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⑨竞赛中的复数问题


Y.P.M 数学竞赛讲座

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竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶 于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.

一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角式:z=

r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=re (r≥0,θ∈R); ④欧拉公式:e =cosθ+isinθ,θ∈R. ⑵共轭与模:① z1 ? z 2 = z1 ? z 2 ; z1 ? z2 = z1 ? z2 ; (
z z1 z ) = 1 ;②||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1||z2|;| 1 |= z2 z2 z2
iθ iθ

| z1 | 2 2 ;③z z =|z| =| z | ;④z= z ? z∈R;|z|=|Re(z)| ? z∈R. | z2 |

⑶运算法则:①乘法:r1(cosθ1+isinθ2)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法: =

r1(cos? 2 ? i sin?1) r2 (cos? 2 ? i sin? 2 )

r1 n n n (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)] =r (cosnθ+isinnθ);④开方:z =r(cosθ+isinθ) ? z r2

= n r (cos

? ? 2k?
n

+isin

? ? 2k?
n

)(k=0,1,2…,n-1).

2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数 z 的辐角,记为 Argz;特别地,当θ∈[0,2π) 时,则θ称为复数 z 的辐角主值,记为 argz;②运算:Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg(
z1 )=Arg(z1 z 2 );nArgz= z2

Argz ;③性质:若 z=cosθ+isinθ,则 1+z=2cos
n

n

? ? ? ? ? ? (cos +isin );1-z=-2sin (cos +isin ). 2 2 2 2 2 2
2 k? 2 k? +isin )(k=0, n n
2 n-1

⑵单位根:①定义:方程 x =1 的 n 个根叫做 n 次单位根,分别记为ωk(k=0,1,2,…,n-1);ωk=(cos
k

1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk=ω1 ;ωkωj=ωk+j;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω1 ,…,ω1 ;③1+ ω1+ω1 +…+ω1 =0,(x-1)(x-ω1)(x-ω1 )…(x-ω1 )=x -1. ⑶基本结论:①实系数 n 次方程的虚根α与其共轭复数 ? 成对出现;②若|z1|=|z2|=…=|zn|,且 z1+z2+…+zn=0,则 z1,z2, …,zn 对应的点是正 n 边形的顶点,且正 n 边形的中心在坐标原点;③若复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,且 z1=z0z2,则∠ Z1OZ2=argz0,或 argz0-π.
2 n-1 2 n-1 n

3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数 z=x+yi 与点 Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数 z=x+yi 与向量 OZ =(x,y)成一一对应; ③距离公式:复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,则|Z1Z2|=|z1-z2|;④旋转公式:复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,向量 z1 z2 绕 点 Z1 逆时针旋转θ角,再伸长 r(r>0)倍,则所得向量 z1z 中的 Z 对应的复数 z=z1+r(z2-z1)(cosθ+isinθ). ⑵线性结论:①定比分点:若复数 z,z1,z2 对应的点分别为 Z,Z1,Z2,点 Z 分有向线段 z1 z2 的比为λ(λ≠-1),则 z=
z1 ? ?z2 ; 1? ?

②三点共线:若复数 z,z1,z2 对应的点分别为 Z,Z1,Z2,则三点 Z,Z1,Z2 共线的充要条件是:Z=λZ1+(1-λ)Z2;③平行条件:若复 数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2∥Z3Z4 的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4);④垂直条件:若复数 z1,z2,z3,z4 对应 的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2⊥Z3Z4 的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4)i.

2

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1 ×复数(z1 z 3 +z2 z1 +z3 z 2 )的 2
2 2 2

⑶几何结论:①三角形面积:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3 的面积=

虚部;②三角形形状:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3 为正三角形的充要条件是:z1 +z2 +z3 =z1z2+z2z3+ z3z1;或 z1+ωz2+ω z3=0;③三角形相似:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,复数 w1,w2,w3 对应的点分别为 W1,W2,W3,则 △Z1Z2Z3∽△W1W2W3 的充要条件是: Z2,Z3,Z4 共圆的充要条件是:
z 2 ? z1 w2 ? w1 = ;④四点共圆:若复数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则四点 Z1, z3 ? z1 w3 ? w1
2

z3 ? z1 z3 ? z 2 : ∈R. z 4 ? z1 z 4 ? z 2

二、典型问题
1.复数概念 [例 1]:(2006 年全国高中数学联赛试题)若对一切θ ∈R,复数 z=(a+cosθ )+(2a-sinθ )i 的模不超过 2,则实数 a 的取值
范围为 .

[解析]: [类题]:
1.①(2010 全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若
z1 为实数,则实数 m 的值为 z2

.

②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,则z1z2为实数的条件是 z2= .
z?

1 3 为纯虚数,则|z|= 2.(1999 年全国高中数学联赛河南初赛试题)若 1 z? 3

.

3.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为
2 2 2 2 2 2

.

4.(1994 年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0;②设 a,b,c 都是 复数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是(
2 2 2 2 2 2

)

(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 z 是虚数,w=z+
1 ,且-1<w<2,则 z 的实部取值范围为 z

.

2.代数形式 [例 2]:(1995 年全国高中数学联赛试题)设α ,β 为一对共轭复数,若|α -β |=2 [解析]: [类题]:
1.①(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i) +(1-i) = ②(2005 年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算: i ? i ? i ? ? ? ? ? i
2 4 4

3 ,且

? 为实数,则|α |= ?2

.

.
100 !

0 !

1 !

2 !

=

.
2 3 n

2.(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 i =-1,在集合{s|s=1+i+i +i +?+i ,n∈N}中包含的元素 是 .
2

3.(2007 年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{an}满足 a1=0,an=an-1 +i(n≥2,i 为虚数单位,则它的前 2007 项的和 = .
2

4.(2000 年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{zn}满足 z1=i,zn+1=-zn -i,则|z2000|= 5.(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数 z= 是 .
sin x ? sin 2 x ? i(2 cos2 x sin x ? tan x) 成为实数的所有 x 构成的集合 cos x ? i

Y.P.M 数学竞赛讲座 3.三角形式 [例 3]:(1999 年全国高中数学联赛试题)给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足: ? ? z1 [解析]: [类题]:
1.(1992 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 A、 B、 C 为△ABC 的三内角,则复数 虚部是 .
0 0

3
?| z1 |?| z2 |?| z3 |? 1 z z ,求|az1+bz2+cz3|的值. ? 2 ? 3 ?1 ? z2 z3 z1 ?

(1 ? cos 2 B ? i sin 2 B)(1 ? cos 2C ? i sin 2C ) 的 1 ? cos 2 A ? i sin 2 A

2.(1992 年湖南高中数学夏令营试题)已知复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=cos15 +isin15 ,则

z1 = z2
3 3

. .

3.(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z1|=|z2|=a(a≠0),且 z1+z2=m+mi,其中 m 为非零实数.则 z1 z2 的值是 4.(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z -z+2|的最小值为 =|z1 +1-2z1 |.则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是
4 2 2

.

5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z∈D当且仅当存在模为1的复数z1,使得|z-2005-2006i| .

4.共轭运算 [例 4]:(2001 年全国高中数学联赛试题)若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2= 3 -i,则 z1z2=
2

.

[解析]: [类题]:
1.(1986 年全国高中数学联赛试题)为 z 为复数,M={z|(z-1) =|z-1| },那么( (A)M={纯虚数} (B)M={实数}
2 2

) (D)M={复数}
?w ? w 是这 1? | ? |2

(C){实数} ? M ? {复数}

2.(1985 年全国高中数学联赛试题)设 z,w,λ 为复数,|λ |≠1 关于 z 的方程 z -λ z=w 下面有四个结论:①z= 个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 )

(D)以上(A)、(B)、(C)都不正确
z1z 2 的值为 | z1z 2 |

3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z1,z2满足|z1|=|z2|,且z1-z2=2-i,则

.

4.(1996 年湖南高中数学夏令营试题)z1,z2 是已知的两个任复数,复数 z 满足 z≠0,z+z2≠0, z z1+z z 2 +z1 z 2 =0,则 arg
z ? z1 = z ? z2

. .

2000 2000 5.(1991 年全国高中数学联赛试题)设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3 ,则 log3|(z1 z 2 ) +( z1 z2) |=

5.模的运算 [例 5]:(2011 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数 z1 和 z2 满足:|z2|=4,4z12-2z1z2+z22=0,则|(z1+1)2(z1-2)|的最大值
为 .

