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专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)


(专家预测卷考前必做)2011 年全国高中数学联 专家预测卷考前必做) 考前必做 合竞赛加试试题、 合竞赛加试试题、参考答案
一 试

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 填空题( 1. 已知 a ≥ ?2 , A = x ?2 ≤ x ≤ a ,B = y y = 2 x + 3, x ∈ A ,C = t t = x , x ∈ A

, 且
2

{

}

{

}

{

}

若 C ? B ,则 a 的取值范围是



2. 在 ?ABC 中 , 若 AB = 2 , AC = 3 , BC = 4 , O 为 ?ABC 的 内 心 , 且

uuu v

uuuv

uuu v

uuuv uuu v uuu v AO = λ AB + ? BC ,则 λ + ? =

.

?2? x ? 1, ( x ≤ 0 ) , ? 3. 已知函数 f ( x ) = ? 若关于 x 的方程 f ( x ) = x + a 有且只有两个不相等 ? f ( x ? 1) , ( x > 0 ) , ?
的实数根,则实数 a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将 其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使得最终显示 0, 那么这个过程中,9、99、999 都出现的概率是 5. 已知椭圆 。

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆 4 3


于点 P、Q,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是

6. 设 {an } 为 一 个 整 数 数 列 , 并 且 满 足 : ( n ? 1) an +1 = ( n + 1) an ? 2 ( n ? 1) , n ∈ N + . 若

2008 a2007 ,则满足 2008 an 且 n ≥ 2 的最小正整数 n 是
7. 如图,有一个半径为 20 的实心球,以某条直径为中心轴挖去 一个半径为 12 的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心 球,那么新球的半径是 。



8. 在平面直角坐标系内,将适合 x < y, x < 3, y < 3, 且使关于 t 的 方 程 ( x 3 ? y 3 )t 4 + (3 x + y )t 2 +

1 =0 没有实数根的点 x? y


( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为

二、解答题(本题满分 56 分) 解答题( 本小题满分 9. (本小题满分 16 分)对正整数 n ≥ 2 ,记 an =

∑ n ? k ? 2k ?1 ,求数列 {an } 中的最大值.
k =1

n ?1

n

1

10.(本小题满分 10.(本小题满分 20 分)已知椭圆

x2 y2 + = 1 过定点 A(1,0),且焦点在 x 轴上,椭 a2 b2

圆与曲线 y = x 的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点 坐标为 M(m,0),当椭圆的离心率满足

2 < e 2 < 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

11.(本小题满分 20 分)映射 f 的定义域是 A = {1, 2,L , 20} 的全体真子集,值域包含于 本小题满分

{1, 2,L ,10} ,满足条件:对任意 B, C ? A ,都有 f ( B I C ) = min { f ( B ) , f ( C )} ,求这
种映射的个数.


一、(本题满分 40 分) 、(本题满分



设 A、 、 、 、 为直线 l 上顺次排列的五点, B C D E

AC BC = , F 在直线 l 外的一点,连结 CE CD

FC 并延长至点 G ,恰使 ∠FAC = ∠AGD , ∠FEC = ∠EGB 同时成立.
求证: ∠FAC = ∠FEC 。

二、(本题满分 40 分) 、(本题满分 已知: a, b, c ≥ 0 , a + b + c

=2,

bc ca ab + + ≤1。 求证: 1 + abc ( a + b ) 1 + abc ( b + c ) 1 + abc ( c + a )

三、(本题满分 50 分) 、(本题满分 设正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,…,dk,满足 1=d1<d2<…<dk = n。再设 D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。 (i) 证明:D<n2; (ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2。

四、(本题满分 50 分) 、(本题满分 设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:加上一个红点,并改变其相邻两点的 颜色;或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点,均为红 点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.

参考答案
一试
1. 答: ? , 3? ?2 ?

?1

?

?( ?2 )2 ≤ 2a + 3, ? B = [ ?1, 2a + 3] ,要使 C ? B ,只需 C 中的最大元素在 B 当中,所以 ? , 2 ? a ≤ 2a + 3 ?


