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空间向量法解决立体几何问题3


数学专题二

空间向量法解决立体几何问题

二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间

向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几
何问题转化为向量问题; (化为向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直

线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

(回到图形问题)

1.空间向量的直角坐标表示
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.

2.空间向量的直角坐标运算律:

? ? 设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )
? ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
AB

则:

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

例2 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a? b
解:

? ? a ? ? ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) b ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9) ? 2 2 2 | a |? 2 ? (?3) ? 5 ? 38 ? 8a ?8 ? (2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4)

? 2 ? (?3) ? (?3) ?1 ? 5 ? (?4) ? ?29

专题提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。

二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度;

3、求解空间中的距离。

一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方 向向量是
z

???? AB ? (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1)
x

B A

y

2.平面的法向量
? 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于

平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这 时向量n叫做平面α的法向量.
n

α

? 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐

标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2) 是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线 与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则 n⊥α.换句话说,若n· = 0且n· = 0,则n⊥ α. a b
n

a b α

求平面的法向量的坐标的步骤
? 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
? 第二步(列):根据n· a

= 0且n· = 0可列出方程组 b

? x1 x ? y1 y ? z1z ? 0 ? ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0
? 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. ? 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特

殊越好),便得到平面法向量n的坐标.

? 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O

是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1

A

A O D C

y

x

B

解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则 O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2) ???? ? ???? 由 OA1 =(-1,-1,2), OD1 =(-1,1,2)

?? x ? y ? 2 z ? 0 ?x ? 2z 得 ?? x ? y ? 2 z ? 0 ,解得 ? ? ? y?0
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).

1、已知A(1,0,1),B(0,1,1),C (1,1,0),求平面ABC的一个法向量。 ? 解:设平面ABC的一个法向量 n ? ( x, y, z) , ??? ? ??? ? 依题意得:AB ? (?1, 2,0), BC ? (1,0, ?1) ? ??? ? ?n?AB ? ? x ? y ? 0 ? ??? ? ??? ? ? ? ? ?n ? AB, n ? BC ? ? ? ??? ?n?BC ? x ? z ? 0 ? 令 x ?1 , 则 y ? z ?1 ? 所以,平面ABC的一个法向量为 n ? (1,1,1)

空间中的线面关系及对应向量特征

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?
?
? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? v

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0

设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β 的法向量分别为u,v,则

? a ∥b ? a=kb; 线面平行:l ∥α ? a⊥u u=0; ? a· 面面平行:α∥β ?∥v u ? u=kv. 线线垂直:l ⊥ m ? a ⊥ b ? a· b=0; 线面垂直:l ⊥ α ? ∥ u ? a=ku; a 面面垂直:α ⊥ β ? ⊥ v u v=0. ? u·
线线平行:l∥m

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

巩固性训练2
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

垂直 平行

相交

练习: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, = 5,AD ? 8, AB

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM .
简解:

z
A1 B1
M A B

A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), M (5, 2, 4) ???? ? AM ? (5,2,4), ???? ? A1D ? (0,8, ?4), ???? ???? ? ? AM ?A1D=0 ? A1D ? AM .

D1
N

C1
D

y

C

x

例1、 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面 z SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=450,AB=2, S

BC ? 2 2, SA ? SB ? 3.

(1)证明SA⊥BC; (2)求直线SD与平面SAB所成角的大小。 D

C

O

y

B

解法二:
(1)

x A

作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面 ABCD,得SO⊥底面ABCD。

因为SA=SB,所以AO=BO,又因为∠ABC=450,故△AOB为等腰直 角三角形,AO⊥BO。 以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O-xyz.

A( 2,0,0), B(0, 2,0),C(0,? 2,0), S (0,0,1).

SA ? ( 2,0,?1),CB ? (0,2 2,0), SA? CB ? 0,
所以SA⊥BC。

例1、 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧 面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=450,AB=2, z S BC ? 2 2, SA ? SB ? 3.
(1)证明SA⊥BC; (2)求直线SD与平面SAB所成角的大小。 解(2)、 SA ? ( ?

C

O

B

? n ? ( x, y, z)为面SAB的法向量。 令
? 2x ? z ? 0 2y ? z ? 0

2,0,?1), SB ? (0, 2,?1),

D

y

x

A

? 取n ? ( 2 , 2 ,2).

