,若事件 A 与事件 B 互斥,那么事件 A 与事件 B 相互对立吗?

练习 5:一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶

( D )

D.两次都不中靶

练习 6:把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张,那么事件 “甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A. 对立事件 C. 必然事件 ( B )

B. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件

要点 5:概率的几个基本性质 (1)概率的加法公式:若事件 A 与事件 B 互斥,则 A∪B 发生的频数等于事件 A 发生的频数 与事件 B 发生的频数之和,且 P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式. (2)若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则: P(A)+P(B)=1. (3)如果事件 A1,A2,?,An 中任何两个都互斥, P(A1 + A2 +?+ An)= P(A1)+P(A2)+?+P(An). (4)任何事件的概率都介于 0 和 1 之间。不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1. (5)概率加法公式是对互斥事件而言的,一般地,P(A∪B)=P(A)+P(B) ? P(AB).

例 4:某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和,即为 0.21+0.23=0.44。 ( 2 )射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件,所以 射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。

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要点 6:古典概率 (1)基本事件:在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件; (2)等可能基本事件:若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本 事件为等可能基本事件; (3)古典概型:满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型 ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件的发生都是等可能的; (4)古典概型的概率: 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是

1 m ,如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P ( A) ? . n n
例 5:有 5 个小球,其中 2 个白色小球的编好分别为 1 和 2;3 个黑色小球的颜色分别为 3、4、 5。从 5 个小球中随机抽取一个,若以小球的编号为基本事件,则共有几个基本事件,这些基 本事件发生的概率相等吗?若以小球的颜色为基本事件,则有几个基本事件,这些基本事件发 生的概率相等吗?

例 6:将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数的和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两数和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有 1, 2,3, 4,5,6 这 6 中结果。 先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有 6 种结果,第 2 次又都有 6 种可能的结果, 于是一共有 6 ? 6 ? 36 种不同的结果; (2)第 1 次抛掷,向上的点数为 1, 2,3, 4,5,6 这 6 个数中的某一个,第 2 次抛掷时都可以有 两种结果,使向上的点数和为 3 的倍数(例如:第一次向上的点数为 4,则当第 2 次向上的点 数为 2 或 5 时,两次的点数的和都为 3 的倍数) ,于是共有 6 ? 2 ? 12 种不同的结果. (3)记“向上点数和为 3 的倍数”为事件 A ,则事件 A 的结果有 12 种,因为抛两次得到的 36 中结果是等可能出现的,所以所求的概率为 P( A) ? 练习 7:同时抛掷两个骰子,计算:
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12 1 ? 36 3

①向上的点数相同的概率;

②向上的点数之积为偶数的概率.

要点 7:几何概率 (1)几何概型的概念:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区 域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段, 平面图形, 立体图形等. 用 这种方法处理随机试验,称为几何概型. (2)几何概型的基本特点: ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)几何概型的概率 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件"该点落在其内部一个区域 d 内"为事件

A ,则事件 A 发生的概率 P( A) ?

d的长度(面积或体积) . D的长度(面积或体积)

例 7:取一个边长为 2 a 的正方形及其内切圆(如下图) ,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子 落入圆内的概率. ("测度"为面积) 分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的,于是豆子落 入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 解:记"豆子落入圆内"为事件 A ,则

P( A) ?

圆面积 ? a2 ? ? 2 ? . 正方形面积 4a 4

答:豆子落入圆内的概率为

? . 4
例 7-图

例 8:在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M ,求 AM 小于 AC 的概率. ("
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测度"为长度) 分析: 点 M 随机地落在线段 AB 上, 故线段 AB 为区域 D . 当点 M 位于图 3 ? 3 ? 5 中线段 AC
' 内时, AM ? AC ,故线段 AC 即为区域 d . '

解:在 AB 上截取 AC ? AC .于是
'

P( AM ? AC) ? P( AM ? AC ' )
? AC ' AC 2 ? . ? AB AB 2

答: AM 小于 AC 的概率为

2 . 2

练习 8:已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概 率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 练习 9:在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 A.

S 的概率是( 4 2 3



1 2

B.

3 4

C.

1 4

D.

练习 10: 向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于

S 的概率是_________ 2

练习 11:一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形的边上爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的 三个顶点的距离均超过 1 的概率为( A. ) C.

3 4

B.

2 3

1 3

D.

1 2

例 9: 一根杆子长 l ? 50 mm ,任意地将其折成几段,杆子折段在任何位置是等可能的,试分
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别求每段杆子的长度均不少于 10 mm 的概率。 (1)折段点为一个; (2)折段点为二个。

例 10:甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机到达, 试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

练习 12:假设你家订了一份报纸,送报员可能在早上 6:30 至 7:30 之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上 7:00 至 8:00 之间,问你父亲离开家前能够得到报纸(称为事件 A)的概率是多少?(答案 0.875)

练习 13: 假如往由直线 x ? ?1, x ? 1, y ? 0, y ? 1 围成的矩形中投入 500 颗豆子,若有 350 颗 落入下图中的阴影部分,据此估计下图中阴影部分的面积是多少?

要点 8(补充):内心、外心、重心、垂心
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(1)内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 性质:到三边距离相等。 (2)外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。 性质:到三个顶点距离相等。 (3)重心:三条中线的交点。 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的 2 倍。 (4)垂心:三条高所在直线的交点。

二、课后作业
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1:判断 (1)若事件 A 与 B 互斥,则事件 A 与 B 对立。 ( ) (2)若事件 A 与 B 对立,则事件 A 与 B 对立互斥。 ( ) (3)一个袋子里面有 4 个红球,3 个白球, ,2 个黑球,若往里面随机取一个并以小球的颜色 为基本事件,则共有 3 个基本事件,所以随机取一球,这球为白球、红球和黑球的概率都为 ( )

1 。 3

2:同时抛掷两个骰子,计算: ①向上的点数不同的概率; ②向上的点数之积为奇数的概率.

3: 向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于

S 的概率是_________ 3

4:假设你家订了一份报纸,送报员可能在早上 7:00 至 8:00 之间把报纸送到你家,你父亲离开 家去工作的时间在早上 6:30 至 7:30 之间,问你父亲离开家前能够得到报纸(称为事件 A)的 概率是多少?

5: 假如往由直线 x ? ?1, x ? 1, y ? 0, y ? 1 围成的矩形中投入 500 颗豆子, 若有 400 颗落入下 图中的阴影部分,据此估计下图中阴影部分的面积是多少?

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