1 ≤ a ≤3。 2

2. 答:

7 9
uuur 3 uuu 2 uuur r BD AB 2 = = ,于是 AD = AB + AC ,又 DC AC 3 5 5

设 AO 交 BC 于点 D,由角平分线定理知

uuur 5 uuur 1 uuu 2 uuur 1 uuu 2 uuu uuu r r r r AO AB AC AB + AC 5 = = = = , 所 以 AO = AD = AB + AC = AB + AB + BC OD BD CD BD + CD 4 9 3 9 3 9

(

)

=

r 5 uuu 2 uuur 7 AB + AC ,因此 λ + ? = 。 9 9 9

3. 答: ( ?∞,1) 利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答:

1 106

若计算器上显示 n 的时候按下按键,因此时共有 1~n?1 共 n 种选择,所以产生给定的 数 m 的概率是

1 。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011,999,99,9 和 0 以外,还产 n
1 1 1 1 1 1 1 × × ×L× × × × ,所以所求概率为 2011 a1 a2 an 999 99 9

生了 a1 , a2 ,L, an ,则概率为

p=∑ =

1 1 1 1 1 1 1 × × ×L × × × × 2011 a1 a2 an 999 99 9

1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? × ?1 + ?1 + ?? 1 + ?L ? 1 + ?× ?L 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? 999 ? 998 ?

1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ?1 + ? × × ? 1 + ?L? 1 + ? × × ? 1 + ?L (1 + 1) ? 100 ? 99 ? 98 ? ? 10 ? 9 ? 8 ?
注意到

1=

1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 + ??1 + ?L ? 1 + ? × ?1 + ? × ?1 + ?L(1 + 1) 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? ? 999 ? ? 998 ?

两式相除即得 p = 5. 答:

1 1 1 1 × × = 6 。 1000 100 10 10

9 π 16

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ 的周长是定值 8,所以只需求出△F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x = my + 1 ,与椭圆方程联立得

(3m

2

+ 4 y 2 + 6my ? 9 = 0 , 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , 则 y1 + y2 = ? 9 3m 2 + 4
,于是 S?F1PQ =

)

6m , 3m 2 + 4
m2 + 1

y1 y2 = ?

1 F1 F2 ? y1 ? y2 = 2

( y1 + y2 )2 ? 4 y1 y2
1 ≤

= 12

(

3m 2 + 4

)

2



因为

( 3m


m2 + 1
2

+4

)

2

=

1 1 9m 2 + 15 + 2 m +1

=

1 9m 2 + 9 + 2 +6 m +1

1 ,所以内切圆半径 16

r=

2 S ?F1 PQ 8

9 3 ,因此其面积最大值是 π 。 4 16

6. 答:501 当 n ≥ 2 时,将原式变形为

an +1 an an 2 = ? , 令 bn = ,则有 n ( n ? 1) ( n + 1) n n ( n ? 1) ( n + 1) n

bn +1 = bn ?

n ( n ? 1) 2 ?1 1? a2 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) 。 ,叠加可得 bn = b2 ? 2 ? ? ? ,于是 an = 2 ( n + 1) n ?2 n?

? 2007 × 2006 ? 由 2008 a2007 ,得 2008 ? a2 ? 2006 × 2005 ? ,化简得 a2 ≡ 6 ( mod 2008 ) 。 2 ? ?
由 2008 an , 得

n ( n ? 1) 2

a2 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) ≡ 0 ( mod 2008 ) , 将上述关于 a2 的结果代入得

( n + 1)( n ? 1) ≡ 0 ( mod1004 ) ,于是质数 251 ( n ? 1)( n + 1) 且 n 是奇数,所以满足条件的最小
的 n 是 501。 7. 答:16 将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较,将它们的底面置于同一水平 面, 并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。 与第一个几何体形成的截面是 圆环,外径是 202 ? h 2 ,内径是 12,所以面积是 π 202 ? h 2 ? 122 = π 162 ? h 2 ,这正是 与第二个球体形成的截面圆的面积,由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。 8. 答:

(

) (

)

81 5

令 u = t ,原方程化为 ( x 3 ? y 3 )u 2 + (3 x + y )u +
2

1 = 0. x? y



? = (3x + y ) 2 ? 4( x3 ? y 3 ) ?