令SD 与面SAB所成角为?。
? D( 2, 2 2, ? DS ? - 2, 2, ? 0), ( 2 1 )。 4 22 ? ?sin ? ?| cos? SD ? n? |? ? . 2 2 ? 11 11
所以,直线SD与平面SAB所成的角为 arcsin

22 11

在梯形ABCD中, ∠BAD= ∠ADC=900, AB=AD, DC=2AB, SD⊥平面ABCD, 求证: (1)SA⊥AB (2) BC⊥SB
S

D A

E C B

已知正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为,若M为C1C 1

2) 的中点, 若N为A1B1的中点, 求证AN ? 平面 A1D1M
D1 A1 N B1 M C1

D A B

C

1 1 AN ? A1D1 ?0 ? (?1) ? ? 0 ? 1? 0 ? 0 2

解 : 如右图所示 建立空间平面直角坐标 D ? xyz , 系 1 则N(1, ,1) A(1,0,0) D1 (0,0,1) A1 (1,0,1) 2 z C D 1 故 AN ? (0, ,1) A1D1 ? (-1,0,0 ) N 2 A
1 1

B1

M

? AN ? A1D1
x A

D B

C

y

1 又 M (0,1, ) 2 1 ?MA1 ? (1,?1, ) 2 1 1 AN ? MA1 ?0 ?1 ? ? (?1) ? 1? ? 0 A1 2 2 ? AN ? MA1 又MA1 ? A1D1 ? A1 ? AN ? 平面 A1D1M
x A
D B C

z
D1 N B1

C1

M

? 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,

? D,E分别是AC,CC1的中点,求证:

⊥平面DBC1; ? (II)AB1 ∥ 平面DBC1
? (I)A1E
z

A1

C1 B1 A E D C x B y

? 解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴建立空

间直角坐标系D-xyz.则 ? A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2). ? 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 ?x ? 2z ? 0 ? x ? ?2 z ? ? 解之得 ? y ? 0 , ? 3y ? 0 ? ? 取z = 1得n=(-2,0,1) ? (I) A E ? (2,0,?1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 1 ? (II) AB ? (1, 3,2) ,而 AB ? n =-2+0+2=0 1 1 ? AB1 ∥平面DBC1

? 例4正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别

是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD
z
A1 B1 C1 D1

E D A F x B C y

证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), AD ? (0,2,0) ? 于是 AE ? (2,0,1) ? 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 1 ?2 x ? z ? 0 ? ?x ? ? z ? ? 2 ? 解之得 ? y ? 0 ? 2y ? 0 ? ? 取z=2得n1=(-1,0,2) ? 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ? ∵n1 · = -2+0+2=0 n2 ? ∴面AED⊥面A1FD
?

空间中角的类型及解法

l

l

? a

?

? b

m

? ? a b ?

m

? ? |a?b | l, m的夹角为 , ? ? ? ? ? cos | a || b |

2.求空间中的角
? (1)两异面直线的夹角
? 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再

把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的 方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹 角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

?
a ?u | a ?u | |? | a |?| u | | a |?| u |

l , ?的夹角为 , ?
sin ? ?| cos ? a, u ?|?|

? u

? (2)直线与与平面所成的角

? 若n是平面α的法向量,

则L与α所成的角θ= (下图) . ? n a
? ? ?
α θ

a是直线L的方向向量, ? ? -<a,n>或θ= <a,n>2 2 a
θ

α

n

? 于是,
? 因此

sin ? ?| cos ? a, n ?|?|

|a?n| ? ? arcsin | a |?| n |

a?n | a?n | |? | a |?| n | | a |?| n |

? u ? v
?

?

?

? , ?的夹角为 , ?

? u

?

? v

?

?

? , ?的夹角为 , ?

? (3)二面角

? 设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的 法向量,由几何知识可知,二面角α-L-β的大 小与法向量n1 、n2夹角相等或互补,于是求 二面角的大小可转化为求两个平面法向量的 夹角,这样可避免了二面角的平面角的作图 麻烦.
n1 n2 n2 n1

? 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是

AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z A1 B1 C1 D1

A M

D
C

y

x

B

C

? 解:

以A为原点建立如图所示的直角坐标系Axyz, 设正方体的棱长为2,则 ? M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), ? 于是,
CM ? (?1,?2,0)

DB1 ? (2,?2,2)

? ∴cos<

DB CM , 1 >=.