[解析]: [类题]:
1.(1983 年全国高中数学联赛上海初赛试题)|
( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i)2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

|=

. .
i n

2.(2011 年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数 z 满足|z|(3z+2i)=2(iz?6),则|z|等于 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{zn}是一个复数数列,定义zn=(1+i)(1+
i 2

)?(1+

),则 ?| zn ? zn?1 | =
n ?1

n

.

4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z满足z z -z- z =3,且arg(z-1)=

? ,则z= 3

.

4
2

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.

5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z是复数,且|z|=1,则u=|z -z+1|的最大值与最小值是

6.乘方运算 [例 6]:(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 n≥2007,且 n 为使得 an=(
整数,则对应此 n 的 an= .
2 ? 2 +i 2 ? 2 ) 取实数值的最小正
n

[解析]: [类题]:
1.(1989 年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(
1? i 2

)

1989

=

. .

n 2.①(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 z=( 3 -3i) ,若 z 为实数,则最小的正整数 n 的值为

②(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 n 为使 an=( an= .

3 ?1 + 2

3 ?1 n i) 取实数的最小自然数,则对应此 n 的 2

3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n为不超过2003的正整数.如果有一个角θ 使得(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ 成立,则这种n的总个数为 mn 的最小值是 的最小值为 .
n n

n

.

m n ②(1988 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 m、n 是自然数,且使( 3 +i) =(1+i) 成立(其中 i 是虚数单位),则乘积

4.(2010 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 z 为复数.若|z|=1,| z +i|=1,则当(z+i) (n 为正整数)为实数时,|z+i| .
3 ?i 8 n ) +1] 当 n 取 1,2,?,100 时,可得 2

5.(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(

个不同的数值.

7.单位复数 [例 7]:(1991 年全国高中数学联赛试题)设 a,b,c 均为非零复数,且 = = ,则 [解析]: [类题]:
1.①(1980 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 x1,x2 是方程 x -x+1=0 的两个根,则 x1
2 1980

a b

b c

c a

a?b?c 的值为 a?b?c

.

+

1 x1980 2

=

.

②(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数 m 满足 m+
2

1 1 2008 =1,则 m + 2009 = m m
2

. .
2006

2.①(1990 年全国高中数学联赛试题)设非零数复数 x,y 满足 x +xy+y =0,则代数式(
2 2

x y 1990 1990 ) +( ) 的值是 x? y x? y

②(2006 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数 x,y 满足 x +xy+y =0,则代数式[ (x
2006

xy ( x ? y)( x ? y) 2

]

+y

2006

)的值是

.
10 2 3 2009 2010 5

3.(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)若 z∈C,且 x =1,则 1+x+x +x +?+x +x = 4.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z 满足:z =27,则 z +3z +2242= 5.(2008 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设( 之和是 .
3 4

. .

3 x 2008 + i) =f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则 f(x)的系数 2 2

8.复数方程 [例 8]:(1994 年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z12-4z2=16+20i,设这个方程
的两个根α ,β 满足|α -β |=2 7 ,求|m|的最大值和最小值.

[解析]:

Y.P.M 数学竞赛讲座 [类题]:
1.(1995 年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数 z 使 2z+
2

5
1 1 为实数,则 2z+ 的取值范围是_____. z z

2.(1993 年全国高中数学联赛试题)二次方程(1?i)x +(?+i)x+(1+i?) ? 0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条 件是?的取值范围为________. 3.(1984 年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程 z = z ( z 为 z 的共轭复数)的根为 4.(2001 年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数 z 满足等式 z+ z |z| =0,则 z= 5.(2000 年全国高中数学联赛试题)设ω =cos (A)x +x +x +x+1=0
4 3 2 4 3 2 3 4

. .

? ? 3 7 9 +isin ,则以?,? ,? ,? 为根的方程是( 5 5

) (D)x +x +x ?x?1=0
4 3 2

(B)x ?x +x ?x+1=0

(C)x ?x ?x +x+1=0
4 3 2

9.复数与点 [例 9]:(1998 年全国高中数学联赛试题)设复数 z=cosθ +isinθ (00≤θ ≤1800),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三
个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S,则点 S 到原点距离的最大值 是 _.

[解析]: [类题]:
1.(1989 年全国高中数学联赛试题)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所 对应的点位于( (A)第一象限 ) (B)第二象限 (C)第三象限
-1

(D)第四象限

2.(2011 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点 A,B 分别对应复数 z,z ,z ? R,则直线 AB 与 x 轴的交点对应的复数为 (用 z 和 z 表示). 3.(2002 年湖南高中数学夏令营试题)已知 z 为复数,arg(z+3)=135 ,则
0

1 取最大值时,z= | z ? 6 | ? | z ? 3i |
1 i
3

.

4.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由 , i ? 1 ,(i-1) 对应的点构成的三角形的最大内 角等于 .

5.(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数 z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数 f(z)= |(z+1)( z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .

10.模的意义 [ 例 10]:(2002 年全国高中数学联赛试题 ) 已知复数 z1,z2 满足 |z1|=2,|z2|=3, 若它们所对应向量的夹角为 600, 则
|
z1 ? z 2 |= z1 ? z 2

.

[解析]: [类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数 z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中 a,b ∈R,当|z1|+|z2|+|z3|取得最小值时,3a+4b= .
3 1993 1995 ,则复数 i z1+i z2+2z1z2 的模长的 2

②(1993 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数 z1,z2 满足|z1|≥1,|z2|≥ 最小值是 .

2.(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________. 3.(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 z 是模为 2 的复数,则|z1 |的最大值与最小值的和为 z

.

4.(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数 z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=2 2 ,记|z+i|的最大值和最小值分别为

6
M,m,则
M = m

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.
2 2

5.(1998 年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z 的模为 1,则函数|z +iz +1|的值域是

.

11.幅角主值 [例 11]:(1998 年全国高中数学联赛试题)已知复数 z=1?sinθ +icosθ ( ? <θ <π ).求 z 的共轭复数 z 的辐角主值.
2

[解析]: [类题]:
1.(1984 年全国高中数学联赛试题)集合 S={z |argz=a,a∈R}在复平面的图形是( (A)射线 argz=2a (B)射线 argz=-2a (C)射线 argz=-a
2

) (D)上述答案都不对 .

2.(1998 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 z 是复数,z+2 的幅角为 3.(1993 年全国高中数学联赛试题)若 z?C,arg(z ?4)=
2

? 5? ,z-2 的幅角为 ,则 z= 3 6

5? ? 2 ,arg(z +4)= ,则 z 的值是________. 6 3

4.(1992 年全国高中数学联赛试题)设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg(

z2 3 ) 的值是______. z1

5.(1999 年全国高中数学联赛试题)已知θ =arctan

cos 2? ? i sin 2? 5 ,那么,复数 z= 的辐角主值是_________. 239 ? i 12

12.几何形状 [ 例 12]:(1995 年全国高中数学联赛试题 ) 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为
z1,z2,?,z20,则复数 Z1 ,z2
1995 1995

,?,z20

1995

所对应的不同的点的个数是

.

[解析]: [类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点 A(0),B(z0-z),C(z0+z)构成以 A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中 z0=- +
1 3

2 i,则△ABC 的面积为 3

.
2 2

2.①(1992 年全国高中数学联赛试题)设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐标原 点,则△OAB 的面积为 .
3 3

②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z1、z2满足z1z2=1,z1 +z2 =0,且z1+z2≠0.z1、z2在复平面内的对应点为 Z1、Z2,O为原点,则△Z1OZ2的面积是_____. 3.(1996 年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 z2 的实部为零,z1 的辐角主 值为
? ,则 z2=_______. 6
2 2

4.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面 上对应的点共圆,则 m 的取值范围是 .

a2 a3 a4 a5 ? ? ? ? ? a1 a2 a3 a4 ? 5.(1997 年全国高中数学联赛试题)设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足 ? ,其 1 1 1 1 1 ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?? 4( ? ? ? ? )?S a1 a2 a3 a4 a5 ? ?

中 S 为实数,且|S|≤2.求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

Y.P.M 数学竞赛讲座 13.解折综合
2

7

[例 13]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= 1 +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不
共线的三点,证明:曲线 Z=Z0cos t+2Z1cos tsin t+Z2sin t(t∈R)与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此
4 2 2 4

点.

