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解三角形正弦余弦定理


在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cos C 且 a cos A ? b cos B , 试判断 ?ABC 的类型. ∵ sin A ? sin?B ? C ? ,∴ sin B cos C ? cos B sin C ? 2 sin B cos C ∴ sin B cos C ? cos B sin C ? 0 , sin ?B ? C ? ? 0 ,∴ B

? C ? k? ?k ? Z ? 又∵ ? ? ? B ? C ? ? ,∴ B ? C ? 0 , B ? C 由 a cos A ? b cos B ,得

在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边长度分别为 a 、 b 、 c ,

3 5 , sin B ? ,求 sin A 、 cos B 、 cos C ; 5 13 cos C 2a ? c ? ⑵若 ,求 B ; cos B b
⑴若 cos A ?
2 2 ⑶若 sin A cos C ? 3 cos A sin C 且 a ? c ? 2b ,求 b ;

⑷ cos ? A ? C ? ? cos B ? ⑸ tan C ?

b sin B cos A b cos A sin B ? ,又∵ ? ? ,∴ cos B a a sin A cos B sin A 1 1 sin 2 A ? sin 2 B 2 2

∴ sin A cos A ? sin B cos B ,

∴ 2 A ? 2 B ? 2k? 或 2 A ? 2B ? ?2k ? 1?? ,即 A ? B ? k? , A ? B ? ? k ? 又∵ ?ABC 中 ? ? ? A ? B ? ? , ? ? A ? B ? 0 ∴ A ? B或 A? B ?

? ?

1? ?? ?k ? Z ? 2?

? , 2

sin A ? sin B , sin?B ? A? ? cosC 且 S ?ABC ? 3 ? 3 ,求 A 、 c . cos A ? cos B 4 3 ⑴∵ cos A ? 0 ,∴ A 是锐角,∵ cos A ? ,∴ sin A ? 且 sin A ? sin B , 5 5 12 ∴ A ? B , B 是锐角, cos B ? , 13 4 5 3 12 16 ? ? ?? ∴ cos C ? ? cos ? A ? B ? ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? 5 13 5 13 65 2a ? c 4 R sin A ? 2 R sin C 2 sin A ? sin C ? ? ⑵由正弦定理得 b 2 R sin B sin B cos C 2 sin A ? sin C ? ∴ ,∴ sin B cos C ? 2 sin A cos B ? cos B sin C cos B sin B
∴ 2 sin A cos B ? sin B cosC ? cos B sin C ? sin?B ? C ? ? sin A ∴ cos B ?

3 2 , b ? ac , a ? c ? 2 ,求 B 、 b 、 S ? ; 2

? ∴A?B?C ? ,故此 ?ABC 为等边三角形 3

? 1 ,B ? 2 3
1 2 a2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a2 2 2 ? 3c ? ,∴整理得 a ? c ? b 2 2ab 2bc

缉私艇在 A 处发现在方位角为 45 ? 方向、 距离 12 海里的海面 B 处有一走私船正以 10 海里 / h 的速度 沿北偏西 15 ? 的方向逃窜.若缉私艇的速度为 14 海里 / h ,缉私艇沿方位角为 45? ? ? 的方向追去, 若要在最短的时间内追上该走私船,求追及所需时间和 ? 的正弦值. 解:设 t 小时后追上, 由 ?1 ? 15?, ?2 ? 45? ? ?ABC ? 120?
2 2 2 则由余弦定理 12 ? (10t ) ? 2 ? 12 ? 10t cos120? ? (14t ) ,解得 t ? 2

⑶由条件得 a ?

C

1 2 b ? 2b , b ? 4 2 3 3 ⑷ ? cos ? A ? C ? ? cos ? A ? C ? ? 2 sin A sin C ,整理得 sin A sin C ? 2 4
∴ 由正弦定理得 sin A sin C ? sin B ,∴ sin B ?
2

15 ?
B

? 2? 3 ,B ? 或B ? 3 3 2

又由正弦定理

AC BC 5 3 ? ? sin ? ? sin 120? sin ? 14

45 ?
A

若B ?

? 2? 2? 3 ? ,∴ cos? A ? C ? ? 2 (矛盾,不可能) ,∴ cos ? A ? C ? ? cos ,故此 B ? 3 3 2 3
2 2 2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos

?

3

? ?a ? c ? ? 3ac ,∴ b 2 ? 2 2 ? 3b 2 , b ? 1
2

S? ?

1 1 ? 3 ac sin B ? b 2 sin ? 2 2 3 2

⑸由条件得 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B ∴ sin?C ? A? ? sin?B ? C ? ∴ C ? A ? B ? C ? 2k? 或 ?C ? A? ? ?B ? C ? ? ?2k ? 1?? ?k ? Z ? ∴ 2C ? B ? A ? 2k? ? ?2k ? 1?? ? C 或 B ? A ? ?2k ? 1?? ?k ? Z ? (不可能) ∴ C ? B ? A ? 2k? ? ∴ sin ?B ? A? ?