?2?4?0 2 15 ? ? 30 1? 4 ? 0 4 ? 4 ? 4 5 ?4? 3
z A1 D1 C1

B1

A M

D
C

y

x

B

C

5.如图,ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠BCA=90°, 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA= CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( A ) (A) (B) (C) (D)

O

30 10 1 2 30 15 15 10

z
y

x

? 例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ,求AC1与侧面ABB1A1所成的角
z

C1

A1

B1 C O

A B x y

? 解:建立如图示的直角坐标系,则

? A(

,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, 2a) ? 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) a 3 ? 由 AB ? (? , a,0), AA ? (0,0, 2a) 得 2 2 ? a ?x ? 3 y 3 ?? x ? ay ? 0 ? 0 2 ? ? 2 ,解得 ? z ? 0 , ? ? 2az ? 0 ? ? 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0) ? 而 AC ? (?a,0, 2a) | ?3a ? 0 ? 0 | 3a 1 sin ? ?| cos ? n, AC ?|? ? ? ?∴ 2 3 ? 3a 2 9 ? 3 ? 0 a ? 0 ? 2a ? ? ∴ ? ? 30 .
1

a 2

3 a 2

a 2

a 2

1

1

2

2

例3、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD? 底面ABCD,PD=DC,E是PC的中 点。 (1)证明:PA//平面EDB; (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 z P y
E

C
G

B x

D

A

(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点 z ??? ???? ??? ? ? 以DA DC, 为正交基底建立空间 P , DP

直角坐标系。如图所示。则
D(0, 0) P(0,1) A(1,0) 0,, 0,, 0,, ??? ? ,? C (0,0) B(11, ? PA ? (1 0,1) 1,, ,0) 1 1 又E为PC中点, E点坐标为(0, , ) ? 2 2 D

y

E C G

B

A

x

(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 ??? ? 解:因为PD ? 平面ABCD,所以PD是平面ABCD的法向量。

z 由(1)知D(0, 0) P(0,1) 0,, 0,, P 1 1 B(11,,E (0, , ) ,0) E 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 ? PD ? (0, ? 1), ? (1, , ) 0, EB ? 2 2
1 D ??? ??? ? ? 0?0? 2? 6 ? cos PD, ? EB 6 3 1? 2

y
C G

B

A

6 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 6 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5

x

如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC 1 = PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底 2 面ABC. (Ⅰ)求证OD∥平面PAB (Ⅱ) 求直线OD与平面 PBC所成角的大小; P
D

A

O B

C

? 例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°,

侧棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求 二面角A-SD-C的大小.
z S

y A
B

D
C

B

C

x

解:建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则 B(1, 0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),S(0, z 0,1). S ? 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 SC ? (1,1,?1),CD ? (?1,1,0) 得 ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? 0 2 , 取z ? 2得 n1=(1,1,2). ? , 解得? ?
? ?x? y?0 z ?y ? 2 ?

A
B

D
C

而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). ? 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
? ?

B

C

x

cos? ? cos ? n1, n2 ??

1 1 6 ? ? , 6 1?1? 4 1? 0 ? 0 6

?

∴二面角A-SD-C的大小为

6 . arccos 6

例2、 如图几何体中,ABCD是直角梯形∠ABC=90°, 1
SA ? 面ABCD,SA ? AB ? BC ? 1, AD ?
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。 提示2、使用向量法求解。 建立如图所示坐标

zS
y
A

2

,

B
D

1 ? S (0,0,1), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0, ,0) 2 1 ? BC ? (0,1,0), SC (1,1,?1), SD ? (0, ,?1), 2

C

x

? BC ? AB, SA ? 面ABCD, ? BC ? SA
?BC ? 面SAB。?BC为面SAB的法向量。
? ? ? n ? SD ? 0 令n ? ( x, y, z)为面SCD 的法向量。 ? n ? SC ? 0
?x? y ? z ? 0

1 y?z ?0 ? 2 取n ? (?1,2,1), 2 6 ? ? , 令面SAB与面SCD 所成二面角大小为 , cos? ?| cos? BC ? n? |? ? ? 3 6
? tan? ? 2 . 2

例3、如图:ABCD是边长为2的正方形,MA
和PB都与平面ABCD垂直,且PB=2MA=2,求 平面PMD与平面ABCD所成二面角的大小
Z

P
B
C

M

A
D
X

Y

练习3、如图:正方体AC1中,
求二面角B-A1C-A的大小 D1 A1 D A B

z

C1 B1 C

y

x

空间直角坐标系
OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点,分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段OA,OC, OD’的长为单 位长,建立空间直角坐标系O—xyz.试说出正方体的各个顶点 的坐标.并指出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.

z
(0,0,1)

D

'

C

'(0,1,1)

(1,0,1)

A

'

B '(1,1,1)
O(0,0,0) C(0,1,0) y
B(1,1,0)