1 x? y

= 5 x 2 + 2 xy ? 3 y 2 = (5 x ? 3 y )( x + y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x < y, ? x < y, ? ? ? x < 3, x < 3, ? ? 或 ? y < 3, ? ? y < 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x + y ) < 0 ?(5 x ? 3 y )( x + y ) ≥ 0, ? ?3 x + y < 0. ?
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S = S ?ABO + S ?BCO 1 24 1 81 = × ×3 + × 6×3 = . 2 5 2 5
本小题满分 9. (本小题满分 16 分) 解:经计算知 a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = a5 =

10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ≥ 5 时,有 3

an ≤

10 。 3
假设 an ≤

10 n +1 n +1 1 n +1 1 n +1 1 + × + × 2 +L + × n ?1 ( n ≥ 5) ,则 an+1 = 3 n n ?1 2 n ? 2 2 1 2

= = ≤

n +1 n +1? n n 1 n 1 ? + + × + L + × n?2 ? ? n 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 ? n +1 n +1 + an n 2n n + 1 n + 1 10 n + 1 8 6 8 10 + × = × ≤ × < 。 n 2n 3 n 3 5 3 3 10 。 3

所以数列 {an } 中的最大值是 a4 = a5 =

10.(本小题满分 10.(本小题满分 20 分) 解:椭圆过定点 A(1,0),则 a = 1 , c = 1 ? b 2 , e = 1 ? b 2 , ∵

2 3 < e 2 < 1 ,∴ 0 < b < 。 3 3

由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y = x ( x ≥ 0) 的交点,就必过椭圆与射线

y = ? x ( x ≥ 0) 的交点。

? y = x ( x ≥ 0) b ? 联立方程 ? 2 y 2 ,解得 x = y = 。 1+ b2 ?x + 2 = 1 b ?
∵0 < b <

3 1 ,∴ 0 < x < 。 3 2

设抛物线方程为: y 2 = ?2 p ( x ? m) , p > 0 , m > 1 。 又 ∵

p = m ?1, ∴ 2

y 2 = (1 ? m)( x ? m)



把 y=x , <x< 0

1 1 2 0 代入①得 x + 4( m ? 1) x ? 4m( m ? 1) = 0 , > 1 , < x < 。 m 2 2
1 , 2

令 f ( x ) = x 2 + 4( m ? 1) x ? 4m( m ? 1) , m > 1 , 0 < x < ∵ f (x ) 在 ? 0 ,

? ?

1? ? 内有根且单调递增, 2?

? f (0) = ?4m(m ? 1) < 0 ?m > 1 或 m < 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3+ 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? = 4 + 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) > 0 ? ? 4 4 ? ? ?
综上得: 1 < m <

3+ 2 。 4

11.(本小题满分 20 分) 本小题满分 解:记 Ai = A / {i} ,其中 i = 1, 2,L , 20 。 首 先 任 意 设 定 f ( A1 ) , f ( A2 ) ,L , f ( A20 ) 的 值 , 则 对 于 A 的 任 意 真 子 集 B , 记

A / B = {ai1 , ai 2 ,L, ain } ,则

f ( B ) = f ( Ai1 I Ai 2 IL I Ain ) = min { f ( Ai1 ) , f ( Ai 2 ) ,L , f ( Ain )} ,
因此,映射 f 可由 f ( A1 ) , f ( A2 ) ,L , f ( A20 ) 的值完全确定。 下面证明这样的映射满足条件。

? ? 对任意 B, C ? A ,有 f ( B ) = f ? I Ai ? = min { f ( Ai )} , ? ? ? i∈A / B ? i∈A / B ? ? f ( C ) = f ? I Ai ? = min { f ( Ai )} , ? ? ? i∈A / C ? i∈A / C

? ? f ( B I C ) = f ? I Ai ? = min { f ( Ai )} , ? i∈A / ( B IC ) ? i∈A / ( B IC ) ? ?
由 ( A / B ) U ( A / C ) = A / ( B I C ) 知 f ( B I C ) = min f ( B ) , f ( C ) 。 综上所述,由于确定 f ( A1 ) , f ( A2 ) ,L , f ( A20 ) 的值有 1020 种选择,所以这种映射的个 数也为 1020 。

{

}

加 试
过 交 则 一、 证法一: B 作 BH∥AF, CF 于 H ,

CH CB CB CD CH CD = , 又由 = , 故 = 。 CF CA CA CE CF CE

连结 HD ,知 HD ∥ FE ,延长 HB, HD 分别交 AG , EG 于 I .J ,连结 IJ 。 因为 ∠IBA = ∠FAC = ∠AGD ,故 I 、 B 、 D 、 G 共圆; 因为 ∠JDE = ∠FEC = ∠EGB ,故 J 、 D 、 B 、 G 共圆, ∴ I 、 B 、 D 、 J 、 G 五点共圆,故 ∠HBC = ∠DJI 。 ∵ IH

