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12.2.1三角形全等的判定(SSS)


2013年9月22日

学习

目标 1.掌握三角形全等的“边边边”定理. 2.了解三角形的稳定性. 3.经历探索三角形全等条件的过程,体 会利用操作、? 纳获得数学结论的过 归 程.

重点

难点

重点:学会运用角边角公理证明两个三角 形全等. 难点:正确找出判定公理所需的

三个条件.

自主学习
? 看教材P35-37内容并思考以下问题: ? 1、三边相等的两个三角形全等吗?为 什么? ? 2、如何利用三边相等作一个三角形与 已知三角形全等? ? 3、如何用尺规作图作一个角等于已知 的角?

小组交流讨论
? 不理解、不懂的问题及知识点,以小组为 单位,组长逐个同学搜集整理,然后小组 内讨论解决,仍解决不了的,注意老师提 问时的点评及同学的展示练习。
? 提示:老师点评及同学展示时注意集中精 力哦!

1. 什么叫全等三角形? 能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。 2.全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应边相等,对应角相等
3.已知 ?ABC ≌ ?A'B' C' ,试找出其中相等的边与角
A

A'

B

C

B'

C'

因为?ABC ≌ ?A'B' C' ,所以 ( )AB=A'B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1
(4)?A=?A' (5)?B=?B' (6)?C=?C'

在?ABC和?A'B' C'中,有
( )AB=A'B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1 (4)?A=?A, (5)?B=?B, (6)?C=?C, 六个条件,可得到什么结论?
A

A'

B

C

B

'

C'

答:?ABC ≌ ?A'B' C'
即:三条边对应相等,三个角对应相等的两个 三角形全等。

A

A?

B

B? C

C?

?ABC 与 ?A?B?C? 满足上述六个条件中的一部 分是否能保证 ?ABC与 ?A?B?C? 全等呢?

一个条件可以吗?
两个条件可以吗?

探究活动

一个条件可以吗?
不一定全等 不一定全等

1. 有一条边相等的两个三角形 2. 有一个角相等的两个三角形

结论: 有一个条件相等不能保证两个三角形全等.

探究活动

两个条件可以吗?
不一定全等

1. 有两个角对应相等的两个三角形

2. 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形 不一定全等
300 300

60o
60o

4cm

300 6cm

30o

6cm 结论: 有两个条件对应相等不能保证三角形全等.

探究活动
你如 能果 说给 出出 有三 哪个 几条 种件 可画 能三 的角 情形 况, ?

三个条件呢?

1. 三个角;

2. 三条边; 3. 两边一角;
4. 两角一边。

探究活动

三个条件呢?

1. 有三个角对应相等的两个三角形

300 300

60o
60o

结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。

探究活动 三边对应相等的两个三角形会全等吗? 若已知一个三角形的三条边,你能画出 画一个三角形,使它的三边长分 这个三角形吗? 别为4cm,5cm,7cm.
画法:
1. 画线段AB=4cm;

2. 分别以A、B为圆心,5cm、 7cm 长为半径作圆弧,交于点C; 3. 连结AB、AC;
∴△ABC就是所求的三角形.

探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗?
先任意画出一个?ABC,再画一个?A ' B'C ', 使A ' B'=AB,B'C '=BC ,C ' A '=CA . 把画好的 ?A ' B'C '剪下,放到?ABC上,它们全等吗?

画法:1. 画线段B'C'=BC;
2. 分别以B'、C '为圆心, 线段AB、AC为半径画弧, 两弧交于点A ';

你能得出什 么结论?

3. 连接线段A ' B'、A 'C' . 则ΔA' B'C'为所求作的三角形.

三边对应相等的两个三角形全等,简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等. 判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明 三角形全等.

结 论

三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
A

A'

B

C

' B

C'

如何用符号语言来表达呢?

在?ABC和?A'B' C'中 ' ' ∴ ∠A = ∠___ A' ? AB ? A B ? ∠B = ∠___ B' ' ' ? BC ? B C ∠C = ∠___ C' ? CA ? C' A ' ? ? ?ABC ≌ ?A'B' C' (SSS)

判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等。 结论:从这题的证明中可以看出,证明是由已 例1 已知:如图,AB=AD,BC=CD, 知出发,经过一步步的推理,最后推出结论正 求证:△ABC≌ △ADC 确的过程。 分析:要证明△ ABC≌ △ ADC,首先看这两个三角 形的三条边是否对应相等。

证明:在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD (已知 ) AC= AC ( 公共边 )
B

