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广东高考数列问题的解题策略


广东高考数列问题的解题策略

魏显峰
2014年4月16日 于深大附中

一、广东高考数列的基本解题策略

(一)对等差、等比数列的基本量考查
练习 1. (1)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则 a10 ? ____.

>所用基本公式: an ? a1 ? (n ?1)d
(2)等差数列 ?an ? 中,已知 S5 ? 5 , S7 ? 14 ,则 S12 ?

答案: 23


n(n ? 1) d 所用基本公式: Sn ? na1 ? 2
所用基本公式: an ? a1 ? qn?1

答案: 54


(3) 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ?

答案: 64

(4)设 {an } 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 2,3a2 ? a3 ? 4 ,则数列 {an } 的前

n 项的和 Sn ? _________.
答案: 2 n 或 2
n ?1

?2

?na1 , q ? 1 ? S ? 所用基本公式: n ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?

(二)利用等差、等比数列的概念研究一般数列
练习 2.

nan ?1 ? 1 (n ? 2, n ? N* ) ,求 an . (1)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? n ?1 an ?1 (2)已知数列 ?an ? 中: a1 ? 1 , an ? (n ? 2, n ? N* ) ,求 an . 3 ? an?1 ? 1
(3)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . (4)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求 an .

nan ?1 ? 1 a a 1 解: (1) 由 a n ? 可得: n ? n?1 ? ? , n ?1 n n ?1 n(n ? 1)
当 n ? 2 时有

an a1 ? a2 a1 ? ? a3 a2 ? a ? ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n?1 ? , n 1 ?2 1? ?3 2? ? n n ?1 ?

? 1 ? 1 an 1 1 ? 2?? ? ? ??? ? ? 1, 即 ? ? ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 1? 2 2 ? 3

?an ? n ? 1 ,当 n ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? 1 ,?an ? n ? 1

求等差数列通项的基本方法:累加 求等差数列前 n 项和的方法:倒序相加 求等比数列通项的基本方法:累乘 求等比数列前 n 项和的方法:错位相消

1 3 ? an?1 ? 1 1 (2)取倒数: , ? ? 3? an an?1 an?1
?1? ? ? ? 是等差数列, ? an ?
所以

1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 an a1

1 即 an ? . 3n ? 2

(3)设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 , 且

bn?1 an?1 ? 3 ? ?2. bn an ? 3

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, 则 bn ? 4 ? 2 所以 an ? 2
n?1

? 2n?1 ,

n?1

? 3.

(4)在 an?1 ? 3an ? 2n?1 两边乘以 ?

?1? ? ?2?

n ?1

得:

an ?1 3 an ? ? n ?1, n ?1 2 2 2

an 3 令 bn ? n ,则 bn ?1 ? bn ? 1 , 2 2 3 n ?1 解之得: bn ? 3( ) ? 2 , 2 所以 an ? 2n ? bn ? 2 ? 3n ? 2n?1 .

例 1.(2010 天津理数)在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1
*

成等差数列,其公差为 dk . (1)对任意 k ? N ,若 dk ? 2k ,证明: a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列;
*

(2)若对任意 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk .
*

证明: ?

? 1 ? ? 是等差数列. ? qk ? 1 ?

(1)分析:要证 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列, 即要证: a2k ?12 ? a2k ? a2k ?2 ①,

a2k ? a2k ?1 ? dk ②,


a2k ? a2k ?1 ? dk 所以有 a2k ?2 ? a2k ?1 ? dk ?1 ③,
2

把②③代入①得即要证: a2k ?1 ? ? a2k ?1 ? dk ? ? ? a2k ?1 ? dk ?1 ? , 因为 dk ? 2k 所以 dk ?1 ? 2 ? k ? 1? ,

即要证: a2k ?12 ? ? a2k ?1 ? 2k ? ? ? a2k ?1 ? 2k ? 2? , 即要证: a2k ?1 ? 2k (k ? 1) ,

a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N* ,
所以 a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ???? ? (a2k ?1 ? a2k ?3 ) ? (a2k ?1 ? a2k ?1 )

? 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 ? 2k (k ? 1) .
以上各步均可逆,所以 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列.

(2)证明:由 a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,及 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等比数列, 有 2a2k ? a2k ?1 ? a2k ?1 ,两边同除以 a2 k 可得: 2 ? 当 q1 ? 1时,可知 qk ? 1 , k ? N ,
*

a2 k ?1 a2 k ?1 ? ? 1 ? qk , a2 k a2 k qk ?1

从而

1 ? 1 ? qk ? 1 qk ?1 ? 1

qk ?1 ? 1 1 2? ?1 qk ?1

1

?

1

?

qk ?1 ? 1

1

?1?

qk ?1 ? 1

1

? 1(k ? 2) ,



1 ? 1 ? 1(k ? 2) . qk ? 1 qk ?1 ? 1
追本溯源

? ? 1 ? ? 所以 ? ? 是等差数列,公差为 1 . q ?1 ? ? k ? ?

