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图论-自测题13-12-10
















2012 年 11 月 14 日 一、内容提要 1、基本概念: 图:无向图,有向图,关联,邻接,零图,平凡图,环(自回 路),平行边,结点度数(度数、入度、出度),简单图,多重图,正则图,完全图,子

图(子图、真子图、生成子图),图的同构. 路:回路,通路(初级通路,简单通路),通路的长度,闭通路(圈也即初级回路, 简单回路),结点之间的连通性与可达性,无向图的连通性,有向图的连通性(弱连通、 单向连通、强连通)。 邻接矩阵,可达矩阵,关联矩阵. 树,森林,生成树,生成树的权,最小生成树,破圈法,避圈法.有向树,根树,有序 树,根树高度,带权树,最优二叉树,求最优二叉树的方法,前辍码,求前辍码的方法. 二叉排序树。 2、主要定理: Th1 每个图 G=< ? ,E>中,结点总度数等于边数的两倍, ? deg( ? )=2|E|.
? ??

Th2

在任何图中,度数为奇数的结点个数为偶数. 以上常称为握手定理及推论. Th3 在有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和 Th4 n 个结点的无向完全图 Kn 的边数为 n(n ? 1).
1 2

有向完全图_________________ Th5 在有 n 个结点的简单图中,如果从结点 ? i 到结点 ? j 存在一条路,则从结点 ? i 到结 点 ? j 必存在一条长度小于等于 n-1 的路. 推论 在有 n 个结点的图中,若从结点 ? i 到结点 ? j 存在一条中路,则必存在一条从 ? i 到 ? j 而长度小于 n 的基本通路. Th7 在有 n 个结点的简单图中,若 ? i 到自身存在回路,则从 ? i 到自身存在长度小于等 于 n 的回路. 推论 在有 n 个结点的图中,若 ? i 到自身存在回路,则从 ? i 到自身存在长度小于等于 n 的闭通路(基本回路). ( L) Th10 设 A(G)是图 G 的邻接矩阵,则(A(G))L 中的第 i 行 j 列元素 a ij 等于 G 中联结 ? i 与 ? j 的长度为 L 的路的数目. Th20 (n,m)无向图 G 是树,当且仅当 G 连通且 m=n-1. Th21 (n,m)无向图 G 是树,当且仅当 G 中无回路且 m=n-1. Th22 连通无向图 G 是树,当且仅当 G 中任何一对结点间恰有一条基本通路. Th23 无向图 G 为树,当且仅当 G 中无回路且对 G 中任两点 ? i, ? j 间加一条边(? i, ? j) 则形成唯一的初级回路. Th24 设 T 为结点数为 n(n≥2)的无向树,则 T 中至少有两片叶子. Th30 任一棵二叉树的树叶可对应一个前辍码;任一个前辍码都对应一棵二叉树.



自测题
Ⅰ1、 单项选择题(35 题) 1、 仅由孤立点组成的图称为( 1 ) (1)零图; (2)平凡图; (3)完全图; (4)多重图. 2、 仅由一个孤立点组成的图称为( 2 ) (1)零图; (2)平凡图; (3)多重图; (4)子图. 3、 在任何图 G=< ? ,E>中,结点总度数与边数的关系为(
deg( v ) =2|E|; v ?V (3) ? deg(v) ? 2 | E |;

3

)

(1)

v?V

deg( v ) =|E|; v ?V (4) ? deg(v) ?| E | .

(2)

