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数列的通项公式、前n项和及关系


数列复习学案 ——等差、等比数列
一、知识网络 等差数列 定义式 通项公式 通项推导方法 等比数列

an , d , q 的限制
前 n 项和 S n 求和推导方法 等差∕等比中项

Sn =

=

Sn =

a, A, b 成等差数列,则
an

? ____________ S n ? ____________

a, G, b 成等比数列,则
an ? ____________ S n ? ____________

函数特征

d ? 0, 数列

; ;

a1 ? 0, q ? 1,数列 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 , 数列 a1 ? 0, q ? 1 ,数列 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 , 数列

; ; ; ;

d ? 0, 数列
单调性

d ? 0, 数列

q ? 1 ,数列
公式推广 下标和 性质 性质 中项公式 推广 连续 m 项 和的性质



an ? am ? ? n ? m ? d
若 m?n ? p ? q , 则

an ? am q n ? m
若 m?n ? p ? q , 则

2an ? an ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ?

an 2 ? an ?1an ?1 ? n ? 2 ?

Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m ,?
成等差数列

Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m ,?
成等比数列 (其中 Sn ? 0 )

二、热身训练

1.在等差数列 ?a n ?中,若 a3 ? 3, a6 ? 12 ,则 a12 ? ________
2.在等差数列 {an } 中,已知 a5 =8, a9 ? 24 ,则 S n =
1

3.等比数列 ? an ? 中,已知 a1 ? ?1, a7 ? ?64, 则 q ? ___, a5 ? _____, an = 4.等比数列 ? an ? 中, a3 ? 7, S3 ? 21,则 q =_____________ 三、典例剖析

3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 , 则 S13 ? ____ , a7 ? ____ 例 1. (1) 等差数列 {an } 中,
(2)若等差数列前 3 项的和为 24,最后 3 项的和为 106,所有项的和 390,该数列的 项数为______________ (3)等比数列 {an } 中, a2 a8 ? 64, a3 ? a7 ? 20, 则 an ? _________ (4)在等比数列 ? an ? 中,若

S S4 1 ? , 则 8 =_____________,若是等差数列呢? S8 3 S16

例 2.有四个数,前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四 个数的和为 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数

例 3. (1)若数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列,且 a6 , a9 , a15 是等比数列 {bn } 的连续三项, 且 b1 ? 3, 则 bn ? ________ (2)等差数列 {an } 中公差 d ? 0 , a1 ? 9d , a1 , ak , a2 k 成等比数列,则 k = (3)若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列. ①求数列 S1 , S 2 , S 4 的公比; ②若 S 2 =4, 求等比数列 ? an ? 的通项公式

例 4.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 0, S9 ? S17 ,求 n 为何值时 S n 取到最大值,最大值为 多少?(若 a1 ? 0, S9 ? S18 呢?)

2

专题一:求数列的通项公式 ——由递推关系求通项
例 1、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 5, an ?1 ? an ? 3 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

变式:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 5, an ?1 ? an ? 3n ,求数列 ?a n ?的通项公式。

练习:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n ? 3

n ?1

? a n ?1 (n ? 2). ,求数列 ?a n ?的通项公式。

方法总结:如果给出数列 ?a n ? 的递推公式为 an ?1 ? an ? f (n) 型或 an ?1 ? an ? f (n) 时,并 且 ? f (n)?容易求前 n 项的和,这时可采用叠加消项。 例2、 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 2, an ?1 ? 3an ,求数列 ?a n ?的通项公式。

变式:在数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

n an ,求数列 ?a n ?的通项公式。 n ?1

练习:在数列 ?a n ?中, a1 ? 4, an ?1 ? 2 ? an ,求数列 ?a n ?的通项公式。
n

3

方法总结:如果给出数列 ?a n ? 的递推公式为

an ?1 ? g (n) 型或 an?1 ? an ? g (n) 型时,并且 an

? g (n)? 容易求前 n 项的积,这时可采用连乘约项。
例 3、在数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 5 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

方法总结:如果给出数列 ?a n ?的递推公式为 an ?1 ? c ? an ? d (c, d 为常数) ,即等比差数列, 可采用待定系数法,构造等比数列

专题二:数列求和
一、公式法:若可以判断所求数列是等差、等比数列或某些常见数列,直接用求和公式求解 例 1、若等差数列 {an } 满足 a3 ? a4 ? a5 ? 9 , d ? 2 ,求 a2 ? a4 ? ??? ? a20

例 2、若递增的等比数列 {an } 满足 a1a4 a7 ? 8 , a6 ? 8 ,求 a4 ? a5 ? ??? ? a10

二、利用数列和的性质求和 例 3、在等比数列 {an } 中 S3 ? 10, S6 ? 30 ,求 S12 , a13 ? a14 ? a15 若是等差数列呢?

三、分组求和: 一般的,若数列 {an } , {bn } 为等差、等比、常数列等,那数列 {an ? bn } 可用分组求和 例 4、已知数列 1 ,3 ,5 ??? ,试写出一个满足条件的通项公式并求出其前 n 项和

1 2

1 4

1 8

4

例 5、求数列 5,55,555, ??? 的前 n 项和

四、裂(拆)项求和法: 将数列的每一项都拆成两项(或多项) ,使得在相加的过程中除了首尾少数几项外,其 余各项能相消,从而求和 例 6、数列 {an } 满足 an ?

1 ,求出其前 n 项和 n(n ? 1)

例 7、求数列 1,

1 1 1 , , ???, , ??? 的前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n

例 8、数列 {an } 满足 an ?

1 n ? n ?1

,求 {an } 的前 n 项和

【总结】 :常见的裂项有:

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k 1 1 ? ( n ? k ? n) n?k ? n k
五、错位相减法 若数列中 {anbn } 中, {an } , {bn } 分别为一个等差数列,一个等比数列,则可用错位相 减法来求 {anbn } 的前 n 项和

5

例 10、数列 {an } 满足 an ? (2n ? 1) ? 3 ,求 {an } 的前 n 项和
n

附:典型题目操练: 已知数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 36 ,求数列 an 的前 n 项和 Tn

? ?

专题三: S n 与 an 的关系:
【知识点】 : an ? ?

,n=1 ? S1 ? S n ? S n ?1 ,n ? 2

例 1、数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? (1)求 a1 , a2

1 ? an ? 1? ? n ? N ? ? 3

(2)求证:数列 ? an ? 是等比数列并求出通项公式

6

例 2、已知数列 ? an ? 的首项 a1 ? 3, 且 2an ? S n ?S n ?1 ? n ? 2 ? (1)求证: ?

?1? ? 是等差数列,并求其公差; ? Sn ?

(2)求数列 ? an ? 的通项公式

例 3、已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 证明: (1) ?

n?2 Sn n
(2) Sn ?1 ? 4an

? Sn ? ? 是等比数列; ?n?

例 4、设数列 ? an ? 中, Sn?1 ? 4an ? 2, a1 ? 1 (1)若 bn ? an ?1 ? 2an , 求证 ?bn ? 是等比数列 (2)若 cn ?

an ,求证 ?cn ? 是等差数列 2n

(3)求数列 ? an ? 的通项公式

7


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