[解析]: [类题]:
1.(1993 年全国高中数学联赛试题)设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z?C,则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi| ?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( y O ) x y O O (A) x (B) (C) (D) x O x

2.(1989 年全国高中数学联赛试题)若 M={z|z=

t 1? t +i ,t∈R,t≠-1,t≠0},N={z|z= 2 [cos(arcsint)+icos(arc 1? t t

cost)],t∈R,|t|≤1},则 M∩N 中元素的个数为( (A)0 (B)1 (C)2

) (D)4

3.(1988 年全国高中数学联赛试题)复平面上动点 z1 的轨迹方程为|z1-z0|=|z1|,z0 为定点,z0≠0,另一个动点 z 满足 z1z=-1, 求点 z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 4.①(2001 年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z,w 满足:|z-1-i|-|z|= 2 ,|w+3i|=1,则|z–w| 的最小值= . ②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x、y是实数.z1=x+ 11 +yi,z2=x- 11 +yi(i为虚数单位),|z1|+|z2|=12,令 u=|5x?6y?30|,则u的最大值是_____,u的最小值是_____. 5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z |+|z ?1|=7的复数z在复平面内的所对应的点的集合是一条 二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.
2 2

14.复数应用 [例 14]:(2001 年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+?+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值
为 .

[解析]: [类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知 sinα +sinβ = 2.(2007 年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan70 0

1 1 1 ? 2 cos(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? ) ,cosα +cosβ = ,则 = 5 3 1 ? cos 2(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? )

.

1 cos100

=
1 = 3

.

3.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简 arccot2+arctan 4.(2012 年复旦自主招生试题)arctan +arctan
1 3

. .

1 1 1 +arctan +arctan = 5 7 8

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1

竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶 于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.

一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=re (r≥0,θ∈R); ④欧拉公式:e =cosθ+isinθ,θ∈R. ⑵共轭与模:① z1 ? z 2 = z1 ? z 2 ; z1 ? z2 = z1 ? z2 ; (
z z1 z ) = 1 ;②||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1||z2|;| 1 |= z2 z2 z2
iθ iθ

| z1 | 2 2 ;③z z =|z| =| z | ;④z= z ? z∈R;|z|=|Re(z)| ? z∈R. | z2 |

⑶运算法则:①乘法:r1(cosθ1+isinθ2)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法: =

r1(cos? 2 ? i sin?1) r2 (cos? 2 ? i sin? 2 )

r1 n n n (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)] =r (cosnθ+isinnθ);④开方:z =r(cosθ+isinθ) ? z r2

= n r (cos

? ? 2k?
n

+isin

? ? 2k?
n

)(k=0,1,2…,n-1).

2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数 z 的辐角,记为 Argz;特别地,当θ∈[0,2π) 时,则θ称为复数 z 的辐角主值,记为 argz;②运算:Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg(
z1 )=Arg(z1 z 2 );nArgz= z2

Argz ;③性质:若 z=cosθ+isinθ,则 1+z=2cos
n

n

? ? ? ? ? ? (cos +isin );1-z=-2sin (cos +isin ). 2 2 2 2 2 2
2 k? 2 k? +isin )(k=0, n n
2 n-1

⑵单位根:①定义:方程 x =1 的 n 个根叫做 n 次单位根,分别记为ωk(k=0,1,2,…,n-1);ωk=(cos
k

1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk=ω1 ;ωkωj=ωk+j;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω1 ,…,ω1 ;③1+ ω1+ω1 +…+ω1 =0,(x-1)(x-ω1)(x-ω1 )…(x-ω1 )=x -1. ⑶基本结论:①实系数 n 次方程的虚根α与其共轭复数 ? 成对出现;②若|z1|=|z2|=…=|zn|,且 z1+z2+…+zn=0,则 z1,z2, …,zn 对应的点是正 n 边形的顶点,且正 n 边形的中心在坐标原点;③若复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,且 z1=z0z2,则∠ Z1OZ2=argz0,或 argz0-π.
2 n-1 2 n-1 n

3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数 z=x+yi 与点 Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数 z=x+yi 与向量 OZ =(x,y)成一一对应; ③距离公式:复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,则|Z1Z2|=|z1-z2|;④旋转公式:复数 z1,z2 对应的点分别为 Z1,Z2,向量 z1 z2 绕 点 Z1 逆时针旋转θ角,再伸长 r(r>0)倍,则所得向量 z1z 中的 Z 对应的复数 z=z1+r(z2-z1)(cosθ+isinθ). ⑵线性结论:①定比分点:若复数 z,z1,z2 对应的点分别为 Z,Z1,Z2,点 Z 分有向线段 z1 z2 的比为λ(λ≠-1),则 z=
z1 ? ?z2 ; 1? ?

②三点共线:若复数 z,z1,z2 对应的点分别为 Z,Z1,Z2,则三点 Z,Z1,Z2 共线的充要条件是:Z=λZ1+(1-λ)Z2;③平行条件:若复 数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2∥Z3Z4 的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4);④垂直条件:若复数 z1,z2,z3,z4 对应 的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则 Z1Z2⊥Z3Z4 的充要条件是:z1-z2=λ(z3-z4)i.

2

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1 ×复数(z1 z 3 +z2 z1 +z3 z 2 )的 2
2 2 2

⑶几何结论:①三角形面积:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3 的面积=

虚部;②三角形形状:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Z3 为正三角形的充要条件是:z1 +z2 +z3 =z1z2+z2z3+ z3z1;或 z1+ωz2+ω z3=0;③三角形相似:若复数 z1,z2,z3 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,复数 w1,w2,w3 对应的点分别为 W1,W2,W3,则 △Z1Z2Z3∽△W1W2W3 的充要条件是: Z2,Z3,Z4 共圆的充要条件是:
z 2 ? z1 w2 ? w1 = ;④四点共圆:若复数 z1,z2,z3,z4 对应的点分别为 Z1,Z2,Z3,Z4,则四点 Z1, z3 ? z1 w3 ? w1
2

z3 ? z1 z3 ? z 2 : ∈R. z 4 ? z1 z 4 ? z 2

二、典型问题
1.复数概念 [例 1]:(2006 年全国高中数学联赛试题)若对一切θ ∈R,复数 z=(a+cosθ )+(2a-sinθ )i 的模不超过 2,则实数 a 的取值
范围为 .
5 asin(θ +φ )≤3-5a ? 2 5 |a|≤3
2

[解析]:|z|≤2 ? (a+cosθ )2+(2a-sinθ )2≤4 ? 2acosθ -4asinθ ≤3-5a2 ? -2
2 -5a ? ( 5 |a|-1)( 5 |a|+3)≤0 ? a∈[-

5 5 , ]. 5 5

[类题]:
1.①(2010 全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若
z1 为实数,则实数 m 的值为 z2

.

②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,则z1z2为实数的条件是 z2= .
z?

1 3 为纯虚数,则|z|= 2.(1999 年全国高中数学联赛河南初赛试题)若 1 z? 3

.

3.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为 4,则实数 a 的值为
2 2 2 2 2 2

.

4.(1994 年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0;②设 a,b,c 都是 复数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是(
2 2 2 2 2 2

)

(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 z 是虚数,w=z+
1 ,且-1<w<2,则 z 的实部取值范围为 z

.
2 2

解:设 z=a+bi ? w=a+bi+
当 b=0 时,a≠0,w=a+

a ? bi a 2 ? b2

=a+

a a 2 ? b2

+(b-

b a 2 ? b2

)i.由-1<w<2 ? w 为实数 ? b-

b a 2 ? b2

=0 ? b=0,或 a +b =1.

1 1 2 2 ? |w|≥2,不符合-1<w<2;当 a +b =1 时,w=2a,由-1<w<2 ? - <a<1. a 2

2.代数形式 [例 2]:(1995 年全国高中数学联赛试题)设α ,β 为一对共轭复数,若|α -β |=2 [解析]:设α =a+bi(a,b∈R) ? β =a-bi ? α β =a2+b2∈R,α -β =2bi,| α -β |=2
α =(a+bi) =(a -3ab )+(3a b-b )i 为实数 ? 3a b-b =0 ? |a|=1 ? |α |=2.
3 3 3 2 2 3 2 3

3 ,且

? 为实数,则|α |= ?2

.