v?V

4、 在任何图 G 中必有偶数个( 2 ) (1)度数为偶数度的结点;(2)度数为奇数度的结点; (3)入度为奇数的结点;(4)出度为奇数的结点. 5、 设 G 为有 n 个结点的无向完全图,则 G 的边数为(3 ) (1)n(n-1); (2)n(n+1); (3)n(n-1)/2; (4)(n-1)/2 6、 设 G=< ? ,E>为无向图,| ? |=7,|E|=23,则 G 一定是( 4 ) (1)完全图; (2)零图; (3)简单图; (4)多重图. 7、 下面哪一个图是简单图( 1 ) (1)G1=<{ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4},{< ? 1, ? 2>,< ? 2, ? 1>,< ? 3, ? 4>,< ? 2, ? 3>}>; (2)G2=<{ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4},{< ? 1, ? 2>,< ? 2, ? 2>,< ? 3, ? 2>,< ? 3, ? 1>}>; (3)G3=<{ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4},{( ? 1, ? 2),( ? 3, ? 1),( ? 3, ? 4),( ? 2, ? 1)}>; (4)G4=<{ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4},{( ? 1, ? 2),( ? 1, ? 3),( ? 3, ? 3)}>. 8、 图 G 和 G’的结点和边分别存在一一对应关系是 G ? G’(同构)的( 2 (1)充分条件; (2)必要条件; (3)充分必要条件; (4)既不充分也不必要条件. 9、 含 5 个结点,3 条边的简单图有( 3 ) (1)2 个; (2)3 个; (3)4 个; (4)5 个. 10、 设 G=< ? ,E>为简单图,| ? |=n, ? (G)为 G 的最大度,则有( 1 ) (1) ? (G)<n; (2) ? (G)≤n; (3) ? (G)>n; (4) ? (G)≥n. 11、 设图 G=< ? ,E>为任意图,则有(1 ) (1)E ? ? × ? ; (2)E ? ? × ? ; (3) ? × ? ? E; (4) ? × ? =E. 12、 给定下列序列,哪一个可构成无向简单图的结点度数序列( 2 ) (1)(1,1,2,2,3); (2)(1,1,2,2,2); (3)(0,1,3,3,3); (4)(1,3,4,4,5). 13、 设图 C 为(n,m)图,且 G 的每个结点的度数不是 k 就是 k+1,若 G 中有 Nk 个 k 度结点,则 Nk 为( 4 ) (1)n/2; (2)n(n+1);

)

(3)n〃k; (4)n(k+1)-2m. 14、 完全图 K4 的所有非同构的生成子图中,有几个是 3 条边的( 2 ) (1)1; (2)3; (3)4; (4)2. 15、 设 G=< ? ,E>为无向图,u, ? ? ? ,若 u, ? 连通,则( 4) (1)d(u, ? )>0; (2)d(u, ? )=0; (3)d(u, ? )<0; (4)d(u, ? )≥0. 16、 任何无向图 G 中结点的连通关系是( 2 ) (1)偏序关系; (2)等价关系; (3)既是偏序关系又是等价关系; (4)既不是偏序关系又不是等价关系. 17、 有向图 G=< ? ,E>,其中 ? ={a,b,c,d,e,f} E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是( 3 ) (1)强连通图; (2)单侧连通图; (3)弱连通图; (4)不连通图. 18、 设 ? ={a,b,c,d},则 ? 与下面哪个边集能构成强连通图( 1 ) (1)E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c> }; (2)E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c> }; (3)E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c> }; (4)E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}. 19、 设| ? |=n(n-1),G=< ? ,E>是强连通图,当且仅当( 4) (1)G 中至少有一条路; (2)G 中至少有一条回路; (3)G 中有通过每个结点至少一次的路; (4)G 中有通过每个结点至少一次的回路. 20、 在有 n 个结点的连通图 G 中,其边数( 2 ) (1)最多有 n-1 条; (2)至少有 n-1 条; (3)最多有 n 条; (4)至少有 n 条. 21、 设 A(G)是有向图 E=< ? ,E>的邻接矩阵,其中第 i 行中值为 1 的元素数目 为( 2 ) (1)给点 ? i 的入度; (2)给点 ? i 的出度; (3)给点 ? i 的度数; (4)给点 ? j 的度数. 22、 M(G)=(mij)nxm 是无向图 G=< ? ,E>的关联矩阵, ? i ? ? 是 G 中的孤立点,则( 1 ) (1) ? i 对应的一行元素全为 0;(2) ? i 对应的一行元素全为 1 (3) ? i 对应的一列元素全为 0;(4) ? i 对应的一列元素全为 1. 23、 M(G)=(mij)nxm 是有向图 G=< ? ,E>的关联矩阵,若 mij=1,则在图 G 中( 1 ) (1) ? i 是 ej 的起点; (2) ? i 是 ei 的起点; (3) ? i 是 ei 的终点; (4) ? i 是 ei 的终点. 24、 若 G 是有 n 个结点的连通图,则其完全关联矩阵的秩为( 2 ) (1)n; (2)n-1; (3)n+1; (4)n 2. 25、 G=< ? ,E>是简单有向图,可达矩阵 P(G)刻划下列哪种关系( 1 ) (1)点与点; (2)点与边; (3)边与点; (4)边与边.