A (1,0,0)

x

空间距离和空间向量的关系

?点到平面的距离
A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. n ? | AH |?| AB | ?sin? ?| AB | ? | cos ? AB, n ?| ? = | AB | ? | AB ? n | θ
?
| AB | ? | n |

= . ? 于是,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值.
?

| AB ? n | |n|

α

B

H

? 例9

在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°, ? 求B1到面A1BC的距离.
z C1 A1 B1

C A x B y

解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, 2 ),B(0,1,0),B1(0,1, 2). 设面A1BC的 法向量n=(x,y,z),由 CA1 ? (1,0, 2 ),CB ? (0,1,0), 得 ?? x ? 2 z ? 0, 得? x ? ? 2 z , 取z ? 1, 得 n=(- 2 ,0,1). ? ?
?

?
?

?

y ?0

?

y ?0

∵ BB1 ? (0,0, 2 ) , 或∵ A B ? (?1,1,0) , 1 1

d?

| BB1 ? n | | 0 ? 0 ? 2 | ? ? n 2 ?1

2 6 ? 3 3

?

d?

| A1 B1 ? n | | 2 ? 0 ? 0 | ? ? n 2 ?1

2 6 ? 3 3

?

或∵ CB ? (0,1, 2 ) , 1

d?

| CB1 ? n | | 0 ? 0 ? 2 | 2 6 ? ? ? n 3 2 ?1 3

可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选 择无关.

? 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=

4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA 的中点, ? 1求证: PC//平面EDB ? 2.求P与平面BED间的距离.
z P

E A B F C

D y

x

解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高 AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F ? 为CD的中点,于是 ? A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 3 ,0), C(2, 2 3 ,0), ? D(-2, 2 3 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). ? 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 ? BE ? (?4,0,2), DE ? (2,?2 3,2), 得 ? n=(1, 3 ,2). ? ∵ PC ? (2,2 3,?4) PC ? ∴n· ? 2+6-8=0,故PC∥面BED,
? ? x? ? 4x ? 2z ? 0 ? ? , 得? ? ?2 x ? 2 3 y ? 2 z ? 0 ?y ? ? ? z 2 , 取z ? 2, 得 3z 2

? ∴. EP ? (0,0,2)
d?

| EP ? n | 4 ? ? 2 |n| 1? 3 ? 4

? 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平

面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. ? 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA 的中点,求PC与平面PED间的距离.
z P

E A B F C

D y

x

? 空间向量理论引入立体几何中,通常涉及到

夹角、平行、垂直、距离等问题,其方法是 不必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空 间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向 量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标 化、符号化、数量化,从而将推理问题完全 转化为代数运算,降低了思维难度,这正是 在立体几何中引进空间向量的独到之处。


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a 2 ? a 3 2 2 2 . 2 2 b1 ? b2 ? b3 2 空间向量法解决立体几何问题 一、引入两个重要空间向量 1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。 二、立体...
空间向量法解决立体几何问题3
河北蒙中高三理科数学 NO :0 78 使用时间:2014 年 月 日 主备人: 课题 学习目标 空间向量法解决立体几何问题 3 1、理解平面的法向量的概念,并会求平面的法...
空间向量法解决立体几何问题
空间向量法解决立体几何问题_数学_高中教育_教育专区。空间向量坐标法---解决立体几何一.建立恰当的空间直角坐标系,能求点的坐标; 1、三条直线交于一点且两两...
用空间向量法解决立体几何问题
空间向量法解决立体几何问题_数学_高中教育_教育专区。用空间向量法解决立体...(3)设平面 EFC 的法向量为 m=(a,b,c),由 EF =(0,1,0), FC =(-...
第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题
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空间向量法解决立体几何问题(学生版)
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空间向量法解决立体几何问题(学生版)
空间向量法解决立体几何问题 ? 空间直角坐标系(1)定义:如图, OBCD ? D, A,...(3)平面与平面的位置关系; 平面α 的法向量为 n1 ,平面β 的法向量为 n2 ...
2014高考数学(理)名师指导历炼题型:4-3 用空间向量的方法解决立体几何问题]
2014高考数学(理)名师指导历炼题型:4-3 用空间向量的方法解决立体几何问题]_高中教育_教育专区。2014高考数学(理)名师指导历炼题型:4-3 用空间向量的方法解决立...
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
《用空间向量法求解立体几何问题典例及解析》以多面体为载体,以空间向量为工具,...MP | . |n| 三:利用空间向量解证平行、垂直关系 1: ①所谓直线的方向向量...
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