∴ 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,∴ sin 2 A ? sin 2 B
2 2

∴三角形类型是等腰或直角 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 已知 b ? c ? a ? 3bc ,求: ⑴A 的大小; ⑵ 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值.
2 2 2

2? 又由 B ? A ? 3 5? ? 3? ? ∴B ? 、A? 或B ? 、A?? (舍去) 12 4 4 12
∴ S? ?

1 ? 5? ,B ? A? 或B ? A? 2 6 6

2k ? 1 ? ? ,C ? 3 3

⑴由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,

故 cos A ? 所以A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 ? ? , 2bc 2bc 2

. 6 ⑵ 2sin B cos C ? sin( B ? C )

?

1 1 ? 2 R sin A ? 2 R sin C ? sin B ? 2 2

?

2R

?? 3R?

3 3 ?1 R2 6? 2 ? 4 4

?

?

∴ R ? 2 ,∴ a ? 2 2 , c ? 2 3

? 2sin B cos C ? (sin B cos C ? cos B sin C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) 1 ? sin A ? . 2

1 2 a ? c 2 ? b 2 ,求角 B . 4 tan A 2c ? b ? ,求角 A . tan B b 1 ? ? ? 2 ? 1, S ? ? sin C ,求 c 、 C . 6 S? ?

?

?

设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c. 5

a 2 ? c 2 ? ac ? bc 且 a 、 b 、 c 成等比数列,求 A 、
2 2 2 2 2 2

b sin B ,角 B 的范围. c

由题意得 a ? c ? b ? bc ,∴ bc ? b ? c ? a , A ? 60? 由正弦定理 sin B ?

b sin A b sin B b ? b sin A 3 ? ? sin A ? ,∴ a c c?a 2

cos B ?

? ? ? a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? ,∴ 0? ? B ? 60 ? .【 A ? ? C ? , b 最小, B ? 】 3 3 3 2ac 2ac 2

3 c 5 3 3 3 3 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
(Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ?

2 2 2 2 在 ?ABC 中,若 a ? b sin? A ? B? ? a ? b sin? A ? B? ,试判断 ?ABC 的类型.

?

?

?

?

设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 且 A= 60 ,c=3b, 求: ⑴

由题意 a ?sin? A ? B? ? sin? A ? B?? ? b ?sin? A ? B? ? sin? A ? B??,
2 2

a 的值; c

⑵cotB+cot C 的值.

⑴由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
1 2 2 3 a 7 故 ? . c 3
= ( c) ?c ? 2

1 1 7 c c ? c2 , 3 2 9

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C sin B sin C 7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 由正弦定理和⑴的结论得 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3 14 3 故 cot B ? cot C ? . 9 7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) 5 a 2 ? c 2 ? b2 9 3 . 解法二:由余弦定理及⑴的结论有 cos B ? = ? 2ac 2 7 7 2 cc 3 25 3 故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ? . 28 2 7
⑵解法一: cot B ? cot C =

A? B C A +tan =4,sin B sin C=cos2 .求 A、B 及 b、c. 2 2 2 A? B ? ?C ? 解:A、B、C 为△ABC 三内角,∴ 2 2 ? ?C C C C ? tan ? 4 ,即 cot ? tan ? 4 。 ∴ tan 2 2 2 2 C sin C sin C 1 ? cos C ? ? ? 4, 又 tan ,∴ 2 1 ? cos C 1 ? cos C sin C 2 1 ? 4 ,∴ sin C ? 整理得 sin C 2 A sin B 1 ? cos A 2 ? 由 sin B sin C ? cos 可得 ,∴ sin B ? 1 ? cos A 2 2 2
a=2 3 ,tan ∵sinB≤1,∴cosA≤0,而 A 为△ABC 内角,则 A 必为钝角 ∴C 应为锐角,∴ C ?

?

7 2 1 2 2 c ? c ?c 1 3 3 a ?b ?c 1 9 9 同理可得 cos C ? ? . ? ?? , sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? 28 2 7 2ab 7 1 2 7 2 c c 3 3 cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . 从而 cot B ? cot C ? sin B sin C 3 9 9
2 2 2

6 5 则 B ? ? ? A ,代入 sin B ? 1 ? cos A ,得 6 5 sin( ? ? A) ? 1 ? cos A ,将左边展开并整理得: 6 ? 2 ? cos( A ? ) ? ?1 ,又 A 为钝角,∴ A ? ? ,故 B ? 3 3 6 ∴△ABC 为等腰△, a ? 2 3 ,易解得 b = c = 2 2 ? 综上, A ? ? , B ? ,b = c = 2 3 6

设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? cot B 4 b sin A sin A b sin B b 3 4 又通过 a cos B ? 3 知: cos B ? 0 ,则 cos B ? , sin B ? ,则 a ? 5 . 5 5 2 2 1 a ? c ? b2 (Ⅱ)由 S ? ac sin B ,得到 c ? 5 .由 cos B ? ,解得 b ? 2 5 2 2ac ∴所求周长 l ? 10 ? 2 5 .
(Ⅰ)由 a cos B ? 3 与 b sin A ? 4 两式相除得

在△ABC 中.a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边长,


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