A D

∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)

C

证明的书写步骤:
①准备条件: 证全等时要用的间接条件要先证好; ②三角形全等书写三步骤: 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论

例1 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC, AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证: △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
证明:Q D是BC的中点, (2)由(1)得△ABD≌△ACD , A A ? BD=CD. ∴ ∠BAD= ∠CAD. 在?ABD和 ?ACD中, (全等三角形对应角相等)
? AB=AC(已知) B D ? ? BD=CD(已证) ? ? AD=AD(公共边)

C

? . B ?ABD≌ ?ACD(SSS) D

C

例2:如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, 求证:△AEB ≌ △ ADC。 证明:∵BD=CE
B

A

∴ BD-ED=CE-ED, 即BE=CD。 在△AEB和△ADC中, AB=AC
AE=AD

E

D

C

BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)

我们利用前面的结论,还可以得到作一个角等于已知角的方法。

例3:已知∠AOB 求作:∠A′O′B′=∠AOB
D B D′ B′

O

A

O′

A′

C C′ 作法:1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、 D; 2、画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交 O′A′于点C′; 3、以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于 点D′; 4、过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB

课 本 P37 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下:如图, AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动 角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么?

解:在?CMO和?CNO中,

(已知) ?OM=ON, C ? O , ?CM =CN (已知) N ?CO =CO , B (公共边) ? ? ?CMO≌?CNO(SSS) . (全等三角形对应角相等) ? ?COM=?CON.

M

A

? OC是?AOB的平分线.

思 考 A

小明做了一个如图所 示的风筝,他想去验证 B ∠BAC与∠DAC是否相等, 但手头却只有一把足够 长的尺子。你能帮助他 想个方法吗?说明你这 样做的理由。

D

C

如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, A 求证:△AEB ≌ △ ADC。
证明:∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED, 即BE=CD 在AEB和ADC中, AB=AC(已知)
B E D C

AE=AD(已知)
BE=CD(已证)

∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)

思 考
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、 B、 F在一条直线上,AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以 外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件? 解:要证明△ABC ≌△ FDE, A 还应该有AB=DF这个条件 ∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB 即 AB=FD
E D B

C

F

思 考
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、 B、 F在一条直线上,AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以 外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?
证明: AD ? FB, Q ? AD ? DB ? FB ? DB, 即AB ? FD.

A

C

在?ABC和 ?FDB 中,
? AB=FD (已证), ? ? BC=DB(已知), ? ? AC=FB (已知),

D B

? ?ABC≌ ?FDB (SSS) .

E

F

练习1:如图,AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中 有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?
解:有三组。 在△ABH和△ACH中, ∵AB=AC,BH=CH,AH=AH, ∴△ABH≌△ACH(SSS); 在△ABD和△ACD中, ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS); 在△DBH和△DCH中 ∵BD=CD,BH=CH,DH=DH, ∴△DBH≌△DCH(SSS).

A

D B

H

C

练习2
(1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。 A D
解: △ABC≌△DCB 理由如下: AB = DC AC = DB B △ABC≌ △DCB ( SSS ) A E C

BC = BC
(2)如图,D、F是线段BC上的两点,
AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD , 还需要条件 BF=DC 或 BD=FC. B D F C

练习3、如图,在四边形ABCD中, AB=CD, AD=CB, 求证:∠ A= ∠ C. 你能说明AB∥CD,AD∥BC吗? ? 证明:在△ABD和△CDB中 D AB=CD(已知) AD=CB(已知)
A B C

BD=DB (公共边) ∴△ABD≌△CDB(SSS) ∴ ∠ A=∠C (全等三角形的对应角相等)

补充练习: 如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD 的中点,且DE=BF,说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C 解: ①∵E、F分别是AB,CD的中点( 已知 ) 1 1 ∴AE= 2 AB CF= 2CD( 线段中点的定义) 又∵AB=CD ∴AE=CF D F C AD = CB DE= BF 在△ADE与△CBF中 A B E AE = CF
∴△ADE≌△CBF ( SSS ) ② ∵ △ADE≌△CBF ∴ ∠A=∠C ( 全等三角形 ) 对应角相等

请同学们谈谈本节课的收获与体会
本节课你学到了什么? 发现了什么?
有什么收获? 还存在什么没有解决的问题?

小 结
1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形; 2. 三边对应相等的两个三角形全等

(简写成“边边边” 或“SSS”);
3. 初步学会理解证明的思路, 应用“边边边”证明两个三角形全等.

作业:P43第1题、
P44第9题

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