26、邻接矩阵具有对称性的图一定是( 2 ) (1)有向图; (2)无向图; (3)混合图; (4)简单图. 27、 下面哪一种图不一定是树( 3 ) (1)无回路的连通图; (2)有 n 个结点 n-1 条边的连通图; (3)每对结点间都有通路的图; (4)连通但删去一条边则不连通的图. 28、 设 G=< ? ,E>为<n,m>连通图,则要确定 G 的一棵生成树必删去 G 中的边数为(3) (1)n-m-1; (2)n-m+1; (3)m-n+1; (4)m-n-1. 29、 具有 4 个结点的非同构的无向树的数目为( 1 ) (1)2; (2)3; (3)4; (4)5. 30、 具有 6 个结点的非构的无向树的数目为( 3 ) (1)4; (2)5; (3)7; (4)8. 31、 一棵树有 2 个 2 度结点,1 个 3 度结点,3 个 4 度结点,则其 1 度结点数为(4) (1)5; (2)7; (3)8; (4)9. 32、 一个树有 2 个 4 度结点,3 个 3 度结点,其余的结点都是叶子,则叶子 数为( 1 ) (1)9; (2)8; (3)7; (4)10. 33、 设有 33 盏灯,拟用一个电源,则至少需要有五插头的接线板数为 ( 2 ) (1)7; (2)8; (3)9; (4)14. 34、 下面给出的符号串集合中,哪一个是前辍码( 1 ) (1){1,01,001,000}; (2){1,11,101,001,0011}; (3){b,c,aa,bc,aba}; (4){b,c,a,aa,ac,abb}. 35、 下面给出的符号串集合中,哪一个不是前辍码( 4 ) (1){0,10,110,1111}; (2){01,001,000,1}; (3){b,c,aa,ac,aba,abc};(4){0011,001,101,11,1}. 2、 填空题(34 题) 1、 设 G 为(n,m)图,当 时,称 G 为零图,当 时,称 G 为平凡图. 2、 在一个图中,若两个结点 ,则称这两点为邻接点,若一个结点 ,则 该点称为孤立点. 3、 图 G 为简单无向图,若 ,则 G 为完全图.无向完全图 Kn 有 条边. 4、 如图 G=< ? ,E>和 G’=< ? ’,E’>,若 ,则 G’为 G 的真子图,若 , 则 G’为 G 的生成子图. 5、 在任何图 G=< ? ,E>中,结点 ? 的度数为 ,图 G 的最大度 ? (G)= ,图 G 的最小度 ? (G)= .

6、

在任何图 G=< ? ,E>中,结点度数的总和 ? deg(v) =
v?V

;奇度结点必有

个.

7、 设图 G 有 6 个结点,若各结点的度数分别为:1,4,4,3,5,5,则 G 有条边,根据 8、 设无向图 G=< ? ,E>中,|E|=12,若 G 中有 6 个 3 度结点,其余结点度数均小于 3,则 G 中至少有 个结点,根据 . 9、 设 G 是(n,m)简单图, ? 是 G 中度数为 k 的结点,e 是 G 中一条边,由 G-? 中有 个结点, 条边,G-e 中有 条边. 10、 在有 10 个结点的图中(存在不存在) 结点总度数为 45 的图,因为 . 11、 给定图 G,则 G 的补图为 . 12、 设图 G=< ? ,E>与 G’=< ? ’,E’>,G ? G’当且仅当 且 . 答案:[ ? 和 ? ’,E 和 E’存在一一对应关系;保持关联关系.] 13、 三个结点可构成 ,个不同构的简单无向图, 个简单有向图. 14、 在无向图 G 中,结点间点的连通关系满足 性, 性和 性,是 关系. 15、 设 G=< ? ,E>为无向连通图,若| ? |=100,|E|=100,则从 G 中能找到 条 回路. 16、 在有向图 G 中,结点间的可达关系满足性质 . 17、 在 G 为简单有向图,若 ,则 G 为强连通图,若 ;则 G 为弱连通图. 18、 G 是有向图,当且仅当 G 中有一条要至少通过每个结点一次的回路,G 为 图;当且仅当 G 中有一条通过每个结点的路时,G 为 图. 19、 有向图 G 的邻接矩阵 A(G)中,第 i 行中值为 1 的元素数目为结点 ? i 的 ,第 j 行中值为 1 的元素数目为结点 ? j 的 . 20、 A(G)为图 G=< ? ,E>的邻接矩阵,结点 ? i ? ? 的出度为 ,入度为 , k (k) (A(G)) 中的第 i 行第 j 列的元素 aij 为 . 21、 G 为无向图,M(G)为其关联矩阵,则 M(G)中每一列有 个 1,每一行中元 素的和数是 ,全 0 元素行对应的结点为 . 22、 G 为有向图,M(G)为其关联矩阵,则 M(G)中每一列中的非零元素为 ,孤 立点对应行的元素 . 23、
?
?0 ?1 设图 G=< ? ,E>, ? ={ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4}的邻接矩阵 A(G)= ? ?1 ? ?1 1 0 1 0 0 1 0 0 1? 1? ? ,则 0? ? 0?