(三)利用函数的思想方法研究数列
练习 3.(1)等差数列 ?an ? 满足:a1 ? 0, S5 ? S13 ,则 ?an ? 的前____项和最_____(填“大” 或“小” ). (2)已知数列 ?an ? 满足 an ? n ? ?n .若 ?an ? 为单调递增数列,求 ? 的取值范围.
2

(1)解:已知 S5 ? S13 ,而 Sn 是 n 的二次函数, 由抛物线的对称性可得其对称轴方程为 n = 又抛物线过 (0,0),(1, a1 ) ,所以开口向上, 所以,当 n ? 9 时, Sn 最小.

5 ? 13 ?9, 2

(2)已知数列 ?an ? 满足 an ? n2 ? ?n .若 ?an ? 为单调递增数列,求 ? 的取值范围.
解析:法一:依题对任意正整数 n , an?1 ? an ? 0 恒成立, 所以 an?1 ? an ? 2n ? 1 ? ? ? 0 对任意正整数 n 恒成立, 所以 ? ? ?2n ? 1 对任意正整数 n 恒成立, 所以 ? ? ?3 . 记 f (n) ? ?2n ? 1 ,显然 f (n)max ? f (1) ? ?3 ,

法二: an ? n2 ? ?n 可以看成是相应二次函数 y ? x2 ? ? x 上的一系列孤立点,二次函数图象的对称轴为 x ? ? 观察右图可知当 ? 解得 ? ? ?3 , 所以 ? ? ?3 .

?

?
2

2

,

?

3 时数列 ?an ? 为递增数列. 2

因为当 ? ? ?3 时, f (1) ? f (2) 即 a1 ? a2 ,不符合题意,舍去,

例 3: (2009 广东高考改编)已知 an ?

n n ? 2n ? 1 n ? N* ? . , bn ? ? n ?1 n ?1

证明: a1 ? a3 ? a5 ??? a2 n ?1 ?

a 1 ? 2 sin n . bn 2n ? 1

证明:先证: a1 ? a3 ? a5 ?
记 f ( n) ?

? a2 n ?1 ?

1 , 2n ? 1

a1 ? a3 ? a5 ? ? a2 n ?1 n ? N* ? , ? 1 2n ? 1 a1 ? a3 ? a5 ? ? a2 n ?1 ? f (n ? 1) ? , 1 2n ? 3
n 2n ? 1 2n ? 3 ? a2 n?1 f (n ? 1) a ? a ? ,由 n ,所以 2 n ?1 , ? ? n ?1 2n ? 2 f ( n) 2n ? 1
2n ? 1 ? 2n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3 f (n ? 1) ? 2n ? 1? ? 2n ? 3 ? ? ? 1, ? ? 2 f ( n) ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 1 4 n ? 8n ? 4

f (n) ? 0 , ? f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n) 为单调递减函数,

? f (n) ? f (1) ?

a ? a ? a ? ? a2 n ?1 3 ?1, ? 1 ,即 1 3 5 1 2 2n ? 1 1 所以 a1 ? a3 ? a5 ??? a2 n ?1 ? . 2n ? 1
n ? 2n ? 1 a 1 由 bn ? ,所以 n ? , n ?1 bn 2n ? 1

下证

1 1 ? 2 sin , 2n ? 1 2n ? 1

不妨设 t ?

1 3 ? (0, ] ,令 g (t ) ? t ? 2 sin t , 3 2n ? 1

则 g?(t ) ? 1 ? 2 cos t ? 0 在 t ? (0,

3 ] 上恒成立, 3

3 ] 上单调递减, 故 g (t ) ? t ? 2 sin t 在 t ? (0, 3
从而 g (t ) ? t ? 2 sin t ? g (0) ? 0 ,即

1 1 ? 2 sin . 2n ? 1 2n ? 1

综上, a1 ? a3 ? a5 ??? a2 n ?1 ?

a 1 ? 2 sin n 成立. bn 2n ? 1

追本溯源

二、广东高考近年对数列的考查形式
(一)数列(文、理)考试说明
要求 了解 内容
① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数。 ③ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。 理解等差数列、等比数列的概念。 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式

理解 掌握

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知 识解决相应的问题。

(二)近几年数列考了什么 数列(文)

考点 年份
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

等差 数列 的基 本量 和性 质 √ √

等比 数列 的基 本量 和性 质

利 用 和 求 通 项

等 差 递推 数 数列 列 求通 求 项 和 √ √

等 比 数 列 求 和 √

裂 项 求 和

错 位 相 消 求 和 √

数 列 与 不 等 式

数 学 归 纳 法

√ √ √ √ √ √

√ √ √ √ √ √ √



√ √



数列(理)
考点
等差 数列 的基 本量 和性 质 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 等比 数列 的基 递推 裂 本量 利用 数列 等差 等比 项 错位 和性 和求 求通 数列 数列 求 相消 质 通项 项 求和 求和 和 求和 √ √ √ √ √ √ √ 数 列 与 不 等 式

年份
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

数学 归纳 法 √

三、对数列问题的一些思考(课堂小结):
结合《考试说明》和近几年的广东高考数列真题, 高考对数列的考查主要是从三个角度: (1)考查等差、等比数列的基本量; (2)利用等差、等比数列来研究一般的数列; (3)利用函数的思想方法研究数列. 因此书本上的基本概念、和涉及到的基本的思想方法 是我们处理数列问题的归宿点,为我们的化归提供目标. “抓住课本、吃透课本”是我们复习数列这一章节的 最根本的方法.


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