3 ? |b|= 3 ,

? ?3 = 为实数 ? 2 ? (?? ) 2

[类题]:
1.①(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i) +(1-i) = ②(2005 年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算: i ? i ? i ? ? ? ? ? i
0 ! 1 ! 2 ! 100 !
4 4

. = .

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2 2 3 n

3

2.(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知 i =-1,在集合{s|s=1+i+i +i +?+i ,n∈N}中包含的元素 是 .
2

3.(2007 年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{an}满足 a1=0,an=an-1 +i(n≥2,i 为虚数单位,则它的前 2007 项的和 = .
2

4.(2000 年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{zn}满足 z1=i,zn+1=-zn -i,则|z2000|= 5.(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数 z= 是 .
sin x ? sin 2 x ? i(2 cos2 x sin x ? tan x) 2 为实数 ? [sinx+sin2x+i(2cos xsinx-tanx)](cosx+i)为实数 ? sinx+sin2x cos x ? i
2

sin x ? sin 2 x ? i(2 cos2 x sin x ? tan x) 成为实数的所有 x 构成的集合 cos x ? i

解:复数 z=
2

+(2cos xsinx-tanx)cosx=0 ? sin2x+cos xsin2x=0 ? sin2x=0 ? sinx=0(cosx≠0) ? x=kπ .

3.三角形式 [例 3]:(1999 年全国高中数学联赛试题)给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足: ? ? z1
?| z1 |?| z2 |?| z3 |? 1 z z ,求|az1+bz2+cz3|的值. ? 2 ? 3 ?1 ? z2 z3 z1 ?

[解析]:由|z1|=|z2|=|z3|=1,可设 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isinγ

?

z z1 z + 2 + 3 =cos(α -β )+ z2 z3 z1

isin(α -β )+cos(β -γ )+isin(β -γ )+cos(γ -α )+isin(γ -α )=1 ? sin(α -β )+sin(β -γ )+sin(γ -α )=0 ? 2sin
? ??
2

cos

? ? ? ? 2?
2

-2sin

? ??
2

cos

? ??
2

=0 ? sin

? ??
2

sin

? ??
2

sin

? ??
2

=0.

当 sin

? ??
2

=0 时,β =2kπ +α ? z1=z2,由

z z z 2 z z1 z z + 2 + 3 =1 ? 1 + 3 =0 ? ( 3 ) +1=0 ? 3 = ? i ? |az1+bz2+cz3|=|(a+b z2 z3 z1 z3 z1 z1 z1

? ic)z1|= (a ? b) 2 ? c 2 ;同理可得:当 sin

? ??
2

=0 时,|az1+bz2+cz3|= (b ? c)2 ? a 2 ;当 sin

? ??
2

=0 时,|az1+bz2+cz3|=

( a ? c) 2 ? b 2 .

[类题]:
1.(1992 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 A、 B、 C 为△ABC 的三内角,则复数 虚部是 解: .
(1 ? cos 2 B ? i sin 2 B)(1 ? cos 2C ? i sin 2C ) 的 1 ? cos 2 A ? i sin 2 A

(1 ? cos 2 B ? i sin 2 B)(1 ? cos 2C ? i sin 2C ) cos B cos C cos(B ? C ) ? i sin(B ? C ) 2 cos B(cos B ? i sin B) ? 2 cos C (cos C ? i sin C ) = =2 =2 1 ? cos 2 A ? i sin 2 A cos A cos A ? i sin A 2 cos A(cos A ? i sin A)

cos B cos C cos B cos C [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2 ,虚部是 0. cos A cos A

2.(1992 年湖南高中数学夏令营试题)已知复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=cos15 +isin15 ,则
0

0

0

z1 = z2
0

.

解:设 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ? z1-z2=(cosα -cosβ )+(sinα -sinβ )i=cos15 +isin15 ? cosα -cosβ = cos15 ,sinα -sinβ =sin15 ? (cosα -cosβ ) +(sinα -sinβ ) =1 ? cos(α -β )= -β )+isin(α -β )=
1 ? 2
0 0 2 2

1 ,sinα -sinβ = ? 2

3 z ? 1 =cos(α 2 z2

3 i. 2
3 3

3.(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z1|=|z2|=a(a≠0),且 z1+z2=m+mi,其中 m 为非零实数.则 z1 z2 的值是 解:设 z1=acosα +aisinα ,z2=acosβ +aisinβ ,由 z1+z2=m+mi ? a(cosα +cosβ )=m,a(sinα +sinβ )=m ? cosα +cosβ =

.

4
sinα +sinβ ? 2cos
2

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???
2

cos

? ??
2
2

=2sin
3 3

???
2
3

cos
6

? ??
2

? cos

???
2

=sin

???
2

? tan

???
2

=1 ? α +β =

? ? z1z2= 2

a [cos(α +β )+isin(α +β )]=a i ? z1 z2 =(z1z2) =-a i. 4.(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z -z+2|的最小值为
2 2

.

解:设 z=cosθ +isinθ ? |z -z+2|=|cos2θ +isin2θ -cosθ -isinθ +2|=|cos2θ -cosθ +2+(sin2θ -sinθ )i|=
3 7 14 6 ? 6 cos? ? 4 cos 2? = 8(cos? ? ) 2 ? ≥ . 4 8 8

5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z∈D当且仅当存在模为1的复数z1,使得|z-2005-2006i| =|z1 +1-2z1 |.则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是
4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2

.
2 2 2 2

解:设z1=cosθ +isinθ ? |z +1-2z |=|(z -1) |=|z1 -1| =|cos2θ -1+isin2θ | =(cos2θ -1) +sin 2θ =2-2cos2θ ≤4 ? |z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ? (x-2005) +(y-2006) ≤16 ? x +y ≤16共有49个解.

4.共轭运算 [例 4]:(2001 年全国高中数学联赛试题)若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2= 3 -i,则 z1z2=
2

.

[解析]:|z1|=2,|z2|=3 ? z1 z1 =4,z2 z 2 =9 ?
1 3 30 72 z1z2( +i) ? z1z2=+ i. 6 2 13 13

3 1 1 1 1 -i=3z1-2z2= z1z2 z 2 - z2z1 z1 = z1z2(2 z 2 -3 z1 )=- z1z2(3 z1 -2 z 2 )= 2 3 2 6 6

[类题]:
1.(1986 年全国高中数学联赛试题)为 z 为复数,M={z|(z-1) =|z-1| },那么( (A)M={纯虚数}
2 2 2 2 2

) (D)M={复数}

(B)M={实数}

(C){实数} ? M ? {复数}

解:(z-1) =|z-1| ? (z-1) =(z-1)( z -1) ? z=1,或 z= z ? M={实数}. 2.(1985 年全国高中数学联赛试题)设 z,w,λ 为复数,|λ |≠1 关于 z 的方程 z -λ z=w 下面有四个结论:①z= 个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的
?w ? w
1? | ? |2

?w ? w 是这 1? | ? |2

) (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确

解: z -λ z=w ? z- ? z = w ? z- ? (λ z+w)= w ? (1-λ ? )z= ? w+ w ? z=

.故选(A).
z1z 2 的值为 | z1z 2 |

3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z1,z2满足|z1|=|z2|,且z1-z2=2-i,则 解:设|z1|=|z2|=a ? z1 z1 =z2 z 2 =a ? a (2-i)=z1z2 z 2 -z2z1 z1 =-z1z2( z1 - z 2 )=-z1z2(2+i) ?
2 2

.

?2 ? i ? 3 ? 4 i zz z1z 2 = 1 22 = = . 5 2?i | z1z 2 | a

4.(1996 年湖南高中数学夏令营试题)z1,z2 是已知的两个任复数,复数 z 满足 z≠0,z+z2≠0, z z1+z z 2 +z1 z 2 =0,则 arg
z ? z1 = z ? z2

.

