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【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练25 平面向量的数量积及其应用


考点巩固训练 25

平面向量的数量积及其应用

一、选择题 1.已知 a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则 λ 等于( ). A.-2 B .2 1 1 C. D.- 2 2 2.设 a,b 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 60° ,则|a+b|=( A.3 B. 3 C .2 D. 2 → PC)等于(

>
).

→ → → → 3.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则PA· (PB+ ). 4 4 A.- B.- 9 3 4 4 C. D. 3 9 4.(重庆高考)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( ). A. 5 B. 10 C .2 5 D.10 5.已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a· b 的值为( ). A.1 B.2 C .3 D.4 → → → → 6.平面上有四个互异的点 A,B,C,D,满足(AB-BC)· (AD-CD)=0,则三角形 ABC 是( ). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.(浙江高考)设 a,b 是两个非零向量.( ). A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 二、填空题 8.已知向量 a=(1,3),b=(-3,4),则 a 在 b 方向上的投影为__________. 9.(江苏高考)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 → → → → CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是__________.

π 10.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2= 3 ________. 三、解答题

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1 3 11.已知平面向量 a=?- , ?,b=(- 3,-1). 2 2 ? ? (1)求证:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k、t,使 x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且 x⊥y,试把 k 表 示为 t 的函数. π 12.已知向量 m=(sin B,1-cos B),且与向量 n=(2,0)的夹角为 ,其中 A,B,C 是△ABC 3 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A+sin C 的取值范围.

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参考答案
一、选择题 1.D 解析:由(a+λb)· b=0, 2 得 a· b+λ|b| =0 得 1+2λ=0, 1 ∴ λ=- . 2 2.B 解析:|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+2×1×1×cos 60° +1=3, ∴ |a+b|= 3. 3.A 解析:由题知 P 为 ? ABC 的重心, → → → 则PB+PC=-PA. → → → → 则PA· (PB+PC)=-PA2 4 → =-|PA|2=- . 9 4.B 解析:因为 a⊥b,所以 a· b=x-2=0,解得 x=2,a=(2,1),a+b=(3,-1), |a+b|= 10,故选 B. 5.D 解析:∵a+b 与 a 共线,∴ a+b=λa,即(1+2,k+2)=λ(1,k). 由?

?3=?, ?? ? 3, 解得 ? 故 a=(1,1),则 a· b=1×2+1×2=4. ?k ? 2=k ?, ?k ? 1.

→ → → → → → → → → → → 6.B 解析:由(AB-BC)· (AD-CD)=0,得(AB-BC)· (AD+DC)=0,即(AB-BC)· AC= → → → → → → → → 0,(AB-BC)· (AB+BC)=0,即AB2-BC2=0,|AB|=|BC|, 故三角形 ABC 为等腰三角形. 7.C 解析:由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2a· b+|b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2,即 a· b =-|a||b|, ∴ cos〈a,b〉=-1,即 a 与 b 反向,根据向量共线定理,则存在实数 λ,使得 b=λa. 二、填空题 9 a· b 1×(-3)+3×4 9 8. 解析:a 在 b 方向上的投影为 = = . 5 |b| 5 (-3)2+42 → → → → → 9. 2 解析:由AB· AF= 2得,AB· (AD+DF)= 2, → → → → 即AB· AD+AB· DF= 2, → → → → 又∵AB⊥AD,∴ AB· AD=0, → → ∴ AB· DF= 2, 1 → → → → → → → → → → → → → → → → → 故AE· BF=(AB+BE)· (BC+CF)=AB· BC+AB· CF+BE· BC+BE· CF=0+AB· (DF-DC)+ 2 → → → → → → |BC|2+0=AB· DF-AB· DC+2= 2-|AB|2+2= 2-2+2= 2. π 10.-6 解析:∵〈e1,e2〉= ,|e1|=1,|e2|=1, 3 ∴ b1·b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2 π =3-2cos -8=3-1-8=-6. 3 三、解答题 1 1 3 3 - ?×(- 3)+? ?×(-1)=0, 11.(1)证明:a· b=?- , ?·(- 3,-1)=? 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ∴ a⊥b. (2)解:∵x⊥y,∴ x·y=0, 2 即[a+(t -2)b]·(-ka+t2b)=0.展开得-ka2+[t2-k(t2-2)]a· b+t2(t2-2)b2=0,

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∵a· b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4, ∴ -k+4t2(t2-2)=0. ∴ k=f(t)=4t2(t2-2). π 12.解:(1)∵m=(sin B,1-cos B)与向量 n=(2,0)所成夹角为 . 3 π m· n ∴ cos = 3 |m||n| 2sin B sin B 1 = = = . 2· 2-2cos B 2-2cos B 2 B 1 解得 cos = , 2 2 B π 又 0<B<π,∴ 0< < . 2 2 B π 2π ∴ = ,从而 B= . 2 3 3 π (2)由(1)可得 A+C= . 3 π 3 ? 1 ? π? ∴ sin A+sin C=sin A+sin? ?3-A?=2sin A+ 2 cos A=sin?A+3?. π π π 2π ∵0<A< ,∴ <A+ < , 3 3 3 3 π 3 ? ∴ <sin? ?A+3?≤1. 2 3 即 sin A+sin C 的取值范围为? ,1?. ?2 ?

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