的入度 , ? 4 的出度 ,从 ? 2 到 ? 4 长度为 2 的路有 条. 一个 图称为树,树叶为 ,树的分枝点为 . 24、 若对 T 是 ,则称 T 为图 G 的生成树,树 T 中的边称为 ,称为弦. 答案: 25、 无向图 G 具有生成树,当且仅当 ,若 G 为(n,m)连通图,要确定 G 的一 棵生成树必删去 G 的 条边. 26、 设 G 为 n 个结点的连通图,G 的生成树 T 的权为 ,若 T ,则称 T 为 最小生成树. 27、 一棵树有 2 个 2 度分枝点,1 个 3 度分枝点,3 个 4 度分枝点,则有 片叶子. 28、 设 G=< ? ,E>是无向连通图,e ? E,若 e 在 G 的任何生成树中,则 e 为 G 的 ,若 e 不在 G 的任何生成树中,则 e 为 G 的 . 29、 一个有向树 T 称为根树,若 ,其中 称为树根, 称为树叶.
1

30、 5 个结点可以构成 棵非同构的无向树,又可构成 棵非同构的根树. 31、 设 T 为根树,若 ,则称 T 为 m 叉树;若 ,则称 T 为 m 叉完全树; 若 ,则称 T 为 m 叉正则树. 32、 设 T 为二叉树,树叶带权分别为 w1,…,wt,其通路长为 L(wi),则 T 的树权 w(t)= ,若 ,则称 T 为最优树. 33、 设 A 为一个序列集合,若 ,则称 A 为前辍码. 3、 判断题(正确填 T,错误填 N)(共 24 题) 1、仅由一个孤立点构成的图称为平凡图.( ) 2、仅由一个孤立点构成的图称为零图. ( ) 3、仅由 n(n≥2)个孤立点构成的图称为平凡图. ( ) 4、任一图 G=< ? ,E>的最大度 ? (G)必小于 G 的结点数.( ) 5、简单图 G 的最大度 ? (G)必小于其结点数. ( ) 6、设图 G 和图 G’,G ? G’当且仅当 G 和 G’的结点和边分别存在一一对应关系. 7、在 n(n≥2)个结点的简单图 G 中,若 n 个奇数,则 G 与其补图 G 的奇度结点数一定 相同. 8、 在 n(n≥2)个结点的简单图 G 中,若 n 个奇数,则 G 与其补图 G 的奇度结点数不 一定相同. 9、 任何具有相同结点数和边数的图都同构. ( ) 10、 在无向图中,结点间的连通关系是等价关系. ( ) 11、 若图 G 是连通的,则 G 的补图 G 必是连通图. (
_ _ _ _



12、 若图 G 不是连通的,则 G 的补图 G 也是不连通的( ) 13、在有向图中,结点间的可达关系满足自反性和传递性( ) 14、在有向图中,结点间的可达关系是等价关系. ( ) 15、 图 G 的邻接矩阵 A(G)中第 i 行里值为 1 的元素个数是结点 Ui 的入度 16、设图 G 为有向图,A(G)是其邻接矩阵,则 A(G)是对称的( ) 17、 图 G 的关联矩阵 M(G)中每一列至少有两个非零元素 ( ) 18、图 G 的可达矩阵 P(G)是刻划 G 中结点到结点的可达关系. ( ) 19、G 的可达矩阵 P(G)是刻划 G 中的结点到边的可达关系. ( ) 20、设图 G 是有 n 个结点,n-1 条边的无向图,则 G 为一棵树. ( ) 21、 任何树 T 都至少有两片叶子. ( ) 22、 设图 G 是无向连通图,G 的生成子图 T 称为 G 的生成树. ( ) 23、{0000,0010,010,011,111,01,10}是一个前辍码. ( ) 24、{000,001,01,10,11}是一个前辍码. ( ) 4、 简答题(共 12 题) 1){6,6,5,4,3,2,1}是否可以是一图的结点度数的序列?为什么? 解: 2)设 G 为有 6 个结点的图,若各结点的度数分别为: 1,2,2,3,5,5, 那么图 G 有 n 条边?根据什么? 解: 3)已知图 G 的邻接矩阵 A 如下,试画出图 G.