解: z z1+z z 2 +z1 z 2 =0 ? z z1+(z+z1) z 2 =0 ? z z1z2+(z+z1) z 2 z2=0; z z1+z z 2 +z1 z 2 =0 ? z z1 + z z2+ z1 z2=0 ? z z2+(z+z2) z1 =0 ? z z1z2+(z+z2) z1 z1=0 ? (z+z1) z 2 z2=(z+z2) z1 z1 ?
z ? z1 z ? z1 zz = 1 1 =正实数 ? arg =0. z ? z2 z ? z2 z2 z2

2000 2000 5.(1991 年全国高中数学联赛试题)设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3 ,则 log3|(z1 z 2 ) +( z1 z2) |= 2 2 2

.

解 :9=|z1| =z1 z1 ,9=|z1+z2| =(z1+z2)( z1 + z 2 )=z1 z1 +z2 z 2 +z2 z1 +z1 z 2 ;27=|z1-z2| =(z1-z2)( z1 - z 2 )=z1 z1 +z2 z 2 -(z2 z1 +z1
z 2 ) ? z1 z1 +z2 z 2 =18 ? z2 z 2 =9 ? |z2|=3 ? |z2 z1 |=|z1 z 2 |=9,z2 z1 +z1 z 2 =-9,设 z1 z 2 =9(cosθ +isinθ ) ? z2 z1 =9(cosθ

-isinθ ) ? cosθ =-

1 ? sinθ = ? 2

3 2 2000 2000 2000 2 2000 ? z1 z 2 =9ω ,或ω ? log3|(z1 z 2 ) +( z1 z2) |=log3|(9ω ) +(9ω ) |= 2

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log3|9
2000

5

(ω +ω )|=4000.

2

5.模的运算 [例 5]:(2011 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数 z1 和 z2 满足:|z2|=4,4z12-2z1z2+z22=0,则|(z1+1)2(z1-2)|的最大值
为 .
3 z1i ? z2=(1 ?
2 2

[解析]: 由 4z12-2z1z2+z22=0 ? 3z12+(z1-z2)2=0 ? (z1-z2)2=-3z12 ? z1-z2= ?
2 2

3 i)z1 ? |z2|=2|z1| ? |z1|=

2,设 z1=2(cosα +isinα ) ? |(z1+1) (z1-2)|=|(z1+1) ||(z1-2)|=[(2cosα +1) +(2sinα ) ] (2 cos? ? 2)2 ? (2 sin? )2 =
(5 ? 4 cos? )2 (8 ? 8 cos? ) ≤3 6 (cosα =
1 ). 4

[类题]:
1.(1983 年全国高中数学联赛上海初赛试题)|
( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i)2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

|=

. .

2.(2011 年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数 z 满足|z|(3z+2i)=2(iz?6),则|z|等于 解:设|z|=r(r>0) ? z=
12 ? 2ri 12 ? 2ri 2 | 12 ? 2ri | 144 ? 4r 2 2 |= = ? r =|z| =| 2 ? 3r ? 2i ? 3r ? 2i 9r 2 ? 4 | ?3r ? 2i |
2
2

? r =16 ? r=2.
i 2

4

3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{zn}是一个复数数列,定义zn=(1+i)(1+ 解:|zn-zn+1|=1. 4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z满足z z -z- z =3,且arg(z-1)= 解:z z -z- z =3 ? (z-1)( z -1)=4 ? |z-1|=2 ? z-1=2(cos
? ? +isin ). 3 3
2

)?(1+

i n

),则 ?| zn ? zn?1 | =
n ?1

n

.

? ,则z= 3

.

5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z是复数,且|z|=1,则u=|z -z+1|的最大值与最小值是 解:u=|z -z+1|=|z -z+z z |=|z(z+ z -1)|=|z+ z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1 ? u=|z+ z -1|=|2x-1|∈[0,3].
2 2

.

6.乘方运算 [例 6]:(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 n≥2007,且 n 为使得 an=(
整数,则对应此 n 的 an= . (0<θ <
? 3? 3? 2? 2 2 ) ? tan θ = =3+2 2 ? tanθ = 2 +1 ? tan2θ =-1 ? 2θ = ?θ = ? 2 4 8 2? 2
2? 2 2? 2

2 ? 2 +i 2 ? 2 ) 取实数值的最小正

n

[解析]:令 tanθ =

an=[r(cos

3? 3? 3? 3? 3? 3? n n +isin )] =r (cosn +isinn )取实数值,其中 r=2 ? sinn =0 ? n =kπ ? 3n=8k ? n=8m,满足 8 8 8 8 8 8
2008

此条件且 n≥2007 的最小正整数 n 为 2008,此时 an=a2008=2

cos753π =-2

2008

.

[类题]:
1.(1989 年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(
1? i 2

)

1989

=

. .

n 2.①(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 z=( 3 -3i) ,若 z 为实数,则最小的正整数 n 的值为

解:令 tanθ =n (2 3 ) [cos(

3 3

=- 3 ? θ =

5? ? 3

3 -3i=2 3 (cos

5? 5? 5? 5? n n +isin ) ? z=( 3 -3i) =[2 3 (cos +isin )] = 3 3 3 3

5? 5? 5? 5? 5n n)+isin( n)]为实数 ? sin( n)=0 ? n=kπ ? k= ? 最小的正整数 n 的值为 3. 3 3 3 3 3

②(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 n 为使 an=(

3 ?1 + 2

3 ?1 n i) 取实数的最小自然数,则对应此 n 的 2

6
an= .

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n

3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n为不超过2003的正整数.如果有一个角θ 使得(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ 成立,则这种n的总个数为
n n n n-1 n-1

.
n n n

解:(sinθ +icosθ ) =[i(cosθ -isinθ )] =i [cos(-θ )+isin(-θ )] =i [cos(-nθ )+isin(-nθ )]=i [cos(nθ )-isin(n θ )]=i (sinnθ +icosnθ ) ? i =1 ? n-1=4k ? n=4k+1(n≤2003) ? k≤500 ? (k=0)这种n的总个数为501.
m n ②(1988 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 m、n 是自然数,且使( 3 +i) =(1+i) 成立(其中 i 是虚数单位),则乘积

mn 的最小值是 的最小值为

.
n n

4.(2010 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 z 为复数.若|z|=1,| z +i|=1,则当(z+i) (n 为正整数)为实数时,|z+i| .
3 1 + i ? z+i= ? 2 2 3 3 + i= ? 2 2
3 (

解:由|z|=1 ? z z =1,| z +i|=1 ? ( z +i)(z-i)=1 ? ( z -z)i=1 ? z- z =i ? z= ?
3 n i) ? (z+i) =( ? 2
3 )(
n

1 ? 2

1 ? 2

1 3 n i) ,其中 w= ? 2 2

3 2 3 n i 是方程 w -w+1=0 的根 ? w =-1 ? n=3 时,|z+i| 的最小值为 2

3 3. 5.(1985 年全国高中数学联赛上海初赛试题)[( 解:[(
3 ?i 8 n ) +1] 当 n 取 1,2,?,100 时,可得 2

个不同的数值.

3 ?i 8 ? 1 ? 3i 8 n 8 n 8 n 2 n n ) +1] =[(-i) ( ) +1] =[(-iω ) +1] =(ω +1) =(-ω ) ,可得 6 个不同的数值. 2 2

7.单位复数 [例 7]:(1991 年全国高中数学联赛试题)设 a,b,c 均为非零复数,且 a = b = c ,则
b c a
a?b?c 的值为 a?b?c

.
a?b?c = a?b?c

[解析]:设 a = b = c =x ? a=xb,b=xc,c=xa ? abc=x3abc ? x3=1 ? x=1,x=ω ,x=ω 2(三次方程有三个根)=0 ?
b c a

x2 ? x ? 1 x2 ? x ? 1

=1,或ω ,或ω .

2

[类题]:
1.①(1980 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 x1,x2 是方程 x -x+1=0 的两个根,则 x1 解:xi =1 ? x1
6 1980 2 1980

+

1 x1980 2

=

.

=1,

1 x1980 2

=1 ? x1 +

1980

1 x1980 2

=2;
1 1 2008 =1,则 m + 2009 = m m

②(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数 m 满足 m+ 解:m+

.

1 1 1 2 2 3 6 2008 4 2009 5 2008 =1 ? m -m+1=0 ? (m+1)(m -m+1)=0 ? m =-1 ? m =1 ? m =m =-m,m =m = ? m + 2009 =-m+m=0. m m m
2 2

2.①(1990 年全国高中数学联赛试题)设非零数复数 x,y 满足 x +xy+y =0,则代数式( 解:x +xy+y =0 ? (
?
(?? )
2 1990
2 2

x y 1990 1990 ) +( ) 的值是 x? y x? y

.