AF , JH EF ,∴

GI GH GJ = = ,故 IJ AE , ∠DJI = ∠EDJ , GA GF GE

∴ ∠FAC = ∠HBC = ∠DJI = ∠EDJ = ∠FEC 。 证法二:作 ?EBG 外接圆 C1 ,交射线 CF 于 P ,则 BC ? CE = GC ? CP 。 又由 BC ? CE = AC ? CD ,知 AC ? CD = GC ? CP ,所以 P 、 A 、 G 、 D 共圆,记该 圆为 C2 。 下证 P 必在 CF 内.用反证法,假设 P 不在 CF 内。 连结 PA 、 PE ,则

∠AFE ≥ ∠APE = ∠APG + ∠EPG = ∠ADG + ∠EBG = 180o ? ∠BGD
又 ∠FAE = ∠AGD , ∴ 180 ≥ ∠AFE + FAE ≥ 180 ? ∠BGD + ∠AGD > 180 ,矛盾!
o o o

于是, F 在 GP 延长线上. ∵ ∠FAC = ∠AGD , ∠FEC = ∠EGB ,∴ FE 为 C1 切线, FA 为 C2 切线, ∴ FA2 = FP ? FG = FE 2 ? AF = EF ,故 ∠FAC = ∠FEC 。 二、 证明: 1 +

abc ( a + b ) ? ( ab + bc + ca ) = ?1 ? c ( a + b ) ? × (1 ? ab ) , ? ?
=2,

∵ a, b, c ≥ 0 , a + b + c ∴c

( a + b ) ≤ 1, ab ≤ 1 。

∴1 +

abc ( a + b ) ≥ ab + bc + ca , abc ( b + c ) ≥ ab + bc + ca ,

同理 1 +

1 + abc ( c + a ) ≥ ab + bc + ca 。
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。

三、(i) 若 d1,d2,…,dk 是 n 的全部正因数,则 n/d1,n/d2,…,n/dk 也是 n 的全部正因数, 且当 1=d1<d2<…<dk=n 时,有 dj=n/dk-j+1。则 n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk=n2{1/(dk-1dk)+1/(dk-2dk-1)+…+1/(d1d2)} ≤n2{(1/dk-1-1/dk)+(1/dk-2-1/dk-1)+…+(1/d1-1/d2)} =n2(1/d1-1/dk)=n2(1-1/n)=n2-n。 (ii) 在(i)的证明中已指出 n2/d2≤D≤n2-n。若 D 整除 n2,由上式知 n2=qD,1<q≤d2。(**) 因为 d2 是 n 的最小的大于 1 的除数,所以,d2 是素数。d2 当然也是 n2 的素除数,并且 n2 没有比 d2 更小的大于 1 的除数。那么由式(**)就推出 q=d2。因此,k=2,n 的全部正因数 是 1 和 n 本身,即 n 是素数。 四、对于圆周上任意一种状态,按下列方式定义该状态的特征值: 考察圆周上的 n 个蓝点将圆周分成的 n 段圆弧,将这 n 段圆弧依次赋值+1,?1,+1, ?1,……并在每个红点处标上所在弧的数值,再将所有红点上的数值相加即得 S 值。 下面考察各种加点的操作: (1) 若在两个相邻红点(原本标有+1)间增加一个红点,则标有+1 的这两个红点变为蓝点, 新增加的红点应标?1,且其他红点不受影响,所以 S 值减少 3。若两个红点原本标有?1, 则类似可知 S 值增加 3; (2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点,则这三个红点都将标上相同的数值,且其他红点不 受影响,所以 S 的变化量仍然是 3 的倍数; (3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点,则两个端点红蓝交换,因此端点处的红色点标 数变为原来的相反数,而且新增的红点与它的标数相同,所以 S 的变化量仍然是 3 的倍 数; 对于各种减点的操作, 因为都是加点操作的逆向操作, 所以 S 值的变化量始终是 3 的倍 数,因此 S 值除以 3 的余数应该是不变的。 在初始状态中,只有两个红点, S = ±2 ;而在只有两个蓝点的状态中, S = 0 ,这说明 不可能经过若干次操作,使圆周上只有两个点,且均为蓝点。 (*)

目 录
第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第 10 讲 第 11 讲 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 集合与函数综合问题 三角函数与反三角函数 等差数列与等比数列 递归数列 不等式 数学归纳法 复数 平面几何问题(1) 平面几何问题(2) 立体几何 解析几何 数论问题 组合问题 计数问题

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