A= 解: 给出 G 的邻接矩阵; 求各结点的出、入度; 求从结点 G 出发长度为 3 的所有回路. 解:(1)G 的邻接矩阵 A(G)= (2)结点的入度和出度: a b c 入度 出度 (3)从 B 出发长度为 3 的回路有 条:

?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?0

1 0 0 0? 0 0 1 0? ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 1? 1 0 0 0? ?

d

d

4)求图 G=<V,E>的关联矩阵,其中 V={ ? 1, ? 2, ? 3, ? 4, ? 5} 解: M=

E={< ? 2, ? 1>,< ? 2, ? 3>,< ? 2, ? 4>,< ? 2, ? 5>,< ? 3, ? 2>,< ? 3, ? 1>,< ? 5, ? 1>,<4, ? 5>}.

5)已知图 G 和 G’的关联矩阵分别为 M 和 M’,试给出其图形表示.
?1 ?0 ? ?1 ? M= ?0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1? 0 ? 1 0 1 ? 1? ?1 ? ? ? 0? ? 0 ?1 0 1 ?1 0 ? ?? 1 0 1 ? 1 0 0 ? 0? ? ? ? 1? ,M’= ? 0 1 0 0 0 1?

解: 6) 设无向图 G 中有 12 条边,已知 G 中有 3 度结点个,其余结点的度数均小于问 G 中 至少有多少个结点?为什么? 7) 如果图 G 中度数为奇数的结点个数为 0 或 2,则 G 一定可一笔画出 吗?说明理由. 8) 若图 G 有 n 个结点,n-1 条边,G 一定是一棵树吗?为什么? 解: 9) 由给定权按 Huffman 算法构成如下的最优树. 1 2 4 6 9 12 15 18 24 46 1、 填空题 1) n≠0,m=0;n=1,m=0 2)关联一条无(有)向边;不与任何结点邻接] 3)每一对结点间都有边相连;n(n-1)/2 4) G’是 G 的子图, ? ’ ? 或 E’ ? E; ? ’=E’ ? E

5)结点 ? 关联的边数;max{deg( ? )}| ? ? ? ];min{deg( ? )|? ? ? 6) 2|E|;偶数 7)11;任图中结点总度数为边数的 2 倍 8) 9; ? deg(v) =2|E| 9) n-1;m-k;n;m-1
v?V

10)不存在;任图中结点总度数为偶数 11)由 G 中所有结点和所有能使 G 成为完全图的添加边组成的图 12) ? 和 ? ’,E 和 E’存在一一对应关系;保持关联关系 13) 4;16 14)自反;对称;传递;等价 15) 1 16)自反性,传递性 17)对任一对结点均相互可达;略去 G 中边的方向是无向连通 18)强连通;单向连通 19)出度;入度 20) A(G)中第 i 行值为 1 的元素个数;A(G)中第 i 列值为 1 的元素个数;从 ? j 到 ? j 长度 为 k 的路数 21) 2; 对应结点的度数; 孤立点 22) 1,-1;全为 0 23) 3;1;1 24)无回路的连通无向;树中度数为 1 的结点;树中度数大于 1 的结点 25)图 G 的生成子图;树枝;图 G 中的不在 T 中的边 26)G 是连通的;m-n+1 27) T 的所有权之和;为 G 的所有生成树中权最小者 28) 9 29)一条割边;一个环 30)T 恰有一个结点的入度为 0,其余结点的入度为 1;入度为 0 的结点;出度为 0 的结点 31)3;9 32)T 的每个结点的出度小于等于 m;T 的每个结点的出度恰等于 m 或零;T 的所有叶子的 层次相同 33) ? wiL(wi);在所有带权 w1,…wt 的二叉树中 w(T)最小
i ?1 t

34)没有一个序列是另一个序列的前辍 35) kn/2 36) 4 37) 1 2、 判断题 1)T 2) N 3) N 4) N 5) Y 6) N 7)Y 8) N 9) N 10) Y 11)Y 12) N 13) Y 14) N 15)N 16) N 17) N 18)Y 19) N 20)N 21) N 22) N 23)N 24) Y 3、 简答题 1) 不可以.因为任何图的结点数之总和等于边数的 2 倍,即为偶数,而此序列各数 之和为奇数.故不可为任何图的结点度数序列. 2) G 有 9 条边.根据定理:任何图中结点度数总和为边数的 2 倍. 3) 4) 5) 6)G 中至少有 9 个结点. 因为 G 中有 12 条边,根据定理,G 中所有结点的总度数为边数的二倍即 24,又已知 有 6 个 3 度结点,共 18 度,所以其余各结点度之和为 6,且每点可能的度数为 0,1,2.若 都是 2 度的尚须 3 个结点,故 G 中至少有 9 个结点. 7) 不一定.因为图 G 若能一笔,必存在欧拉回路或欧拉路,要求 G 必是连通的. 8)不一定.因为树必须是连通的且 m=n-1 的图,其中 n 为结点数,m 为边数.


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