1 x 2 x x x y ?1990 2 3 1990 1990 ) + +1=0.令 =ω ? ω +ω +1=0 ? ω =1 ? ( ) +( ) = + = y y y x? y x? y (1 ? ?)1990 (1 ? ? )1990

+

1 (?? )
2 1990

=

? ?1 =-1. ?2
2 2

②(2006 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数 x,y 满足 x +xy+y =0,则代数式[ (x
2006

xy ( x ? y)( x ? y) 2

]

2006

+y

2006

)的值是

.

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3.(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)若 z∈C,且 x =1,则 1+x+x +x +?+x +x =
10 2 3 2009 7 2010 2 3 2009 2 10 2 8 6 4 2 8 6 4 2 9 5 3 2 3 10 5 10 2 3 2009 2010

7
.
2010 3 2009

解:若 z∈R,由 x =1 ? x= ? 1.当 x=1 时,1+x+x +x +?+x +x =2011;当 x=-1 时,1+x+x +x +?+x +x =1;若 z≠ ? 1,由 x =1 ? (x -1)(x +x +x +x +1)=0 ? x +x +x +x +1=0 ? x +x +x +x +x=0 ? 1+x+x +x +?+x =0 ? 1+x+x +x +?+x 4.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z 满足:z =27,则 z +3z +2242= 5.(2008 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设( 之和是 解 :( .
3 4

+x =1. .

2010

3 x 2008 + i) =f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则 f(x)的系数 2 2

1 1 1 3 x 3 1 3 3 2008 2008 2008 2008 2008 + i) =f(x)+ig(x) ? f(1)+ig(1)=( + i) =(-i) (- + i) =ω =ω =- + i ? f(1)=- . 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8.复数方程 [例 8]:(1994 年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z12-4z2=16+20i,设这个方程
的两个根α ,β 满足|α -β |=2 7 ,求|m|的最大值和最小值.

[解析]:由韦达定理知α +β =-z1,α β =z2+m ? 28=|α -β |2=|(α -β )2|=|(α +β )2-4α β |=|z12-4z2-4m|=|16+20i-4m|
? |m-(4+5i)|=7 ? m 在以 A(4,5)为圆心,7 为半圆的圆上 ? |m|≥7-|OA|=7- 41 ;|m|≤7+|OA|=7+ 41 .

[类题]:
1.(1995 年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数 z 使 2z+
2

1 1 为实数,则 2z+ 的取值范围是_____. z z

2.(1993 年全国高中数学联赛试题)二次方程(1?i)x +(?+i)x+(1+i?) ? 0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条 件是?的取值范围为________. 解:设方程有实根 x0,则(x0 +λ x0+1)+(-x0 +x0+λ )i=0 ? ?
2 2

2 ? ? ? x0 ? 1 ? 0 ? x0 2 ? (x0+1)(λ +1)=0 ? x0=-1 ? λ =2;λ =-1 ? x0 2 ? ? ? x0 ? x0 ? ? ? 0

-x0+1=0 无实根,综上,λ =2;所以,有两个虚根的充分必要条件是?的取值范围为λ ≠2. 3.(1984 年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程 z = z ( z 为 z 的共轭复数)的根为 解:z = z ? |z| =| z | ? |z|=0,1 ? z=0,z =z z ? z =1 ? z=cos
4 4 5 5 4

.

2 k? 2 k? +isin (k=0,1,2,3,4) 5 5
3

4.(2001 年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数 z 满足等式 z+ z |z| =0,则 z=
3 3 3 3 4

.
3

解:由 z+ z |z| =0 ? z=- z |z| ? |z|=|- z |z| | ? |z|=| z |||z| ? |z|=|z| ? |z|=0,1;当|z|=0 时,由 z+ z |z| =0 ? z= 0;当|z|=1 时,由 z+ z |z| =0 ? z+ z =0 ? z 是纯虚数 ? z= ? i. 5.(2000 年全国高中数学联赛试题)设ω =cos (A)x +x +x +x+1=0 解:ω =cos
2 4 6 4 3 2 4 3 2 3

? ? 3 7 9 +isin ,则以?,? ,? ,? 为根的方程是( 5 5

) (D)x +x +x ?x?1=0
4 3 2

(B)x ?x +x ?x+1=0

(C)x ?x ?x +x+1=0
4 3 2

? ? 2? 2? 2 10 2 10 10 +isin =cos +isin ? ω ,ω ,?,ω 是 1 的 10 个 10 次方根 ? (x-ω )(x-ω )?(x-ω )=x -1;又因 5 5 10 10
8 10 2 4 10 5 3 9 5

ω ,ω ,ω ,ω ,ω 是 1 的 5 个 5 次方根 ? (x-ω )(x-ω )?(x-ω )=x -1;两式相除得:(x-ω )(x-ω )?(x-ω )=x +1, 其中ω =cosπ +isinπ =-1 ? x-ω =x+1 ? (x-ω )(x-ω )(x-ω )(x-ω )=
5 5 3 7 9

x5 ? 1 4 3 2 =x ?x +x ?x+1.选(B). x ?1

9.复数与点 [例 9]:(1998 年全国高中数学联赛试题)设复数 z=cosθ +isinθ (00≤θ ≤1800),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三
个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S,则点 S 到原点距离的最大值 是 _.
? ω =zi+2 z ? |ω | =(zi+2 z )(- z i+2z)=
2

[解析]:设点 S 对应的复数为ω ,由 PQSR 为平行四边形 ? ω +z=(1+i)z+2 z
5z z +2i(z - z )=5-4sin2θ ≤9,当θ =
2 2

3? 时,等号成立 ? 点 S 到原点距离的最大值是 3. 4

8
[类题]:

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1.(1989 年全国高中数学联赛试题)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所 对应的点位于( (A)第一象限 ) (B)第二象限 (C)第三象限
-1

(D)第四象限

2.(2011 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点 A,B 分别对应复数 z,z ,z ? R,则直线 AB 与 x 轴的交点对应的复数为 (用 z 和 z 表示). 解:设 A(a,b) ? B(
a a ?b
2 2

,-

b a ?b
2 2

) ? 直线 AB:y-b=

b(a 2 ? b2 ? 1) a(a 2 ? b2 ? 1)
0

(x-a),令 y=0 ? x=

2a a 2 ? b2 ? 1

=

z?z zz ?1

. .

3.(2002 年湖南高中数学夏令营试题)已知 z 为复数,arg(z+3)=135 ,则 解:

1 取最大值时,z= | z ? 6 | ? | z ? 3i |

1 0 取最大值 ? |z+6|+|x-3i|取最小值 ? z 在线段 x-2y+6=0(-6≤x≤0)上;arg(z+3)=135 ? z+3 在射线 y | z ? 6 | ? | z ? 3i |

=-x(x≤0)上 ? z 在射线 y=-x-3(x≤-3)上 ? z=-4+i. 4.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由 , i ? 1 ,(i-1) 对应的点构成的三角形的最大内 角等于 .
1 i
3

5.(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数 z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数 f(z)= |(z+1)( z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .

解:设 z=cosθ +isinθ ? f(z)=|(z+1)( z -i)|=|[(1+cosθ )+isinθ ][cosθ -(1+sinθ )i]|=|(1+cosθ )+isinθ ||cosθ -(1+sinθ )i|= 2 ? 2 cos?
2 ? 2 sin ? =2 (1 ? cos? )(1 ? sin? ) ,为等腰三角形.

10.模的意义 [ 例 10]:(2002 年全国高中数学联赛试题 ) 已知复数 z1,z2 满足 |z1|=2,|z2|=3, 若它们所对应向量的夹角为 600, 则
|
z1 ? z 2 |= z1 ? z 2

.
7 ;|z1+z2|=

[解析]:设 z1,z2,z1+z2 对应的点分别为 A,B,C,则四边形 OACB 是平行四边形,且∠AOB=600 ? |z1-z2|=|AB|=
|OC|= 19 ? |
133 z1 ? z 2 |= . 7 z1 ? z 2

[类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数 z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中 a,b ∈R,当|z1|+|z2|+|z3|取得最小值时,3a+4b= . 解:易求得 z1+z2+z3=8+6i,于是|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=|8+6i|=10,|z1|+|z2|+|z3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)= (3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得 a=
7 5 ,b= ,所以 3a+4b=12. 3 4 3 1993 1995 ,则复数 i z1+i z2+2z1z2 的模长的 2

②(1993 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数 z1,z2 满足|z1|≥1,|z2|≥ 最小值是
1993 1995

.
1993 1995

解:i =i,i =-i,|i z1+i z2+2z1z2|=|i(z1-z2)+2z1z2|≥2|z1z2|-|z1-z2|≥3-(1+

3 1 )= . 2 2

2.(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________. 解:在复平面上,设 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),则当 z 为△ABC 的费马点(0, 为 1+ 3 .
3 )时,|z-1|+|z-i|+|z+1|取得最小值,最小值 3

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3.(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 z 是模为 2 的复数,则|z解:|z1 |的最大值与最小值的和为 z

9
.

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 |=| (z -1)|=| ||z -1|= |z -1|.设 w=z ,由|z|=2 ? |w|=|z |=|z| =4,|z -1|=|w-1|的几何意义是半径为 4 z z z 2

圆上的点到定点(1,0)的距离 ? 最大值与最小值的和为 4 4.(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数 z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=2 2 ,记|z+i|的最大值和最小值分别为 M,m, 则
M = m

.

解:在复平面上,设 A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=2 2 ? |z+1+i|+|z-1-i|=2 2 点在线段 AB 上 ? M=|BC|= 5 ,m=
2 . 2

5.(1998 年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z 的模为 1,则函数|z +iz +1|的值域是 解:|z +iz +1|=|(1+i)z +1|=|1+i||z + 几何意义是单位圆上的点到定点(2 2 2 2

2

2

.

1 1? i 2 1? i 2 2 2 2 1? i |= 2 |z + |,设 w=z ,由|z|=1 ? |w|=|z |=|z| =1,|z + |=|w+ |的 1? i 2 2 2

1 1 , )的距离 ? 值域是[ 2 -1, 2 +1]. 2 2

11.幅角主值 [例 11]:(1998 年全国高中数学联赛试题)已知复数 z=1?sinθ +icosθ (
cos? [解析]: z =1?sinθ -icosθ ,设 z 的辐角主值α ,则 tanα = =sin? ? 1
3? ? 3? ? ? ? ? ? + )=tan[π -( + )]=tan( - )?α = - . 4 4 2 4 2 4 2 2

? <θ <π ).求 z 的共轭复数 z 的辐角主值. 2

(cos

?
2

? sin )(cos ? sin ) cos ? sin 2 2 2 =2 2 =? ? ? ? (cos ? sin ) 2 cos ? sin 2 2 2 2

?

?

?

?

?

tan(

[类题]:
1.(1984 年全国高中数学联赛试题)集合 S={z |argz=a,a∈R}在复平面的图形是( (A)射线 argz=2a
2 2

) (D)上述答案都不对
2 2

(B)射线 argz=-2a
2

(C)射线 argz=-a

解:由复数幅角主值定义知 0≤argz<2π ? 0≤a<2π ? 0≤2a<4π ,z=r(cosa+isina) ? z =r (cos2a+isin2a).①当 0≤a< π 时,argz =2a;②当π ≤a<2π 时,argz =2a-2π ,故选(D). 2.(1998 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 z 是复数,z+2 的幅角为
? 5? ,z-2 的幅角为 ,则 z= 3 6

.

解:设 z+2=R( -1+ 3 i.

1 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 + i),z-2=r(+ i) ? R-2+ Ri=2r+ ri ? R-2=2r,且 R= r ? R=2 ? z= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3.(1993 年全国高中数学联赛试题)若 z?C,arg(z ?4)=
2 2 2 2

5? ? 2 ,arg(z +4)= ,则 z 的值是________. 6 3 5? ? ? ? ? 1 2 - = ? |OC|= |AB|=4,argz =∠COx= + = 6 3 2 3 3 2

解:设 z +4,z -4,z 对应的点分别为 A,B,C,则 C 是 AB 的中点,∠BOA=

2? 2? 2? ? ? 2 +isin ) ? z= ? 2(cos +sin )= ? (1+ 3 i). ? z =4(cos 3 3 3 3 3

4.(1992 年全国高中数学联赛试题)设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg(

z2 3 ) 的值是______. z1

10
解:设 z1,z2,z1+z2 对应的点分别为 A,B,C,则四边形 OABC 为平行四边形,且 cos∠OBC==π 2? ? 5? z z 3 = ,或 arg( 2 )= ? arg( 2 ) =π . 3 3 3 z1 z1

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2? 1 z ? ∠OBC= ? arg( 2 )=∠BOA 3 2 z1

5.(1999 年全国高中数学联赛试题)已知θ =arctan 解:θ =arctan (239-i)=

cos 2? ? i sin 2? 5 ,那么,复数 z= 的辐角主值是_________. 239 ? i 12

5 5 12 5 1 1 2 ,sinθ = (cosθ +isinθ ) (239-i)= (119+120i) ? tanθ = ? cosθ = ? z= 12 12 13 13 2392 ? 1 169(2392 ? 1)

1 169(239 ? 1)
2

(28561+28561i) ? argz=

? . 4

12.几何形状 [ 例 12]:(1995 年全国高中数学联赛试题 ) 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为
z1,z2,?,z20,则复数 Z1 ,z2
1995 1995

,?,z20

1995

所对应的不同的点的个数是

.

[解析]:设 z1=cosθ +isinθ

? zk=(cosθ +isinθ )(cos

2( k ? 1)? 2( k ? 1)? 1995 +isin )(1≤k≤20),由 1995=20×99+15 ? zk 20 20

=(cos1995 θ +isin1995 θ )(cos(k-1)
k-1

3? 3? 3? 3? k-1 +isin(k-1) )=(cos1995 θ +isin1995 θ )(cos +isin ) =(cos1995 θ 2 2 2 2

+isin1995θ )(-i) ,共有 4 个不同值.(1,-1,i,-i).

[类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点 A(0),B(z0-z),C(z0+z)构成以 A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中 z0=- +
1 3

2 i,则△ABC 的面积为 3

.

解:依题意,z0+z=i(z0-z) ? z=
1 . 3

?1 ? i 1 1 1 1 2 2 z0=iz0,|z0| = ,△ABC 的面积为= |AB||AC|= |z0-z||z0+z|= |(1-i)(1+i)||z0| = 1? i 3 2 2 2

2.①(1992 年全国高中数学联赛试题)设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐标原
2 2

点,则△OAB 的面积为
2 2 2 2

.
2

解 :4z1 ?2z1z2+z =0 ? (z2-z1) =-3z1 ? z2-z1= ? =
1 |OA||AB|=8 3 . 2

3 z1i ? |z2-z1|= 3 |z1| ? AB ⊥ OA, 且 |AB|= 3 |OA| ? △ OAB 的面积

②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z1、z2满足z1z2=1,z1 +z2 =0,且z1+z2≠0.z1、z2在复平面内的对应点为 Z1、Z2,O为原点,则△Z1OZ2的面积是_____. 解:z1 +z2 =0 ? (z1+z2)(z1 -z1z2+z2 )=0 ? z1 -z1z2+z2 =0 ?
? 3 = . 3 4
3 3 2 2 2 2

3

3

z 2 1 ? 3i ? 1 1 ? 3i = )= ? △Z1OZ2 的面积= ? ∠Z1OZ2=arg( 3 2 2 2 z1

|z1z2|sin

3.(1996 年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 z2 的实部为零,z1 的辐角主 值为
? ,则 z2=_______. 6

解: z1 z2 的实部为零 ? z1 z2=ai ? z2⊥z2 ? argz2=

? ? 2? 2? 2? 3 3 + = +isin )=+ i. ? |z2|= 3 ? z2= 3 (cos 6 2 3 3 3 2 2

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2 2

11

4.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面 上对应的点共圆,则 m 的取值范围是
2 2

.
z3 ? z1 z3 ? z 2 z ?z z ?z : ∈R ? 3 1 =x 3 2 z 4 ? z1 z 4 ? z 2 z 4 ? z1 z4 ? z2

解:x -2x+2=0 ? z1=1-i,z2=1+i,x +2mx+1=0 ? z3=-m- 1 ? m2 i,z4=-m+ 1 ? m2 i,

? (z1z2+z3z4-z1z4-z2z3)=x(z1z2+z3z4-z1z3-z2z4) ? 2+1-(1-i)(-m+ 1 ? m2 i)-(1+i)(-m- 1 ? m2 i)=x[2+1-(1-i)(-m-

1 ? m2 i)-(1+i)(-m+ 1 ? m2 i)] ?
a2 a3 a4 a5 ? ? ? ? ? a1 a2 a3 a4 ? 5.(1997 年全国高中数学联赛试题)设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足 ? ,其 1 1 1 1 1 ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?? 4( ? ? ? ? )?S a1 a2 a3 a4 a5 ? ?

中 S 为实数,且|S|≤2.求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 解 :设
1 k3
1 1 a2 a3 a4 a5 1 2 3 4 2 3 4 =k(k≠0) ? a2=ka1,a3=k a1,a4=k a1,a5=k a1 ? S=a1+a2+a3+a4+a5=a1(1+k+k +k +k ),S=4 (1+ + 2 + ? ? ? k k a1 a2 a3 a4 a1

+

1 k4

)=4
2

1 a1k 4
3

(1+k+k +k +k ) ? (4
4 5

2

3

4

1 a1k 4

-a1)(1+k+k +k +k )=0.

2

3

4

①若 1+k+k +k +k =0 ? k =1 ? |k|=1 ? |a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|; ②若 4
1 a1k
4

-a1=0 ? a1k = ? 2 ? a3= ? 2 ? 1+k+k +

2

2

S S 1 1 1 2 + =? ,令 k+ =x ? x +x-1 ? =0,该实系数二次方程的△=5 ? 2 2 k k2 k

2S>0,且 f(2)=5 ?
2

S S 1 2 2 2 >0,f(-2)=1 ? >0 ? |x|<2 ? 方程 k+ =x,即 k -xk+1=0 的△=x -4<0 ? k1,k2 互为共轭复数 ? |k1| 2 2 k

=|k2| =k1k2=1 ? |k|=1 ? |a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|=2.

13.解折综合 [例 13]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不
共线的三点,证明:曲线 Z=Z0cos t+2Z1cos tsin t+Z2sin t(t∈R)与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此
4 2 2 4

1 2

点.

[解析]: [类题]:
1.(1993 年全国高中数学联赛试题)设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z?C,则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi| ?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( y O ) x y O O (A) x (B) (C) (D) x O x

解:|z+ni|+|z?mi|=n ? n>0,n=|z+ni|+|z?mi|≥|n+m| ? m<0;|z+ni|?|z?mi| ? ?m>0 ? |z+ni|>0,选(B). 2.(1989 年全国高中数学联赛试题)若 M={z|z=
t 1? t +i ,t∈R,t≠-1,t≠0},N={z|z= 2 [cos(arcsint)+icos(arc 1? t t

12
cost)],t∈R,|t|≤1},则 M∩N 中元素的个数为( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)4

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3.(1988 年全国高中数学联赛试题)复平面上动点 z1 的轨迹方程为|z1-z0|=|z1|,z0 为定点,z0≠0,另一个动点 z 满足 z1z=-1, 求点 z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 解:z1z=-1 ? z1=是以1 1 1 1 1 ,代入|z1-z0|=|z1|得:| +z0|=| | ? |z0z+1|=1 ? |z+ |= ,又因 z≠0(z1z=-1) ? 点 z 的轨迹 z z z | z0 | z0

1 1 为圆心, 为半径的圆,除去原点. | z0 | z0

4.①(2001 年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数 z,w 满足:|z-1-i|-|z|= 2 ,|w+3i|=1,则|z–w| 的最小值= . 解:设 A(1,1),O(0,0),B(0,-3) ? |OA|= 2 ? |z-1-i|-|z|= 2 ,即|PA|-|PO|= 2 的点 P 的轨迹为射线 y=x(x≤0),|w+ 3i|=1,即|QB|=1 ? |z–w|,即|PQ|的最小值=
3 2 -1. 2

②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x、y是实数.z1=x+ 11 +yi,z2=x- 11 +yi(i为虚数单位),|z1|+|z2|=12,令 u=|5x?6y?30|,则u的最大值是_____,u的最小值是_____. 解: 5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z |+|z ?1|=7的复数z在复平面内的所对应的点的集合是一条 二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____. 解:设|z|=r,w=z ,由|z |+|z ?1|=7 ? r +|w-1|=7 ?
1 2
2 2 2 2 2 2

14.复数应用 [例 14]:(2001 年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+?+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值

2 2

.
4 4000

[解析]:在(1+x+x2)1000=a0+a1x+a2x2+?+a2000x2000 中,令 x=1:a0+a1+a2+?+a2000=31000;令 x=ω ,a0+a1ω +a2ω 2+?+a2000ω 2000=0;令
x=ω ,a0+a1ω +a2ω +?+a2000ω
2 n 2n

=0;注意到:ω =1,ω +ω +1=0 ? 当 n=3k 时,1+ω +ω =3;当 n=3k+1 时,1+ω +ω =1+ω +
2 2 2 4 n 2n 1000

3

2

n

2n

n

2n

ω =0;当 n=3k+2 时,1+ω +ω =1+ω +ω =0.以上三式相加得:3a0+a1(1+ω +ω )+a2(1+ω +ω )+?+an(1+ω +ω )+?+a2000(1 +ω
2000



4000

)=3

1000

? 3(a0+a3+a6+a9+?+a1998)=3

? a0+a3+a6+a9+?+a1998=3 .

999

[类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知 sinα +sinβ =
1 1 1 ? 2 cos(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? ) ,cosα +cosβ = ,则 = 5 3 1 ? cos 2(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? ) 1 3

.

解:设 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,则 z1z2=cos(α +β )+isin(α +β ),|z1|=|z2|=1 ? z1 z1 =z2 z 2 =1,z1+z2= + z1z2 z 2 +z2z1 z1 = + sin(α +β )=
1 3

1 i? 5

5 ? 3i 1 1 1 1 1 1 1 8 15 8 i ? z1z2( z1 + z 2 )= + i ? z1z2( - i)= + i ? z1z2= + i ? cos(α +β )= , ? z1z2= 5 ? 3i 5 3 5 3 5 3 5 17 17 17

15 1 ? 2 cos(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? ) 2 sin(? ? ? )[sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 15 = = . ? 17 1 ? cos 2(? ? ? ) ? sin 2(? ? ? ) 2 cos(? ? ? )[sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 8
0

2.(2007 年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan70 -

1 cos100
0

=

.

解:设 z=cos10 +isin10 ? z z =1, z =cos10 -isin10 ? cos10 = isin30 =
0

0

0

0

0

1 1 z2 ? 1 z2 ? 1 3 0 0 (z+ z )= ,sin10 = (z- z )= .z =cos30 + 2i 2 2z 2 zi

1 2z 3 1 z4 ? 1 z4 ? 1 z4 ? 1 2 0 0 0 0 0 + i.z =cos20 +isin20 ? cos20 = ,sin20 = 2 ? tan70 = 4 i- 2 = 0 2 2 2 cos10 z ?1 2z 2z i z ?1

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z 4i ? i ? 2 z ( z 2 ? 1) z4 ? 1
3 3 zi ? z ? 3 2 2 = = 3. 3 1 z ? zi ? 1 2 2
1 = 3

13

3.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简 arccot2+arctan 解:arccot2+arctan =arctan
1 3

.

? 1 1 +arctan =arg(2+i)+arg(3+i)=arg[(2+i)(3+i)]=arg(5+5i)= . 4 2 3
1 3 1 1 1 +arctan +arctan = 5 7 8

4.(2012 年复旦自主招生试题)arctan +arctan 解 :arctan

.

1 1 1 1 +arctan +arctan +arctan =arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)=arg(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=arg[ 3 5 7 8

650(1+i)]=

? . 4

(1997 年全国高中数学联赛试题)试问:当且仅当实数 x0,x1,x2,...,xn(n≥2)满足什么条件时,存在实数 y0,y1,y2,...,yn 使 得 Z0 =Z1 +Z2 +...+Zn 成立,其中 Zk=xk+iyk,i 为虚数单位,k=0,1,2,3,...证明你的结论. 解:
2 2 2 2


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